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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Mi 25.10.2023 | | Autor: | Spica |
| Aufgabe | Gegeben sei ein Quadrat mit Seitenlänge [mm] \overline{AD} [/mm] = 1.
Wählt man nun zufällig einen Punkt (P) in diesem Quadrat, so bildet sich zwischen A,P,D ein Winkel, der stumpf ist, wenn er innerhalb des Halbkreises im Quadrat liegt, dessen Durchmesser die untere Seite [mm] \overline{AD} [/mm] bildet. Alle Winkel A,P,D mit P exakt auf dem Halbkreis sind gemäß dem Satz d. Thales rechtwinklig. Alle übrigen Winkel A,P,D im Quadrat, aber außerhalb des Halbkreises sind spitze Winkel.
Mittels allg. Kosinussatz und der Distanzformel lässt sich das auch mathematisch herleiten, weil man so zur Funktionsvorschrift des Halbkreises kommt, wenn man in einem Koordinatensystem das Quadrat so plaziert, dass A (0,0), B (0,1), C (1,1) und D (1,0) sind: [mm] (x-0,5)^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] < [mm] (0,5)^2
[/mm]
Damit ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Winkel A,P,D > 90° ist, von [mm] \pi/8 \approx [/mm] 39,3%, gemäß Fläche Halbkreis / Fläche Quadrat. |
Es ist also möglich, Wahrscheinlichkeiten für die Summe aller so formulierten spitzen und stumpfen Winkel anzugeben, die nicht rechtwinklig sind. Wie steht es aber mit allen Punkten, die exakt auf dem Halbkreis liegen und deren Winkel A,P,D somit rechwinkelig sind? Da lässt sich sich nicht explizit eine solche Wahrscheinlichkeit angeben bzw. ein Verhältnis zu den spitzen und stumpfen Winkeln. Sehe ich das richtig? Danke im Voraus, wenn da jemand besser Bescheid weiß.
VG Spica
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:57 Do 26.10.2023 | | Autor: | Fulla |
Hallo Spica,
ja, das siehst du richtig, die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Punkt mit den Punkten $A$ und $D$ einen rechten Winkel einschließt, beträgt 0.
Das liegt daran, dass die Dimension des "Ortes", wo sich all diese Punkte befinden können (=der Halbkreis) 1 ist.
Für eine nicht-negative Wahrscheinlichkeit bräuchte dieser "Ort" Dimension 2.
Das ist eben der Unterschied zwischen diskreter und kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsrechnung... Vielleicht hast du schon mal von dem berühmten Beispiel eines Wurfs auf eine Dartscheibe gehört:
Da gibt es ja solche Scheiben mit vorgegebenen Löchern, in die die Pfeile eindringen (das entspricht dem "diskreten" Fall) und solche, welche eine korkartige Oberfläche haben und die Pfeile sind tatsächlich ziemlich spitz, daher können sie an praktisch jeder Stelle landen. Die unterschiedlichen Fragestellungen sind hier: "habe ich jetzt dieses oder jenes Loch getroffen" vs. "habe ich EXAKT diesen Punkt getroffen oder nicht?" - ersteres lässt sich relativ leicht mit ja oder nein beantworten, die zweite Frage ist schon etwas schwieriger... wie genau willst du das denn Messen?
Bei den Korkscheiben ist es - zumindest in der Theorie - so, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Dart z.B. genau im Mittelpunkt des Bullseyes landet gleich Null ist.
Dieser "Ort" hat sogar nur die Dimension 0, also gar keine Ausdehnung.
Sobald du aber dein Kriterium etwas "lockerst", d.h. bei dem Winkel im Quadrat zulässt, dass dieser z.B. zwischen 89° und 91° liegt, erhältst du eine Fläche, deren Inhalt mit der Wahrscheinlichkeit zusammenhängt. Diese Fläche kannst du dann auch beliebig klein werden lassen, aber sie darf eben nicht zu einer eindimensionalen Linie zusammenfallen.
Bei Problemen wie diesem ist es immer so, dass Wahrscheinlichkeiten mit Flächeninhalten korrespondieren, und wenn etwas keinen Flächeninhalt hat, tritt dieses Ereignis wahrscheinlichkeitstheoretisch auch nicht ein.
Lieben Gruß
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Do 26.10.2023 | | Autor: | Spica |
Hallo Fulla,
klasse, vielen Dank für die erhellende Erklärung. Ich staune immer wieder, wie schnell man hier gute und fundierte Antworten bekommt und schätze das Forum sehr!
