WärmePDE als Gradient Flow < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:29 Fr 03.12.2010 | | Autor: | c2alpha |
| Aufgabe | Sei [mm] u(t,x_1,...,x_n) : I \times \IR^n \to \IR[/mm] mit [mm]I \subset \IR[/mm].
Die Wärmeleitungsgleichung lautet [mm]\frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u[/mm] wobei der Laplaceoperator nur bzgl der Raumkoordinaten wirkt.
Behauptung: die Wärmeleitungsgleichung lässt sich als Gradientenfluss des Dirichlet Energiefunktionals
[mm]E(u):=\frac{1}{2} \int_{\IR^n} |\nabla u|^2 dx[/mm] darstellen.
Der Gradient soll ebenfalls bezüglich der Raumkoordinaten verstanden werden, d.h. [mm]\nabla u = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial u}{\partial x_i}[/mm] |
Hallo miteinander!
Zunächstmal der offizielle Teil: ja, ich habe gesucht, und nein, ich habe die Frage nirgendwo sonst gestellt.
Die Frage hätte wohl auch ins Differentialgleichungsforum oder zu Mass&Integration gepasst.. falls das hier die komplett falsche Stelle sein sollte bitte verschieben.
Zur Sache:
Dass so eine Darstellung existiert scheint mir plausibel und es ist wohl auch eine bekannte Tatsache, allerdings finde ich nirgends einen expliziten Beweis und scheitere am Nachrechnen von [mm]-\nabla E(u) = \Delta u[/mm]
Wenn das Integral dt wäre wär das Ganze ein Fall für den Satz zur Differentiation parameterabhängiger Integrale, aber leider ist's das nicht.
Angenommen der Integrand ist schön genug könnte man mit Fubini das Mehrfachintegral umsortieren
[mm] -\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial }{\partial x_i}
\int_{\IR} ...\int_{\IR} |\nabla u|^2 dx_1 ... dx_n dx_i[/mm]
sodass sich jeweils zumindest in einer Koordinate Integration und Differentiation eliminieren, aber damit bin ich dem gewünschten Ergebnis kein bisschen näher..
Für sachdienliche Hinweise schonmal besten Dank :)
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 18.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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