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Hallo,
die Aufgabestellung, dei mir Kopfschmerzen bereitet, lautet wie folgt:
Sparvertrag zur Altervorsorge
1) Einzahlung zu Beginn jeden Jahres: 3000
2) Zinssatz p.a: 4%
3) Gutschrift der Zinsen am Ende jeden Jahres und erneute Verzinsung (Zinseszins)
Aufgabe: Entwickeln Sie eine Funktionsgleichung (Gesamtkapital in Abhängigkeit der Jahre)
Ich habe es geschafft, eine Funktionsgleichung für jedes einzelne Jahr zu erstellen.
z.B lautet diese für das Ende des erste Jahres: 3000 *1,04
und für das Ende des zweiten Jahres: 3000*1,04²+3000*1,04
usw.
Aber mir ist nicht bewusst, wie man von diesem Ansatz zu der fertigen Formel für diese Form des Zinseszins kommt, die da lautet
[mm]K=R \times q \times \bruch {q^{n}-1} {q -1}[/mm] n= Jahre; R=Rate (in diesem Fall 3000); q= Zinsfaktor (in diesem Fall 1,04)
Es wäre sehr nett, wenn mir Jemand den Ansatz zeigen könnte, wie ich von den Gleichungen für jedes einzelne Jahr zu der allgemeinen Funktion komme. Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Di 01.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Abend Ellen,
erst einmal ein schönes ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Und dann noch ein dickes Kompliment:
Als Neuling hier alles richtig gemacht ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
> Ich habe es geschafft, eine Funktionsgleichung für jedes
> einzelne Jahr zu erstellen.
> z.B lautet diese für das Ende des erste Jahres: 3000*1,04
> und für das Ende des zweiten Jahres: 3000*1,04²+3000*1,04
> usw.
> Aber mir ist nicht bewusst, wie man von diesem Ansatz zu
> der fertigen Formel für diese Form des Zinseszins kommt,
> die da lautet
> [mm]K=R \times q \times \bruch {q^{n}-1} {q -1}[/mm] n= Jahre;
> R=Rate (in diesem Fall 3000); q= Zinsfaktor (in diesem Fall
> 1,04)
Da warst Du doch auf einem sehr guten Weg.
Wenn man das jetzt weiterführt, erhalten wir nach $n$ Jahren:
[mm] $K_n [/mm] \ = \ [mm] 3000*1,04^n [/mm] + [mm] 3000*1,04^{n-1} [/mm] + [mm] 3000*1,04^{n-2} [/mm] + ... + [mm] 3000*1,04^2 [/mm] + [mm] 3000*1,04^1$
[/mm]
Klammern wir zunächst unsere Rate 3000 aus:
[mm] $K_n [/mm] \ = \ 3000 * [mm] \left( 1,04^n + 1,04^{n-1} + 1,04^{n-2} + ... + 1,04^2 + 1,04^1 \right)$
[/mm]
Zur Verdeutlichung vertausche ich mal die Reihenfolge innerhalb der Klammern:
[mm] $K_n [/mm] \ = \ 3000 * [mm] \left( 1,04^1 + 1,04^{2} + 1,04^{3} + ... + 1,04^{n-2} + 1,04^{n-1} + 1,04^n \right)$
[/mm]
Innerhalb der Klammer habe ich nun eine sogenannte geometrische Reihe, für die folgende Formel gilt:
[mm] $s_n [/mm] \ = \ [mm] a_1 [/mm] * [mm] \bruch{q^n-1}{q-1}$
[/mm]
Setze ich nun für [mm] $a_1 [/mm] \ = \ 1,04$, erhalte ich meine gewünschte Formel:
[mm] $K_n [/mm] \ = \ 3000 * 1,04 * [mm] \bruch{1,04^n-1}{1,04-1}$
[/mm]
Oder allgemein:
[mm] $K_n [/mm] \ = \ R * q * [mm] \bruch{q^n-1}{q-1}$
[/mm]
Nun alle Klarheiten beseitigt?
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Di 01.02.2005 | | Autor: | dominik |
Die Lösung könnte auch folgendermassen aussehen und ist als Alternative zu Loddars Lösung gemeint:
Nehmen wir als Beispiel einen Zeitraum von vier Jahren.
Zu Beginn eines jeden Jahres zahlst du den Betrag R=3000 ein.