VG Spica
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Do 26.10.2023 | | Autor: | Spica |
Hallo Fulla,
nun muss ich doch noch mal nachfragen:
Warum kann man sich nicht eine weniger mächtige unendliche Punktmenge auf dem Halbkreis denken, die man ins Verhältnis setzt zu den viel mächtigeren unendlichen Punktmengen oberhalb und unterhalb des Halbkreises?
Dann wäre doch die Aussage möglich, dass die Wahrscheinlichkeit eines Punktes auf dem Halbkreis zu sein eben unendlich klein ist, aber nicht 0. Verstößt das gegen Axiome?
In der Praxis ist der Unterschied zwischen unendlich klein und 0 vernachlässigbar, aber er erscheint mir doch kategorischer Natur zu sein, siehe auch die Infinitesimalrechnung.
Und denke ich an die Urknalltheorie, so war zuerst nichts (also 0 in Bezug auf einen Kosmos bzw. ein sog. fluktuierendes Quantenvakuum) und dann etwas da, das im Grunde auch schier unendlich klein war. Jetzt kann man sagen, dass es eben durch die Plancklänge in seinen Ausmaßen begrenzt war, aber alleine schon die Vorstellung, dass da "zuerst" (der Zeitbegriff verliert seinen Sinne) nichts und dann "plötzlich" etwas war, ganz egal wie klein es begann, wirkt irritierend und sprengt bekanntlich die Grenzen unserer Physik...und Mathematik. Aber das nur nebenbei, denn darauf gibt es wohl (noch) keine Antwort.
VG Spica
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Auf infinitesimale Fragen (in Bezug auf Raum und Zeit) gibt keine der gängigen (Standard-) Urknalltheorien irgendwelche Antworten.
Dazu wären Konzepte nötig, welche quasi eine vereinigte Theorie aus Quantenphysik und allgemeiner Relativitätstheorie bedeuten würden. Sowas haben wir (auch nach 100 Jahren intensiver Bemühungen) nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 Do 26.10.2023 | | Autor: | Spica |
Ja, so sehe ich das auch.
VG Spica
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Hiho,
> Hallo Fulla,
auch wenn ich nicht Fulla bin, werde ich mal antworten…
> Warum kann man sich nicht eine weniger mächtige
> unendliche Punktmenge auf dem Halbkreis denken, die man ins
> Verhältnis setzt zu den viel mächtigeren unendlichen
> Punktmengen oberhalb und unterhalb des Halbkreises?
Das kannst du tun und niemand hält dich davon ab.
Das ändert aber nichts daran, dass die Punktmenge auf der Halbkreislinie das Lebesgue-Maß 0 hat.
(Nur um das klarzustellen, warum ich jetzt "Lebesgue-Maß" schreibe… das "natürliche" Maß, mit dem du Flächen misst, entspricht dem Lebesgue-Maß. Es gibt natürlich Maße, wo die Halbkreislinie ein anderes Maß hat, die wollen wir hier aber mal außen vor lassen.)
Nur weil eine Menge unendlich viele Punkte hat, muss sie nicht unbedingt "mächtig genug" sein, um ein positives Maß zu haben.
Betrachten wir bspw. das Lebesgue-Maß auf [0,1], was dort ein Wahrscheinlichkeitsmaß hat und alle rationalen Punkte in [0,1] also die Menge $A = [mm] \IQ \cap [/mm] [0,1]$, dann ist das Lebesgue-Maß von A trotzallem 0, obwohl A (abzählbar) unendlich viele Punkte enthält.
> Dann wäre doch die Aussage möglich, dass die
> Wahrscheinlichkeit eines Punktes auf dem Halbkreis zu sein
> eben unendlich klein ist, aber nicht 0. Verstößt das
> gegen Axiome?
Ja, was soll denn "unendlich klein" sein?
In der Maßtheorie hat man sogar die Konventention [mm] $\frac{1}{\infty} [/mm] = 0$, so dass "unendlich klein" und "Null" dasselbe ist.
Und um das klar zu sein: Auch in deinem Modell hat die Menge der Punkte auf dem Halbkreis das Maß Null (und nicht "nur" "unendlich klein").
Das liegt einfach daran, dass im Mehrdimensionalen jede ![[]](/images/popup.gif) Hyperebene (und damit auch jede Teilmenge) das Lebesgue-Maß Null hat, und die Halbkreislinie ist so eine Hyperebene.
> In der Praxis ist der Unterschied zwischen unendlich klein
> und 0 vernachlässigbar, aber er erscheint mir doch
> kategorischer Natur zu sein, siehe auch die
> Infinitesimalrechnung.
