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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Do 30.01.2014 | | Autor: | petapahn |
| Aufgabe 1 | In einem Sekretariat arbeiten zwei Sekretärinnen. Die Anzahl der Tippfehler pro Seite ist Poisson(1)-verteilt bei Sekretärin 1 und Poisson(10)-verteilt bei Sekretärin 2. Jemand lässt eine einseitige Arbeit tippen. Die Arbeit wird mit Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{3} [/mm] von Sekretärin 1 getippt und mit Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{2}{3} [/mm] von Sekretärin 2.
(a) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Arbeit genau einen Tippfehler enthält?
(b) Die Arbeit enthält keinen Tippfehler. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sekretärin 2 die Arbeit getippt hat? |
| Aufgabe 2 | 2. Seien [mm] X_{i} [/mm] unabhängige Zufallsvariablen mit [mm] X_{i} \sim [/mm] Exponential(1)-verteilt
Zeige:
[mm] \bruch{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n}{X_{i}^8 \rightarrow 0} [/mm] fast sicher für n [mm] \rightarrow \infty [/mm] |
Hallo,
Also bei Aufgabe 1 habe ich:
1. Seien X=Anzahl der Fehler in einer Arbeit und [mm] Y=\begin{cases} 0, & \mbox{Sekretärin 1 tippt die Arbeit} \\ 1, & \mbox{Sekretärin 2 tippt die Arbeit} \end{cases} [/mm] Zufallsvariablen
Gegeben ist dann:
P((X=k)|(Y=0)) [mm] \sim [/mm] Poisson(1) und P((X=k)|(Y=1)) [mm] \sim [/mm] Poisson(10)
[mm] P(Y=0)=\bruch{1}{3}, P(Y=1)=\bruch{2}{3}
[/mm]
a) gesucht: P(X=1)
[mm] P(X=1)=P((X=1)\cap(Y=0)) [/mm] + [mm] P((X=1)\cap(Y=1)) [/mm] Nach Satz der totalen Wahrscheinlichkeit (Y=0 und Y=1 bilden Partition) gilt
[mm] P(X=1)=P((X=1|Y=0))P(Y=0)+P(X=1|Y=1)P(Y=1)=e^{-1}*\bruch{1}{3}+10e^{-10}*\bruch{2}{3}\approx [/mm] 0,1229
b) gesucht: P(Y=1|X=0)
Nach Satz von Bayes gilt: [mm] P(Y=1|X=0)=\bruch{P(X=0|Y=1)*P(Y=1)}{P(X=0|Y=0)*P(Y=0)+P(X=0|Y=1)*P(Y=1)}=\bruch{e^{-10}*\bruch{2}{3}}{e^{-1}*\bruch{1}{3}+e^{-10}*\bruch{2}{3}}\approx 2,47*10^{-4}
[/mm]
Bei Aufgabe 2 weiß ich, dass man auf jeden Fall das starke Gesetz der großen Zahlen anwenden muss, d.h. z.z. [mm] P(\limes_{n\rightarrow \infty}\bruch{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n}{X_{i}^8=0)=1}. [/mm] Ich weiß noch, dass Ewartungswert [mm] E[X_{i}^8]=1.
[/mm]
Irgendwie komm ich da aber nicht so weiter und wäre auf Hilfe angewiesen.
Viele Grüße
petapahn
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Hiho,
sieht doch alles prima aus bisher.
> Bei Aufgabe 2 weiß ich, dass man auf jeden Fall das starke Gesetz der großen Zahlen anwenden muss, d.h. z.z. [mm]P(\limes_{n\rightarrow \infty}\bruch{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n}{X_{i}^8=0)=1}.[/mm]
> Ich weiß noch, dass Ewartungswert [mm]E[X_{i}^8]=1.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Damit hast du doch alles.
Du weißt also: $\lim_{n\to\infty} \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}{X_{i}^8=1$ und daher
$\lim_{n\to\infty} \bruch{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n}{X_{i}^8 = \lim_{n\to\infy} \bruch{1}{n}*\left( \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}{X_{i}^8\right) =\; ?$
Gruß,
Gono.
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