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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Do 01.05.2014 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen: Angenommen Sie haben ein Kapital von X0=1€ und spielen das folgende Spiel: Sie werfen in jeder Runde eine faire Münze.Ihr Kapital halbiert sich ,wenn Zahl fällt und bei Kopf gewinnen Sie 4/5 ihres Kapitalstands hinzu.
Zeigen Sie das bei oftmaliger Wiederholung dieses Spiels Ihr Kapitalstand mit großer Wahrscheinlichkeit gegen 0 geht
Rein vom Hausverstand ,kann man sich ja das ja irgendwie zusammenreimen das es ein Verlustgeschäft wird. Aber wie zeige ich das mathematisch korrekt?
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Hallo,
üblicherweise berechnet man so was mit einem Erwartungswert. Nur hier kann man für Gewinn/Verlust keine festen Werte angeben, also dürfte das etwas schwierig werden.
Die einfachste Möglichkeit besteht hier darin, dass man ausnutzt, dass die Münze fair ist. Die beiden Faktoren 0.5 bzw. 1.6 treten langfristig gleich häufig auf, so dass man ab hier die Behauptung mit einer einzigen Multiplikation zeigen kann... 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Do 01.05.2014 | | Autor: | racy90 |
also 0.5*1.6=0.8
und das ist größer als 0.5 somit ein Verlustgeschäft.
Aber woher kommt die 1.6 her?
0.5 ist ja die Wahrscheinlichkeit das Kopf bzw Zahl kommt.
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Hallo,
sorry: die 1.6 sind ein Tippfehler. Die 0.5 sind der Faktor für das Halbieren des Kapitals, der richtige Faktor für die Erhöhung um 4/5 lautet natürlich 1.8. Beide Faktoren haben nichts mit Wahrscheinlichkeiten zu tun.
Damit haben wir
0.5*1.8=0.9<1
Und letztere Ungleichheit sagt uns, dass wir langfristig mit jedem Spiel unser Kapital um 10% verringern.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Do 01.05.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
> Die einfachste Möglichkeit besteht hier darin, dass man
> ausnutzt, dass die Münze fair ist. Die beiden Faktoren 0.5
> bzw. 1.6 treten langfristig gleich häufig auf
Tatsächlich dürfte die Wahrscheinlichkeit für gleich häufiges Auftreten von Kopf und Zahl bei gegen unendlich strebender Wurfanzahl gegen 0 gehen.
Korrekt wäre nach einem starken Gesetz der großen Zahlen, dass der Anteil der Kopf-Würfe an der Gesamtzahl der Würfe fast sicher gegen [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] geht.
Aus meiner Sicht ist die vorliegende Aufgabe vermutlich nicht auf Schulniveau lösbar.
Daher die Nachfrage an racy90: Ist z.B. der Begriff der P-f.s. Konvergenz bekannt? Ist ein starkes Gesetz der großen Zahlen bekannt?
Viele Grüße
Tobias
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