Ich glaube du hast die Infinitesimalrechnung nicht verstanden…
Wenn du in der modernen Mathematik korrekt mit Infinitesimalen rechnen willst, bist du in der Nichtstandardanalysis, genauer im Raum der hyperrellen Zahlen, die aber nicht "mächtiger" sind als die normalen reellen Zahlen.
> Und denke ich an die Urknalltheorie, so war zuerst nichts
> (also 0 in Bezug auf einen Kosmos bzw. ein sog.
> fluktuierendes Quantenvakuum) und dann etwas da, das im
> Grunde auch schier unendlich klein war. Jetzt kann man
> sagen, dass es eben durch die Plancklänge in seinen
> Ausmaßen begrenzt war, aber alleine schon die Vorstellung,
> dass da "zuerst" (der Zeitbegriff verliert seinen Sinne)
> nichts und dann "plötzlich" etwas war, ganz egal wie klein
> es begann, wirkt irritierend und sprengt bekanntlich die
> Grenzen unserer Physik...und Mathematik. Aber das nur
> nebenbei, denn darauf gibt es wohl (noch) keine Antwort.
Nun wird es esotherisch…
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Do 26.10.2023 | | Autor: | Spica |
Danke für die inhaltlich interessanten Ausführungen, auch wenn sie in einem leicht latent arroganten Tone formuliert sind. Nicht jeder hat sich ein Leben lang hauptberuflich mit Mathematik befasst und ist so tief in der Materie wie du.
<<Nun wird es esotherisch…>>
Reichlich despektierlich, wie du meine Anmerkung bewertest.
Was hat es mit Esoterik (übrigens ohne h, zu deiner Info) zu tun, wenn ich auf das Dilemma verweise, dass wir über die Planckära nichts aussagen können? Ich fürchte, du wirst akzeptieren müssen, dass die Gesamtheit der Realität nicht nur mit Mathematik und Naturwissenschaften beschreibbar ist.
VG Spica
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Fr 27.10.2023 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Danke für die inhaltlich interessanten Ausführungen, auch
> wenn sie in einem leicht latent arroganten Tone formuliert
> sind. Nicht jeder hat sich ein Leben lang hauptberuflich
> mit Mathematik befasst und ist so tief in der Materie wie
> du.
Schön, dass ich auf dich diesen Eindruck mache.
Ich befasse mich jedoch weder hauptberuflich mit Mathematik noch stecke ich tief in der Materie drin.
Aber um die persönlichen Wahrnehmungen ging es ja gerade.
>
> <<Nun wird es esotherisch…>>
> Reichlich despektierlich, wie du meine Anmerkung bewertest.
Nein, eigentlich nicht, ganz im Gegenteil.
Despektierlich wäre es, dich nicht darauf hinzuweisen, dass dies nun keine wissenschaftliche Fragestellung mehr ist, sondern eher philosophisch zu betrachten ist (dazu gern später mehr).
Die umgehende Einordnung als "esoterisch" (danke für die Korrektur) war wömöglich etwas scharf, aber nicht unbegründet.
> Was hat es mit Esoterik (übrigens ohne h, zu deiner Info)
> zu tun, wenn ich auf das Dilemma verweise, dass wir über
> die Planckära nichts aussagen können?
> Ich fürchte, du wirst akzeptieren müssen,
Ich kann dich beruhigen: Du musst dich nicht fürchten und ich muss nichts akzeptieren…
> dass die Gesamtheit der Realität nicht nur mit Mathematik und Naturwissenschaften beschreibbar ist.
Was ist denn "die Gesamtheit der Realität"? Ist das mehr als nur die Realität?
Wir können gerne über die Realität diskutieren, die eben "nicht von den Wünschen oder Überzeugungen einer einzelnen Person abhängig ist" und gerade das darstellt, "was der wissenschaftlichen Betrachtung und Erforschung zugänglich ist"… oder anders ausgedrückt: "[M]it Mathematik und Naturwissenschaften beschreibbar ist."
Wenn es jetzt in der "Gesamtheit der Realität" deiner Auffassung nach noch mehr gibt, so ist das eben sehr exklusives Wissen und damit esoterisch im allgemeinen Verständnis.
Nun zum "später":
In den modernen Wissenschaften sind wir an einem Punkt, wo man mit oberflächlichem Wissen einfach nicht mehr mitreden kann.
Es ist gut, wenn du dich mit Themen, die dich interessieren, auseinandersetzen willst und ich will dich keinesfalls davon abhalten sondern ganz im Gegenteil dazu ermutigen.
