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Wärmeleitungsgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:20 So 18.12.2011
Autor: paul87

Aufgabe
Lösen Sie folgende Wärmeleitungsgleichung mit Hilfe der Fourier-Methode:

Ut=Uxx,
U(0,t)=U(1,t)=0,
[mm] U(x,0)=sin(3*\pi*x), [/mm]

wobei 0<x<1 und t>0.

Hallo Leute,

eigentlich ist diese Aufgabe ganz einfach.

Fourier-Gleichung:

[mm] U(x,t)=\summe_{n=1}^{\infty}Bn*e^{-n^2*\pi^2*t}*sin(n*\pi*x) [/mm]

Jetzt "nur" noch Bn berechnen. Dazu gibt es folgende Formel:

[mm] Bn=2*\integral_{0}^{1}{sin(3*\pi*x)*sin(n*\pi*x) dx} [/mm]

Ich habe hier aber die Lösung samt Lösungsweg vorliegen. Der Prof. hat geschrieben:

Bn: Fourier-Koeff. von [mm] sin(3*\pi*x) [/mm] (2-periodisch, ungerade)
[mm] sin(3*\pi*x)=sin(3*\pi*x) [/mm]
B3=1, B1=0

d.h. [mm] U(x,t)=e^{-9*\pi^2*t}*sin(3*\pi*x). [/mm]

Nun zu meiner Frage. Ich verstehe nicht was er da jetzt gemacht hat. Er hat das Lösungsintegral für Bn nicht benutzt. Aber was hat er gemacht?

Kann mir das vielleicht jemand erklären?

Vielen Dank.





        
Bezug
Wärmeleitungsgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 So 18.12.2011
Autor: MathePower

Hallo paul87,

> Lösen Sie folgende Wärmeleitungsgleichung mit Hilfe der
> Fourier-Methode:
>  
> Ut=Uxx,
>  U(0,t)=U(1,t)=0,
>  [mm]U(x,0)=sin(3*\pi*x),[/mm]
>  
> wobei 0<x<1 und t>0.
>  Hallo Leute,
>  
> eigentlich ist diese Aufgabe ganz einfach.
>
> Fourier-Gleichung:
>  
> [mm]U(x,t)=\summe_{n=1}^{\infty}Bn*e^{-n^2*\pi^2*t}*sin(n*\pi*x)[/mm]
>  
> Jetzt "nur" noch Bn berechnen. Dazu gibt es folgende
> Formel:
>  
> [mm]Bn=2*\integral_{0}^{1}{sin(3*\pi*x)*sin(n*\pi*x) dx}[/mm]
>  
> Ich habe hier aber die Lösung samt Lösungsweg vorliegen.
> Der Prof. hat geschrieben:
>  
> Bn: Fourier-Koeff. von [mm]sin(3*\pi*x)[/mm] (2-periodisch,
> ungerade)
>  [mm]sin(3*\pi*x)=sin(3*\pi*x)[/mm]
>  B3=1, B1=0
>  
> d.h. [mm]U(x,t)=e^{-9*\pi^2*t}*sin(3*\pi*x).[/mm]
>  
> Nun zu meiner Frage. Ich verstehe nicht was er da jetzt
> gemacht hat. Er hat das Lösungsintegral für Bn nicht
> benutzt. Aber was hat er gemacht?
>
> Kann mir das vielleicht jemand erklären?
>


Die Fourierreihe von [mm]\sin\left(3*\pi*x\right)[/mm]  ist die Funktion selbst.

Daher konnte er einen Koeffizientenvergleich durchführen.

[mm]U(x,0)=\summe_{n=1}^{\infty}B_{n}*sin(n*\pi*x)=0*sin\left(1*\pi*x\right)+0*sin\left(2*\pi*x\right)+1*sin\left(3*\pi*x\right)+0*sin\left(4*\pi*x\right)+ ...[/mm]

Damit folgt:

[mm]B_{n}=\left\{\begin{matrix} 1 &n=3 \\ 0 & sonst\end{matrix}\right[/mm]


> [mm][mm] U(x,t)=\summe_{n=1}^{\infty}Bn*e^{-n^2*\pi^2*t}*sin(n*\pi*x)[/ [/mm]

mm]

> Vielen Dank.
>  

Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Wärmeleitungsgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:10 Di 20.12.2011
Autor: paul87

Vielen Dank für die Hilfe!



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