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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Wahrscheinlichkeit P(X<Y)
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Wahrscheinlichkeit P(X<Y): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 So 23.03.2014
Autor: wilmi

Aufgabe
Hallo, ich habe eine generelle Verständnisfrage:
Gegeben: Zwei unabhängige Zufallsvariablen X und Y und die gemeinsamen Dichten [mm] f_X(x) [/mm] und [mm] f_Y(x) [/mm] beide auf dem Intervall [0, [mm] \infty] [/mm]

Gesucht:

1. Die gemeinsame Dichte

2. Die Wahrscheinlichkeit für X<Y

Meine Fragen:

zu 1. :Dort würde ich einfach die beiden Dichten [mm] f_X(x) [/mm] und [mm] f_Y(x) [/mm] multiplizieren, wobei ich vorher die Variable x von [mm] f_Y(x) [/mm] durch y ersetze.

zu 2. : Dort würde ich ein doppeltes Integral aufstellen und dann lösen. Problem habe ich mit den Grenzen und der Reihenfolge der Integrale:

[mm] \int_0^{\infty}\int_y^{\infty} f_X(x) f_Y(x) [/mm] dxdy oder
[mm] \int_0^{\infty}\int_x^{\infty} f_X(x) f_Y(x) [/mm] dydx  oder
[mm] \int_0^{\infty}\int_0^{y} f_X(x) f_Y(x) [/mm] dxdy oder
[mm] \int_0^{\infty}\int_0^{x} f_X(x) f_Y(x) [/mm] dydx.

Bin da ziemlich ratlos und sehr dankbar für eine Erläuterung bzw. Hilfestellung.

Beste Grüße wilmi


        
Bezug
Wahrscheinlichkeit P(X<Y): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 So 23.03.2014
Autor: luis52

Moin

> zu 1. :Dort würde ich einfach die beiden Dichten [mm]f_X(x)[/mm]
> und [mm]f_Y(x)[/mm] multiplizieren, wobei ich vorher die Variable x
> von [mm]f_Y(x)[/mm] durch y ersetze.

[ok]

>  
> zu 2. : Dort würde ich ein doppeltes Integral aufstellen
> und dann lösen. Problem habe ich mit den Grenzen und der
> Reihenfolge der Integrale:
>  
> [mm]\int_0^{\infty}\int_y^{\infty} f_X(x) f_Y(x)[/mm] dxdy oder

[notok]

Warum beherzigst du nicht, was du oben geschrieben hast? Z.B.

$ [mm] \int_0^{\infty}\int_x^{\infty} f_X(x) f_Y(\red{y}) \, dy\,dx$ [/mm]
Bezug
                
Bezug
Wahrscheinlichkeit P(X<Y): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 So 23.03.2014
Autor: wilmi

Hallo Luis,
danke für deine Antwort. Und für den Hinweis, dass ich bei der Integration auch x durch y ersetzen muss. Und wie sieht es mit den Grenzen und der Reihenfolge der Intergration aus? Woher weiß ich ob mein 2. Integral von x bzw. y nach [mm] \infty [/mm] läuft oder von 0 bis x bzw. y ?

Lg Wilmi
Bezug
                        
Bezug
Wahrscheinlichkeit P(X<Y): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 So 23.03.2014
Autor: luis52


> Hallo Luis,
>  danke für deine Antwort. Und für den Hinweis, dass ich
> bei der Integration auch x durch y ersetzen muss. Und wie
> sieht es mit den Grenzen und der Reihenfolge der
> Intergration aus? Woher weiß ich ob mein 2. Integral von x
> bzw. y nach [mm]\infty[/mm] läuft oder von 0 bis x bzw. y ?
>  
> Lg Wilmi

Das ist wurscht. ;-) Probier's aus, es kommt eine (naheliegende) Zahl heraus.

Bezug
                                
Bezug
Wahrscheinlichkeit P(X<Y): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 So 23.03.2014
Autor: wilmi

Hallo Luis,
ich habe jetzt mal [mm] \int_0^\infty \int_x^\infty [/mm] exp(-x)*2*exp(-2y) dydx und [mm] \int_0^\infty \int_y^\infty [/mm] exp(-x)*2*exp(-2y) dxdy ausgerechnet. beim ersten kommt $$1/3$$ und beim zweiten $$2/3$$ heraus. Also sind die Integrale nicht gleich (wenn ich mich nicht verrechnet habe.)
Auch ist mir immer noch nicht ganz klar, ob ich die Grenze 0 oder die Grenze [mm] \infty [/mm] durch x oder y ersetze, wenn ich die Wahrscheinlichkeit ausrechnen will das X>Y ist.

LG wilmi
Bezug
                                        
Bezug
Wahrscheinlichkeit P(X<Y): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:01 So 23.03.2014
Autor: luis52

Gut, die Anmerkung mit der konkreten Zahl ($1/2_$) stimmt  dann, wenn $X$ und $Y$ identisch verteilt sind, was du jedoch nicht voraussetzen kannst. Aber irgendwelche Verteilungen zu verwenden ist nicht legitim.

Ich habe mir noch einmal deine Vorschlaege zur Berechnung von von $P(X<Y$) angeschaut:


> $ [mm] \int_0^{\infty}\int_y^{\infty} f_X(x) f_Y(y) [/mm]  dxdy$ oder

[notok]

> $ [mm] \int_0^{\infty}\int_x^{\infty} f_X(x) f_Y(y) [/mm] dydx$  oder

[ok]

>$ [mm] \int_0^{\infty}\int_0^{y} f_X(x) f_Y(y) [/mm]  dxdy$ oder

[ok]

> $ [mm] \int_0^{\infty}\int_0^{x} f_X(x) f_Y(y) [/mm]  dydx$.

[notok]






Bezug
                                                
Bezug
Wahrscheinlichkeit P(X<Y): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:09 So 23.03.2014
Autor: wilmi

ok, vielen Dank für deine Hilfe.

Beste Grüße Wilmi
Bezug
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