Wahr oder falsch < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 So 26.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe 1 | Wenn drei Vektoren eines Vektorraums V ein Erzeugendensystem
von V bilden, dann ist die Dimension von V höchstens drei. |
| Aufgabe 2 | Wenn es drei linear unabhängige Vektoren in einem endlich erzeugten
Vektorraum V gibt, dann ist die Dimension von V mindestens
drei. |
Hallo,
wenn die Dimension 3 ist, dann besteht das Erzeugendensystem aus 3 Vektoren und es gibt 3 linear unabhängige Vektoren, aber so wie es oben behauptet wird, würde ich sagen, dass beide Aussagen falsch sind, oder?
Vielen Dank und Gruß, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 So 26.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ueberleg nochmal und achte auf das mindestens und hoechstens.
Und gib ne Ueberlegung oder nen Gegenbeispiel an, wenn du fuer "falsch" bist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 So 26.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> ueberleg nochmal und achte auf das mindestens und
> hoechstens.
ok, wenn 3 Vektoren ein Erzeugendensystem bilden, dann kann eine Basis ja nicht mehr als 3 Vektoren enthalten, oder?
wenn es 3 linear unabhängige Vektoren gibt, dann müssen die Basen mindestens aus 3 Vektoren bestehen, richtig?
> Und gib ne Ueberlegung oder nen Gegenbeispiel an, wenn du
> fuer "falsch" bist.
ok, das ist natürlich das schwierigste dabei.
Gruß, Stefan.
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> ok, wenn 3 Vektoren ein Erzeugendensystem bilden, dann
> kann eine Basis ja nicht mehr als 3 Vektoren enthalten,
> oder?
Hallo,
richtig.
Denn eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem.
> wenn es 3 linear unabhängige Vektoren gibt, dann müssen
> die Basen mindestens aus 3 Vektoren bestehen, richtig?
Ja. Denn die Dimension des Raumes ist dann mindestens 3.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:24 Mo 27.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> richtig.
> Denn eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem.
ja, damit kann ich mich auch gut anfreunden.
> > wenn es 3 linear unabhängige Vektoren gibt, dann müssen
> > die Basen mindestens aus 3 Vektoren bestehen, richtig?
>
> Ja. Denn die Dimension des Raumes ist dann mindestens 3.
da komm ich noch nicht ganz hinter. Die Basis ist ein minimales, linear unabhängiges Erzeugendensystem, sind denn linear unabhängige Vektoren nicht auch schon eine Basis? Oder kann es vorkommen, dass es eine Basis gibt, die zwar linear unabhängige Vektoren enthält, aber den Vektorraum nicht erzeugt? Hast du ein Beispiel?
Vielen Dank für die Mühe.
Gruß, Stefan.
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> > > wenn es 3 linear unabhängige Vektoren gibt, dann müssen
> > > die Basen mindestens aus 3 Vektoren bestehen, richtig?
> >
> > Ja. Denn die Dimension des Raumes ist dann mindestens 3.
> da komm ich noch nicht ganz hinter. Die Basis ist ein
> minimales, linear unabhängiges Erzeugendensystem, sind denn
> linear unabhängige Vektoren nicht auch schon eine Basis?
Hallo,
zu "Basis" gehört ja auch immer noch wovon das eine Basis ist.
Wenn Du drei linear unabhängige Vektoren [mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] hast, sind sie natürlich eine Basis von [mm] [/mm] (lineare Hülle, Span, Erzeugnis).
Sie sind aber nicht zwangsläufig eine Basis des Vektorraumes, dem sie entnommen wurde, denn der könnte ja die Dimension 4711 haben.
Beispiel: drei linear unabhängige Vektoren aus dem [mm] \IR^4.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:02 Mo 27.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> zu "Basis" gehört ja auch immer noch wovon das eine Basis
> ist.
ja, das stimmt, denn der Vektorraum ist ja nicht zwangsläufig immer der maximale Raum, bspw. eben bei [mm] \IR^4. [/mm] Außerdem muss bei linear unabhängigen Vektoren ja die Dimension mindestens so groß sein, wie deren Anzahl, das geht ja aus dem Basisergänzungssatz eindeutig hervor, der ja besagt, dass man einen endlich erzeugten Vektorraum um Vektoren (zusätzlich) zu einer Basis ergänzen kann, die zu den linear unabhängigen dazukommen. Demnach ist die Dimension mindestens so groß oder aber gleich.
Jetzt hab ichs verstanden durch deine super Erklärung!
Vielen Dank,
Gruß, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Mo 27.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe 1 | | Jeder Vektor in [mm] \IR^2 [/mm] lässt sich zu einer Basis von [mm] \IR^2 [/mm] ergänzen. |
| Aufgabe 2 | | Jede Basis von [mm] \IR^2 [/mm] enthält eine Basis des Unterraums U = [mm] <\vektor{1 \\ 0}> [/mm] |
zu 1) hier würde ich sagen: ja, wegen Austauschsatz von Steinitz?
zu 2) hier bin ich mir unsicher.
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Mo 27.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Jeder Vektor in [mm]\IR^2[/mm] lässt sich zu einer Basis von [mm]\IR^2[/mm]
> ergänzen.
> Jede Basis von [mm]\IR^2[/mm] enthält eine Basis des Unterraums U =
> [mm]<\vektor{1 \\ 0}>[/mm]
> zu 1) hier würde ich sagen: ja, wegen
> Austauschsatz von Steinitz?
Na, dann ergänze doch mal den Nullvektor zu einer Basis !?
> zu 2) hier bin ich mir unsicher.
{ [mm] \vektor{1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1} [/mm] } ist eine Basis des [mm] \IR^2. [/mm] Enthält diese eine Basis von [mm] <\vektor{1 \\ 0}> [/mm] ?
FRED
>
> Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Mo 27.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Na, dann ergänze doch mal den Nullvektor zu einer Basis !?
ok, das geht nicht, da ja mit "jeder Vektor aus \IR^2" auch der Nullvektor ist, ist die Aussage also falsch.
> { [mm]\vektor{1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ist eine Basis des
> [mm]\IR^2.[/mm] Enthält diese eine Basis von [mm]<\vektor{1 \\ 0}>[/mm] ?
nein, definitiv nicht.
Danke, Gruß, Stefan.
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