Wahl - Inverse Matrix ? < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Partei A hat heute 130 Mitglieder.
Partei B hat heute 100 Mitglieder.
Partei C hat heute 1070 Mitglieder.
Jedes Jahr wechseln von A 10% nach C.
Jedes Jahr wechseln von B 20% nach A und 30% nach C.
Alle anderen bleiben ihrer jeweiligen Partei treu.
Fragen:
a) Wie viele Mitglieder werden A, B und C in einem Jahr haben?
b) Wie viele Mitglieder hatten A, B und C vor einem Jahr?
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Bestimmt gibt es mehrere Möglichkeiten, an die Aufgabe ran zu gehen.
Aber der Lehrer, der diese Aufgabe gestellt hat, scheint ein "Matrizen-Fetischist" zu sein
(nicht zu verwechseln mit einem Matratzen-Fetischisten *lol*).
Aufgabe a) sollte deshalb so gelöst werden:
[mm] \pmat{ 0.9 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\0.1 & 0.3 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 130 \\ 100 \\ 1070 } [/mm] = [mm] \pmat{ 137 \\ 50 \\ 1113 }
[/mm]
Das ist dann das Ergebnis aus a):
A hat in einem Jahr 137 Mitglieder, B hat 50 Mitglieder und C hat 1113 Mitglieder.
So weit, so gut. Aber wie soll das bei b) gehen?
[mm] \pmat{ 0.9 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\0.1 & 0.3 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ A \\ B \\ C } [/mm] = [mm] \pmat{ 130 \\ 100 \\ 1070 }
[/mm]
Wie kriegt man dann A, B und C raus?
Okay [mm] \Rightarrow [/mm] 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Das ist lösbar.
Aber irgendwie sollte das auch anders funktionieren:
Da stand was von "Inverse Matrix"
Macht das einen Sinn?
Ist das unbedingt erforderlich?
Ist der Rechenaufwand dann kleiner im Vergleich zu "3 Gleichungen mit 3 Unbekannten"?
Das Ergebnis ist übrigens:
A hatte vor einem Jahr 100 Mitglieder, B hatte 200 Mitglieder und C hatte 1000 Mitglieder.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Fr 25.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Partei A hat heute 130 Mitglieder.
> Partei B hat heute 100 Mitglieder.
> Partei C hat heute 1070 Mitglieder.
>
> Jedes Jahr wechseln von A 10% nach C.
> Jedes Jahr wechseln von B 20% nach A und 30% nach C.
> Alle anderen bleiben ihrer jeweiligen Partei treu.
>
> Fragen:
> a) Wie viele Mitglieder werden A, B und C in einem Jahr
> haben?
> b) Wie viele Mitglieder hatten A, B und C vor einem Jahr?
>
> Bestimmt gibt es mehrere Möglichkeiten, an die Aufgabe ran
> zu gehen.
> Aber der Lehrer, der diese Aufgabe gestellt hat, scheint
> ein "Matrizen-Fetischist" zu sein
> (nicht zu verwechseln mit einem Matratzen-Fetischisten
> *lol*).
>
> Aufgabe a) sollte deshalb so gelöst werden:
>
> [mm]\pmat{ 0.9 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\0.1 & 0.3 & 1 }[/mm] *
> [mm]\pmat{ 130 \\ 100 \\ 1070 }[/mm] = [mm]\pmat{ 137 \\ 50 \\ 1113 }[/mm]
>
> Das ist dann das Ergebnis aus a):
> A hat in einem Jahr 137 Mitglieder, B hat 50 Mitglieder und
> C hat 1113 Mitglieder.
>
>
> So weit, so gut. Aber wie soll das bei b) gehen?
>
> [mm]\pmat{ 0.9 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\0.1 & 0.3 & 1 }[/mm] *
> [mm]\pmat{ A \\ B \\ C }[/mm] = [mm]\pmat{ 130 \\ 100 \\ 1070 }[/mm]
>
> Wie kriegt man dann A, B und C raus?
>
> Okay [mm]\Rightarrow[/mm] 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Das ist
> lösbar.
>
> Aber irgendwie sollte das auch anders funktionieren:
> Da stand was von "Inverse Matrix"
>
> Macht das einen Sinn?
Ja, das kann man machen
> Ist das unbedingt erforderlich?
Nein. Siehe Antwort auf Deine nächst Frage
> Ist der Rechenaufwand dann kleiner im Vergleich zu "3
> Gleichungen mit 3 Unbekannten"?
In diesem Fall führt das Lösen des LGS schneller zum Ziel .
B= 200 hat man sofort. A ergibt sich aus der 1. Gleichung dann rasch, ebnso C.
