Wachstum von Populationen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten folgendes einfache Modell für das Wachstum von Populationen. Der zuwachs [mm] \Delta [/mm] N(t) einer Population aus N(t) Individuen während einer Zeitspanne [mm] \Delta [/mm] t sei proportional zu N(t) und zu [mm] \Detal [/mm] t, mit einem Proportionalitätsfaktor a, der sog. Wahcstumsrate.
Dies ist beschreibbar durch eine kleiner werdende, effektive Wachstumsrate a(1-bN).
Diese Wachstumsgesetze ergeben für N(t) die Differentialgleichung
[mm] \bruch{dN}{dt} [/mm] = a(1-bN)N
a) Lösen sie diese Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung N(t=0) = [mm] N_{0}
[/mm]
b) Diskutieren Sie die Lösung. Wie verhält sich N(t) anfangs (für Zeiten t < (ungefähr zeichen da drunter) 1/a, wenn die Wachstumsbehinderung [mm] bN_{0} [/mm] << 1 ist?Wie verhält sich N(t) für große Zeiten t >> 1/a |
Ich habe jetzt folgendermaßen angesetzt:
[mm] \bruch{dN}{dt} [/mm] = a(1-bN)N <-- Dieses N hier ist doch eigentlich auch schon N(t) oder nicht?
Jedenfalls habe ich einfach beide Seiten integriert =>
N(t) = [mm] \integral_{}^{}{a(1-bN)N dt} [/mm] <--- immerhin hängt unser N eigentlich N(t) also integriere ich über die Zeit und schmeiße a und b als konstanten im weiteren verlauf vor die Integrale und komme zum Zwischenergebnis:
N(t) = a(N*t - [mm] b*N^{2}*t) [/mm] <--- Die Integrationskonstante wollte ich als letztes einfach dazu addieren nachdem ich mit allen umformungen fertig bin.
<=> N(t) = N(t) (a*t - a*b*N(t)*t)
<=> 1 = a*t - a*b*N(t)*t
...
N(t) = - [mm] \bruch{1}{a*t*b} [/mm] + [mm] \bruch{1}{b} [/mm] + C
Jedoch scheint ja der Ansatz gänzlich falsch zu sein und ich weiss nicht so recht wieso. Aus irgendeinem Grund wurde hier mit Seperation der Variablen gelöst ( weiss auch nicht wie das geht ) und nach a aufgelöst. Weiss jemand wieso?
Vielen dank, die Frage habe ich nirgends sonst gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 So 22.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
es handelt sich doch um eine Differentialgleichung:
N'(t)=a(1-b*N(t))*N(t)
da du N(t) nicht kennst, es ist ja keine Variable, sondern eine unbekannte Funktion kannst du auch nicht einfach integrieren. Denn das Integral einer Funktion f(x) ist ja sicher i,A. nicht [mm] f^2(x), [/mm] wie du gerechnet hast.
Was du machst ist [mm] N'(t)=\bruch{dN}{dt}
[/mm]
dann hast du dN=a(1-b*N(t))*N(t)*dt
oder [mm] \bruch{dN}{a(1-b*N)*N}=dt
[/mm]
jetzt kannst du beide Seiten integrieren (Man nennt as Separation der Variablen N und t
das Integral links löst du durch Partialbruchzerlegung.
Gruss leduart
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Okay du hast natürlich recht, aber die partielle Integration sieht überhaupt nicht lustig aus.
[mm] \integral_{N_{0}}^{N}{1*\bruch{1}{N(1-bN)}}
[/mm]
Wie bring ich das denn zum Erfolg? Wenn ich den Bruch aufteile und partiell Integriere führt das zu nichts und den Bruch als 1*Bruch zu interpretieren zeigt mir zumindest auf anhieb keinen einfachen lösungsweg.
Übersehe ich noch was?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 So 22.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich habe nichts von partiell integrieren gesagt.
du formst den Bruch
[mm] \bruch{1}{N(1-bN)} [/mm] um in [mm] \bruch{A}{N}+\bruch{B}{(1-bN)}
[/mm]
A und B durch Koeffizientenvergleich. Dann hast du 2 einfache Integrale.
Gruss leduart
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