Verstehen muss man jedoch, dass dazu es gehört sich die Grundlagen zu erarbeiten und man nicht einfach nur in einem Forum von "Experten" irgendwelche Vermutungen / Spekulationen postet, weil einem das eigene "Bauchgefühl" oder die "Intuition" etwas vermuten lässt.
Oftmals driften die Diskussionen dann ins philosophische bis esoterische ab.
Exemplarisch dafür mal die Struktur deiner zweiten Frage hier aus dem Thread, welche die grundsätzliche Problematik aufzeigt:
> Warum kann man sich nicht […]
> Dann wäre doch die Aussage möglich […]
Eine "Warum"-Frage, deren Beantwortung ohne Grundkenntnisse im Themengebietes einerseits gar nicht möglich ist, andererseits implizit eine Annahme trifft, die mit Grundkenntnissen in dem Themengebiet sofort widerlegbar ist. Daraus wird dann eine (falsche) Aussage hergeleitet, die teilweise auch noch unwissenschaftliche Aussagen enthält oder bekannten, oft bestätigten wissenschaftlichen Erkenntnissen widersprechen.
Meine Rückfrage dazu
> > eben unendlich klein ist, aber nicht 0
> Ja, was soll denn "unendlich klein" sein?
hast du leider auch ignoriert.
Vom Prinzip her sind das dann Diskussionen wie "Wenn [mm] \pi [/mm] = 3 ist, dann kann man doch Kreise quadrieren." oder "Ich kann Winkel dreiteilen."
Deine Frage war zugegebenermaßen nicht von dem Niveau obiger Aussagen, aber in Ansätzen schon.
Abschließend nun zu deinem Urknalldilemma:
> Und denke ich an die Urknalltheorie, so war zuerst nichts
Woher nimmst du diese Erkenntnis?
Die Urknalltheorie sagt das nicht aus, sondern nur, dass der Raum des beobachtbaren Universums beim Rückrechnen in einem singulären Punkt zusammenfällt.
> (also 0 in Bezug auf einen Kosmos bzw. ein sog. fluktuierendes Quantenvakuum)
das sind gänzlich verschiedene Konzepte, die du da in einem Topf wirfst
> und dann etwas da, das im Grunde auch schier unendlich klein war.
Das sagt die Urknalltheorie auch nicht aus.
> Jetzt kann man sagen,
Da ist es wieder: Wer ist "man"? Wieso sollte man das sagen können? Worauf basiert diese Aussage?
> aber alleine schon die Vorstellung,
Hier sind wir schon wieder weg von der Realität (und damit im philosophischen), die ja gerade "nicht von den Wünschen oder Überzeugungen einer einzelnen Person abhängig ist" und insbesondere auch nicht von [d]einer Vorstellung.
> dass da "zuerst" (der Zeitbegriff verliert seinen Sinne) nichts und dann "plötzlich" etwas war,
Das sagt die Urknalltheorie auch nicht aus.
Zumal, wie du schon angedeutet hast, ein Zeitbegriff auf gewissen Energieskalen (unabhängig vom Raum), nicht mehr sinnvoll zu definieren ist.
> ganz egal wie klein es begann, wirkt irritierend und sprengt bekanntlich die Grenzen unserer Physik...und Mathematik.
Und das ist nun halt wieder esoterisch.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 Sa 28.10.2023 | | Autor: | Spica |
Doch interessant, wie aus der simplen Frage nach der Wahrscheinlichkeit, ob ein Winkel stumpf oder spitz sein kann, sich solche Diskussionen ergeben können. 
> Despektierlich wäre es, dich nicht darauf hinzuweisen, dass dies nun keine wissenschaftliche Fragestellung mehr ist, sondern eher philosophisch zu betrachten ist
Ich sehe das als eine sowohl wissenschaftliche wie auch philosophische Fragestellung. Nur reichen unsere derzeitigen naturwissenschaftlichen Werkzeuge und Erkenntnisse nicht aus, um darauf eine naturwissenschaftliche Antwort zu geben. Und philosophisch lässt sich trefflich darüber spekulieren (Kreationismus, Multiversum, Simulationshypothese Bostroms etc.)
>Die umgehende Einordnung als "esoterisch" (danke für die Korrektur) war wömöglich etwas scharf, aber nicht unbegründet.
Da du gerne spitzfindig mit Worten spielst: Was ist "womöglich"? War sie nun scharf oder nicht?
Und ja, sie war unbegründet, denn du hast keine Begründung angeführt, sondern erst jetzt mit diesem Post deine subjektiven Kommentare gesetzt.