FRED
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> Das Ergebnis ist übrigens:
> A hatte vor einem Jahr 100 Mitglieder, B hatte 200
> Mitglieder und C hatte 1000 Mitglieder.
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| Aufgabe | In obigem Beispiel waren die Zahlen absihtlich einfach gewählt, so dass man das notfalls im Kopf rechnen kann.
Aber wie wäre das, wenn da eine intensivere Bewegung quer durch alle Parteien stattfinden würde? |
Vom Prinzip her ist mir das einleuchtend:
Die Spalten der Matrizen stellen dar: Bewegung von ...
Die Zeilen der Matrizen stellen dar: Bewegung nach ...
Und dann wird gerechnet:
90% der 130 A-Mitglieder (=117) wandern von A nach A.
20% der 100 B-Mitglieder (= 20) wandern von B nach A.
0% der 1070 C-Mitglieder (= 0) wandern von C nach A.
Also hat A ein Jahr später 117 + 20 + 0 = 137 Mitglieder
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Hallo, hast du eine intensivere Bewegung bei z.B. fünf Parteien, so bekommst du eine 5 mal 5 Matrix, u.s.w. sicherlich ist nun die Frage, wie hoch ist der Rechenaufwand: Gleichungssystem oder inverse Matrix, kannst ja mal dein 1. Beispiel ein Jahr zurück rechnen über die inverse Matrix
[mm] \pmat{ \bruch{10}{9} & -\bruch{4}{9} & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -\bruch{1}{9} & -\bruch{5}{9} & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{130 \\ 100 \\ 1070 }=
[/mm]
Steffi
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| Aufgabe | Es ist [mm] \pmat{ 0.9 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\0.1 & 0.3 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 130 \\ 100 \\ 1070 } [/mm] = [mm] \pmat{ 137 \\ 50 \\ 1113 }
[/mm]
Und es ist [mm]\pmat{ \bruch{10}{9} & -\bruch{4}{9} & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -\bruch{1}{9} & -\bruch{5}{9} & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 137 \\ 50 \\ 1113 } = [/mm] [mm] \pmat{ 130 \\ 100 \\ 1070 }
[/mm]
Daraus folgt:
[mm]\pmat{ \bruch{10}{9} & -\bruch{4}{9} & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -\bruch{1}{9} & -\bruch{5}{9} & 1 } [/mm] ist die inverse Matrix zu [mm]\pmat{ 0.9 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\0.1 & 0.3 & 1 }[/mm]
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Durch welche Rechenoperationen kommt man denn
von [mm]\pmat{ 0.9 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\0.1 & 0.3 & 1 }[/mm] auf [mm]\pmat{ \bruch{10}{9} & -\bruch{4}{9} & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -\bruch{1}{9} & -\bruch{5}{9} & 1 } [/mm] ?
Falls es sich um "relativ einfache" Rechenoperationen handelt, dann könnte es bei einer 5 mal 5 Matrix eventuell auf diesem Wege schneller gehen, da man ansonsten ja 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten hätte.
Andererseits muss man bei einer 5 mal 5 Matrix ja 25 einzelne Positionen berechnen.
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> [mm]\pmat{ \bruch{10}{9} & -\bruch{4}{9} & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -\bruch{1}{9} & -\bruch{5}{9} & 1 }[/mm]
> ist die inverse Matrix zu [mm]\pmat{ 0.9 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\0.1 & 0.3 & 1 }[/mm]
>
>
> Durch welche Rechenoperationen kommt man denn
>
> von [mm]\pmat{ 0.9 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\0.1 & 0.3 & 1 }[/mm] auf [mm]\pmat{ \bruch{10}{9} & -\bruch{4}{9} & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -\bruch{1}{9} & -\bruch{5}{9} & 1 }[/mm] ?
>
> Falls es sich um "relativ einfache" Rechenoperationen
> handelt, dann könnte es bei einer 5 mal 5 Matrix eventuell
> auf diesem Wege schneller gehen, da man ansonsten ja 5
> Gleichungen mit 5 Unbekannten hätte.
>
> Andererseits muss man bei einer 5 mal 5 Matrix ja 25
> einzelne Positionen berechnen.
Hallo rabilein,
zur Berechnung der inversen Matrix gibt es verschiedene
Algorithmen. Ein wichtiger ist da dargestellt:
![[]](/images/popup.gif) Inverse Matrix
Für größere Matrizen ist die Invertierung aber jedenfalls
ziemlich rechenaufwendig und man überlässt deshalb
die Berechnung am besten dem Computer. Im Netz
findet man dazu reihenweise Applets !
LG Al-Chw.
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