Wahrscheinlichkeit Würfel < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Es sei m aus N. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 6m Würfen eines fairen Würfels genau m Sechsen geworfen werden. Berechen Sie mit Hilfe der Stirling'schen Formel eine Näherung für diese Wahrscheinlichkeit. |
Hallo,
ich habe es versucht:
Omega:= {K,Z}^6m
p(w) = 1 / 2^6m
Für das Ergebnis bedeutet das :
A = {(w1, ..., [mm] w6^m) [/mm] aus Omega :| j aus {1,...,6m}: wj=6|=m}
|A| = [mm] \vektor{6m\\ m} [/mm] = [mm] \bruch{(6m)!}{(6m-m)!m!}= \bruch{(6m)!}{(5m!m!)} [/mm] = [mm] \bruch{6m!}{(5(m)^2)!}
[/mm]
Ist das überhaupt richtig? Und ich das in die Stirling-Formel einsetzen soll weiß ich nicht.
Könnte mir jemand bitte weiterhelfen?
LG
|
|
| |
|
Hi,
> Es sei m aus N. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit
> dafür, dass bei 6m Würfen eines fairen Würfels genau m
> Sechsen geworfen werden. Berechen Sie mit Hilfe der
> Stirling'schen Formel eine Näherung für diese
> Wahrscheinlichkeit.
> Hallo,
>
> ich habe es versucht:
>
> Omega:= {K,Z}^6m
> p(w) = 1 / 2^6m
Das klingt nach einer Münze.
Du brauchst für den Würfel:
[mm] \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}^{6m}
[/mm]
>
> Für das Ergebnis bedeutet das :
> A = {(w1, ..., [mm] w6^m) [/mm] aus Omega :| j aus {1,...,6m}: wj=6|=m}
>
> |A| = [mm] \vektor{6m\\ m} [/mm] = [mm] \bruch{(6m)!}{(6m-m)!m!}= \bruch{(6m)!}{(5m!m!)} [/mm] = [mm] \bruch{6m!}{(5(m)^2)!}
[/mm]
Die letzte Umformung stimmt nicht. Auch solltest Du mit der Klammerung aufpassen.
>
> Ist das überhaupt richtig? Und ich das in die
> Stirling-Formel einsetzen soll weiß ich nicht.
Die Stirling Formel ist eine Näherungsformel für Fakultäten.
Also setze in [mm] \bruch{(6m)!}{(5m)! m!} [/mm] für jede auftretende Fakultät die Stirling Formel ein.
LG
|
|
|
| |
|
Wie muss ich denn dann A umändern? Und genau bei der Klammer hat ich das Problem, dass ich nicht wusste wohin sie kommt.
|
|
|
| |
|
> Wie muss ich denn dann A umändern?
Daran gab's nichts auszusetzen - außer das Du für Indizes geschweifte Klammern verwenden könntest, damit sie wirklich als solche erscheinen.
> Und genau bei der Klammer hat ich das Problem, dass ich nicht wusste wohin sie kommt.
Wie's richtig ist steht am Ende meiner vorigen Antwort.
[mm] (5m)!=(5m)*(5m-1)*\ldots*1 [/mm] aber 5m!= [mm] 5*m*(m-1)*\ldots*1
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
Also musste ich nur Omega ändern?
Ich weiß jetzt nciht genau wie ich das in die Formel einsetzen muss...
|
|
|
| |
|
> Also musste ich nur Omega ändern?
Ja, das W'maß bleibt das Laplace Maß, weil es ein fairer Würfel ist.
A selbst hast du richtig aufgeschrieben
Nur die Formel für |A| stimmte noch nicht ganz, siehe dazu tobits Antwort.
> Ich weiß jetzt nciht genau wie ich das in die Formel einsetzen muss...
Wie lautet denn die Stirling Formel?
n! [mm] \approx [/mm] ...
Na und dann setzt du die eben ein, für n kannst du natürlich auch (5m) bei (5m)! einsetzen.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Mi 07.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Also musste ich nur Omega ändern?