Du hast also - bei 4 Jahren - vier parallele Wertzunahmen mit Zinseszins. Das Ganze könnte so dargestellt werden:
----+----+----+----+ 1. Kapital nach 4 Jahren mit Zinseszins: [mm]k_4=R*q^{4}[/mm]
+----+----+----+ 2. Kapital nach 3 Jahren mit Zinseszins: [mm]k_3=R*q^{3}[/mm]
+----+----+ 3. Kapital nach 2 Jahren mit Zinseszins: [mm]k_2=R*q^{2}[/mm]
+----+ 4. Kapital nach 1 Jahr mit Zinseszins: [mm]k_1=R*q^{1}[/mm]
Der gesamte Wert nach vier Jahren ist die Summe dieser vier Teilwerte:
[mm] K_{4}=k_1+k_2+k_3+k_4=R*q^{1}+R*q^{2}+R*q^{3}+R*q^{4}
[/mm]
Und allgemein:
[mm] K_{n}=k_1+k_2+k_3+ [/mm] ... [mm] +k_n=R*q^{1}+R*q^{2}+R*q^{3}+ [/mm] ... [mm] +R*q^{n}
[/mm]
was nichts anderes ist als die von Loddar bereits erwähnte geometrische Reihe mit dem Anfangsglied R*q und dem konstanten Faktor oder Quotienten q.
Viele Grüsse
dominik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Max |
Nur damit der Übergang von der Summe zur letzten Formel nachvollziehbar wird:
Es gilt: [mm] $K_n [/mm] = 3000 [mm] \cdot [/mm] 1,04 + 3000 [mm] \cdot 1,04^2 [/mm] + 3000 [mm] \cdot 1,04^3 [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + 3000 [mm] \cdot 1,04^n$
[/mm]
Ersetzt man $K=3000$ und $q=1,04$ erhält man:
[mm] $K_n [/mm] = K [mm] \cdot [/mm] q + K [mm] \cdot q^2+ [/mm] K [mm] \cdot q^3 [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + K [mm] \cdot q^n$
[/mm]
Klammert man $K$ und $q$ aus, erhält man:
[mm] $K_n [/mm] = K [mm] \cdot [/mm] q [mm] \cdot \left( 1+ q + q^2 + \cdots q^{(n-1)} \right)$
[/mm]
Die Klammer kann man sehr leicht vereinfachen. Multipliziert man die Klammer mit dem Faktor $(1-q)$, gilt
[mm] $(1+q+q^2+\cdots [/mm] + [mm] q^{(n-1)})(1-q) [/mm] = 1 - [mm] q^n$
[/mm]
Die Potenzen von [mm] $q^1$ [/mm] bis [mm] $q^{(n-1)}$ [/mm] fallen weg, da jeweils zwei solche Summanden entstehen, die sich gegenseitig wegheben.
Löst man diese Gleichung nach der ersten Klammer auf sieht man , dass
[mm] $1+q+q^2+\cdots [/mm] + [mm] q^{(n-1)} [/mm] = [mm] \frac{1-q^n}{1-q}$ [/mm] gilt. Setzt man dieses ein, erhält man die gewünschte Formel.
[mm] $K_n [/mm] = K [mm] \cdot [/mm] q [mm] \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ $\Box$
[/mm]
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Guten Abend miteinander,
Bin dabei, ebendiese Formel in meinen Sharp einzuprogrammieren (basic) und frage mich jetzt, ob bei einem Start-"Sockel"-Betrag von beisp.weise 50'000 Euro die normale Zinseszins-Formel mit dieser Rentenzins-Formel (vorschüssige Zahlweise?) addiert werden darf.
Wie sieht allenfalls eine Vereinfachung (Kombination beider Formeln) aus?
Danke für die Hilfe, Passionato
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 So 17.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo,
ja du darfst addieren, du musst nur überlegen, dass du evtl aufspalten musst in $50000=47000+300ß$, um immer die gleiche Verzinsung zu haben. Dann werden die 47000 halt auch noch mit [mm] $q^n$ [/mm] multipliziert.
Gruß Max
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Vielen Dank, Max, für deine Hilfe mit den angegebenen Links. Hab gelernt, dass es sich dabei um die Sparkassenformel handelt.
Wäre es jetzt aber nicht klarer, wenn für die jährl. Zahlungen (vorschüssig, ab dem 2. Jahr) der Zeitraum mit (n-1) definiert würde?
