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Hallo, Ihr Lieben !
So, die letzte Aufgabe von meinem Übungszettel. Vielleicht findet sich ja noch jemand, der mir ein wenig auf die Sprünge hilft !?
Aufgabe 4:
Die Abkühlung einer Flüssigkeit erfolgt exponentiell. Eine Tasse Kaffee kühlt in 5 Minuten von 100°C auf 85°C ab.
4.1 Stelle eine Funktionsgleichung auf, die diesen Vorgang beschreibt.
4.2 Wann ist der Kaffee trinkbar (55°C) ?
4.3 Wann ist er auf Zimmertemperatur abgekühlt (20°C) ?
4.4 Leite eine Formel her, aus der sich die Zeitspanne berechnen lässt, in der sich die Temperatur des Kaffees a) halbiert, b) drittelt.
Also, irgendwie habe ich hier ein Brett vor dem Kopf.
Zu 4.1
Was ist f(5) ? Sind das die 85°C ? Dann wäre die Gleichung
f(x) = 100 * [mm] (\wurzel[5]{0,85})^x [/mm] [x in Minuten]
Oder ?
Und dann müsste ich bei 4.2 doch nur für f(x) 55 einsetzen (bzw. bei 4.3 20) und dann das x in der Potenz ausrechnen, oder ? Aber irgendwie hänge ich da. Wie kann ich das x errechnen ??? Mir fällt's nicht ein. :-(
Und bei 4.4 habe ich gar keinen Schimmer.
Bitte, helft mir ein letztes Mal ! Ist die letzte Mathe-Klausur meines Lebens !!! Habe mein Abi im Juni in der Tasche... 
Liebe Grüße nochmal aus der Hauptstadt, und einen schönen Abend !
DANKE !
Maike
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Do 07.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maike!
> Die Abkühlung einer Flüssigkeit erfolgt exponentiell. Eine
> Tasse Kaffee kühlt in 5 Minuten von 100°C auf 85°C ab.
>
> 4.1 Stelle eine Funktionsgleichung auf, die diesen Vorgang
> beschreibt.
>
> 4.2 Wann ist der Kaffee trinkbar (55°C) ?
>
> 4.3 Wann ist er auf Zimmertemperatur abgekühlt (20°C) ?
>
> 4.4 Leite eine Formel her, aus der sich die Zeitspanne
> berechnen lässt, in der sich die Temperatur des Kaffees a)
> halbiert, b) drittelt.
>
>
> Also, irgendwie habe ich hier ein Brett vor dem Kopf.
>
> Zu 4.1
>
> Was ist f(5) ? Sind das die 85°C ? Dann wäre die Gleichung
>
> f(x) = 100 * [mm](\wurzel[5]{0,85})^x[/mm] [x in Minuten]
>
> Oder ?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ganz genau ...
Wir können also (gerundet) schreiben $T(t) \ = \ [mm] T_0 [/mm] * [mm] a^t [/mm] \ = \ 100 * [mm] 0,968^t$
[/mm]
> Und dann müsste ich bei 4.2 doch nur für f(x) 55 einsetzen
> (bzw. bei 4.3 20) und dann das x in der Potenz ausrechnen,
> oder ? Aber irgendwie hänge ich da. Wie kann ich das x
> errechnen ??? Mir fällt's nicht ein.
Na, dann werden wir mal für 55° rechnen (die andere "darfst" Du dann alleine probieren  ).
$55 \ = \ 100 * [mm] 0,968^t$
[/mm]
[mm] $\bruch{55}{100} [/mm] \ = \ 0,55 \ = \ [mm] 0,968^t$
[/mm]
Nun stört ja, daß die gesuchte Variable im Exponenten (= als Hochzahl) steht.
Dies' können wir ändern, indem wir die Gleichung logarithmieren, d.h. auf beiden Seiten einen (beliebigen) Logarithmus anwenden.
Ich wähle mal den natürlichen Logarithmus [mm] $\ln(x)$ [/mm] ...
[mm] $\ln(0,55) [/mm] \ = \ [mm] \ln\left(0,968^t\right)$
[/mm]
Nun wenden wir ein  Logarithmusgesetz an: [mm] $\log_b\left(a^m\right) [/mm] = m * [mm] \log_b(a)$
[/mm]
[mm] $\ln(0,55) [/mm] \ = \ t * [mm] \ln(0,968)$
[/mm]
$t \ = \ [mm] \bruch{\ln(0,55)}{\ln(0,968)} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] \bruch{-0,5978}{-0,0325} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 18,38min \ [mm] \approx [/mm] \ 18min \ 23sec$
> Und bei 4.4 habe ich gar keinen Schimmer.
Diese Aufgabe geht fast genauso wie die vorherige.
Nehmen wir die allgemeine Formel (siehe auch oben):
$T(t) \ = \ [mm] T_0 [/mm] * [mm] a^t$
[/mm]
Nun soll gelten: $T(t) \ = \ [mm] \bruch{T_0}{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\bruch{T_0}{2} [/mm] \ = \ [mm] T_0 [/mm] * [mm] a^t$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{2} [/mm] \ = \ 1 * [mm] a^t$
[/mm]
[mm] $\ln\left(\bruch{1}{2}\right) [/mm] \ = \ t * [mm] \ln(a)$
[/mm]
Nun gilt (ein weiteres Logarithmusgesetz):
[mm] $\ln\left(\bruch{1}{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \ln(1) [/mm] - [mm] \ln(2) [/mm] \ = \ 0 - [mm] \ln(2) [/mm] \ = \ - [mm] \ln(2)$
[/mm]
Damit wird:
$- [mm] \ln(2) [/mm] \ = \ t * [mm] \ln(a)$
[/mm]
$t \ = \ - [mm] \bruch{\ln(2)}{\ln(a)}$
[/mm]
Für die andere Teilaufgabe genauso ...
> Bitte, helft mir ein letztes Mal ! Ist die letzte
> Mathe-Klausur meines Lebens !!! Habe mein Abi im Juni in
> der Tasche...
Na, das klingt ja schon mal prima ...
> Liebe Grüße nochmal aus der Hauptstadt, und einen schönen
> Abend !
Schöne Grüße zurück in meine Heimatstadt (morgen bin ich wieder da!!)
Loddar
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