>Ich kann dich beruhigen: Du musst dich nicht fürchten und ich muss nichts akzeptieren…
So ist es!
>Was ist denn "die Gesamtheit der Realität"? Ist das mehr als nur die Realität?
Wir können gerne über die []Realität diskutieren, die eben "nicht von den Wünschen oder Überzeugungen einer einzelnen Person abhängig ist" und gerade das darstellt, "was der wissenschaftlichen Betrachtung und Erforschung zugänglich ist"… oder anders ausgedrückt: "[M]it Mathematik und Naturwissenschaften beschreibbar ist."
Wiki-Einträge sind nicht das Maß aller Dinge.
Realität, die mit Mathematik und Naturwissenschaft beschreibbar ist, ist nur ein Teil der Gesamtheit der Realität, die für unsere Existenz maßgeblich ist. Du wirst dich schwertun, ein lyrisches Gedicht, ein Gemälde oder erst recht deine Gefühlswelt mit Hilfe der Naturwissenschaft zu beschreiben. Markus Gabriel, ein Vertreter des Neuen Realismus in der Philosophie, spricht z.B. von verschiedenen Sinnfeldern.
>Wenn es jetzt in der "Gesamtheit der Realität" deiner Auffassung nach noch mehr gibt, so ist das eben sehr exklusives Wissen und damit []esoterisch im allgemeinen Verständnis.
Verstehe ich das richtig? Sind also für dich ein lyrisches Gedicht oder die evozierten Gefühle und Stimmungen beim Betrachten eines Gemäldes exklusives Wissen oder Artikulationen, die man unter den Begriff Esoterik subsummieren kann?
Verstehe mich richtig, ich kritisiere das nicht, es erstaunt mich nur, wenn dem so ist.
>Verstehen muss man jedoch, dass dazu es gehört sich die Grundlagen zu erarbeiten und man nicht einfach nur in einem Forum von "Experten" irgendwelche Vermutungen / Spekulationen postet, weil einem das eigene "Bauchgefühl" oder die "Intuition" etwas vermuten lässt.
Ich habe meinen Post unter die Unterrubrik "Schulmathematik" eingestellt. Du bist also ernsthaft der Meinung, bereits dort sollten nur "Experten" miteinander diskutieren und Fragen stellen?
>Oftmals driften die Diskussionen dann ins philosophische bis esoterische ab.
Wenn du meine Anmerkungen dazu als esoterisch empfunden hast, warum gehst du überhaupt darauf ein? Letztlich sorgst du jetzt doch dafür, dass es ins Philosophische abgleitet.
> Ja, was soll denn "unendlich klein" sein?
hast du leider auch ignoriert.
Ich habe darauf nicht geantwortet, weil ich sie als rein rhetorisch empfand und glaubte, du würdest keine Antwort erwarten. Entschuldige.
Dass unendlich klein mit 0 gleich gesetzt wird, ist eine Sache der Definition und Konvention. Ich habe damit kein Problem und sicher macht es aus math. Sicht Sinn. Aber ich kann auch postulieren, dass unendlich klein größer ist als 0. Mag die Aussage in der Praxis auch völlig irrelevant sein, aber der unendliche kleine Teil eines Apfels ist mehr als 0 Apfel. Oder könnte ein imaginärer Maxwellscher Dämon einen Apfel gänzlich aus dem Kosmos verschwinden lassen können, wenn er ihn in unendlich kleine Teile zerlegen würde?
>> Und denke ich an die Urknalltheorie, so war zuerst nichts
Woher nimmst du diese Erkenntnis?
Ich habe dazu keine Erkenntnis und dachte schon, es wäre ersichtlich, dass ich dazu eben Spekulationen anstellte. Das kannst du mir mit einem gewissen Recht vorwerfen, weil solche Überlegungen besser in die Rubriken Kosmologie oder auch Philosophie passen.
>Die Urknalltheorie sagt das nicht aus, sondern nur, dass der
Raum des beobachtbaren Universums beim Rückrechnen in einem
singulären Punkt zusammenfällt.
Und was ist ein singulärer Punkt? Er hat die Dimension 0. Dann kann ich auch in gewisser Weise von einem NICHS sprechen.
Ich erspare es mir nun, deine weiteren Anmerkungen auf ähnliche Weise zu kommentieren und beende diese etwas rabulistische Diskussion, weil sie nur, wie du selber oben schreibst, endlose und letztlich ermüdende Ergüsse zeitigen würde. Insofern sind meine Fragen oben im rhetorischen Sinne zu verstehen.
VG Spica
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