Dies ergäbe die Formel: [mm] Kn=Ko*q^{n}+r*q*(q^{n-1}-1)/(q-1)
[/mm]
Hoffe, die Formel stimmt. Für mein zweites Problem: Zinssatz-Berechnung bei vorhergehender Fragestellung bin ich nicht schlau geworden. Wahrscheinlich müsste ich dieses Problem in der höheren Finanz-Mathematik (Näherungen) einer Lösung zuführen. Aber dafür reicht mein Wissen nicht.
Liebe Grüsse guido
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Di 19.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Passionata,
> Vielen Dank, Max, für deine Hilfe mit den angegebenen
> Links. Hab gelernt, dass es sich dabei um die
> Sparkassenformel handelt.
> Wäre es jetzt aber nicht klarer, wenn für die jährl.
> Zahlungen (vorschüssig, ab dem 2. Jahr) der Zeitraum mit
> (n-1) definiert würde?
>
> Dies ergäbe die Formel: [mm]Kn=Ko*q^{n}+r*q*(q^{n-1}-1)/(q-1)[/mm]
>
> Hoffe, die Formel stimmt.
Ja, das geht auch.
> Für mein zweites Problem:
> Zinssatz-Berechnung bei vorhergehender Fragestellung bin
> ich nicht schlau geworden. Wahrscheinlich müsste ich dieses
> Problem in der höheren Finanz-Mathematik (Näherungen) einer
> Lösung zuführen. Aber dafür reicht mein Wissen nicht.
>
> Liebe Grüsse guido
Naja, wenn du alle Größen außer $q$ kennst hast du ja immer eine Gleichung in $q$. Wenn du Glück hast, kannst du diese lösen, manchmal musst du aber numerisch Lösungen finden.
Max
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Hallo Max
Habe ein Verständnis-Problem mit deiner Formel am Schluss deines Beitrags:
$ [mm] K_n [/mm] = K [mm] \cdot [/mm] q [mm] \cdot \frac{1-q^n}{1-q} [/mm] $
Müsste sie nicht im Bruch umgekehrt werden? Also:
$ [mm] K_n [/mm] = K [mm] \cdot [/mm] q [mm] \cdot \frac{q^n-1}{q-1} [/mm] $
Und wenn nein, wieso stimmt deine Lösung auch?
Freundliche Grüsse
Guido
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 So 17.04.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Guido!
> Habe ein Verständnis-Problem mit deiner Formel am Schluss
> deines Beitrags:
>
> [mm]K_n = K \cdot q \cdot \frac{1-q^n}{1-q}[/mm]
>
> Müsste sie nicht im Bruch umgekehrt werden? Also:
>
> [mm]K_n = K \cdot q \cdot \frac{q^n-1}{q-1}[/mm]
>
> Und wenn nein, wieso stimmt deine Lösung auch?
Es gilt allgemein:
[mm] $\bruch{a-b}{c-d}=\bruch{b-a}{d-c}$
[/mm]
denn: [mm] $\bruch{a-b}{c-d}=\bruch{-1*(b-a)}{-1*(d-c)}=\bruch{b-a}{d-c}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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Grüezi miteinander,
Habe als Anschlussfrage noch ein schwierigeres Problem und frage mich, ob es mir jemand einfach beschreiben kann: Möchte eine Formel finden, die sich in meinen Sharp basic-programmieren lässt und die das Folgende berechnet:
Gegeben: 1. Startkapital: 50'000 Euro, 2. jährl. vorschüssige Prämien ab 2. Jahr: 3'000 Euro, 3. totale Laufzeit: 10 Jahre, 4. Endkapital: 130'000 Euro.
Gesucht: Durchschnittl. jährl. Renten-Zinssatz (Rendite) ?
Besten Dank für die Hilfe Guido
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Würde die Formel auch funktionieren, wenn das Anfangskapital Null Euro wäre?
Habe noch eine Zins-Formel gefunden, welche [mm] p=((Kn/Ko)^{1/n}-1)*100 [/mm]
lautet.
Dann ist aber bei Ko = 0 Euro die Berechnung nicht möglich ( Division durch 0 ) und dies ist ja nicht für ratielle (jährliche) Zusatz-Zahlungen gedacht. Liege ich richtig mit meiner Annahme?
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