Was ich bisher übersehen habe: Die Wahrscheinlichkeit bleibt die Laplace-Verteilung auf [mm] $\Omega$, [/mm] aber da sich [mm] $\Omega$ [/mm] geändert hat, ändert sich auch [mm] $p(\omega)=\bruch{1}{|\Omega|}$ [/mm] für [mm] $\omega\in\Omega$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Di 06.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo xxela89xx!
> Wie muss ich denn dann A umändern?
|A| ändert sich:
Du hast [mm] $\binom{6m}{m}$ [/mm] Möglichkeiten, die m 6en auf die [mm] $\omega_i$ [/mm] zu verteilen. Dann hast du für die verbleibenden 6m-m vielen [mm] $\omega_i$ [/mm] jeweils 5 Zahlen (nämlich 1,2,3,4 und 5), die du ihnen zuweisen könntest.
Also [mm] $|A|=\ldots$?
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also schreibe ich das Ganze noch einmal auf:
Omega:= {1,...6}^6m
p(w) = 1/6^6m
A={{w1, ..., w6^m} aus Omega | j aus {1,..6m} : wj=6}|=m}
|A|= (6m über m)= (6m)! / (6m-m)!m! = (6m)! / (5m)!m!
Ist denn (5m)!m! nicht 5(m^2)! ? Und wieso ist n=5m?
In die Stirling-FOrmel eingesetzt:
P(A) = (5m)! / Wurzel aus 2pi5m * 5m^5m* e^-5m
Sorry wegen der Schreibweise aber ich habe grad ein Problem mit den Zeichen
|
|
|
| |
|
Welche Zeichen? Dass das für alle w aus Omega gilt?
Hmm, das mit den Möglichkeiten habe ich nicht verstanden, wie soll ich das denn aufsschreiben?
Also muss ich (5m)!m! so stehen lassen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Mi 07.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Welche Zeichen? Dass das für alle w aus Omega gilt?
Da fehlte innen drin eine öffnende Mengenklammer "$\{$" und ein "|".
> Hmm, das mit den Möglichkeiten habe ich nicht verstanden,
> wie soll ich das denn aufsschreiben?
Du erhältst jedes $\omega\in A$ auf genau eine Art mit folgendem Verfahren: Wähle zunächst $I\subset\{1,\ldots,6m\}$ mit $|I|=m$, wobei die Elemente $i\in I$ gerade die Indizes i mit $\omega_i=6$ seien. Wähle dann eine Abbildung $f\colon\{1,\ldots,6m\}\setminus I\to\{1,2,3,4,5\}$, wobei $f(i)$ gerade $\omega_i$ sei.
Die Anzahl aller $\omega\in A$ entspricht also der Anzahl aller "Kombinationen" von einer m-elementigen Teilmenge $I\subset\{1,\ldots,6m\}$ und einer Abbildung $f\colon\{1,\ldots,6m\}\setminus I\to\{1,2,3,4,5\}$.
Es gibt $\binom{6m}{m}$ viele m-elementige Teilmengen $I\subset\{1,\ldots,6m\}$. Für jede dieser Teilmengen ist die Menge $\{1,\ldots,6m\}\setminus I$ gerade (6m-m)-elementig. Damit gibt es $5^{6m-m}$ viele Abbildungen $f\colon\{1,\ldots,6m\}\setminus I\to\{1,2,3,4,5\}$. Macht $\binom{6m}{m}*5^{6m-m}$ "Kombinationen" von I und f.
Also $|A|=\binom{6m}{m}*5^{6m-m}$.
> Also muss ich (5m)!m! so stehen lassen...
Wende auf beide Fakultäten die Stirlingsche Näherungsformel an.
|
|
|
| |
|
Danke für die ausführliche Antwort!
Ich glaube jetzt habe ich es verstanden.
Dann folgt für
P(Am)= (6m über m) * [mm] (1/6)^m [/mm] * (5/6)^6m-m und das ist dann ungefähr
(6m)! / m!(5m)! * 5^5m / [mm] 6^m [/mm] * 6^5m
Richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Mi 07.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Dann folgt für
> P(Am)= (6m über m) * [mm](1/6)^m[/mm] * (5/6)^6m-m
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja. Wegen der Laplace-Verteilungs-Annahme gilt [mm] $P(A)=\bruch{|A|}{|\Omega|}$ [/mm] und damit erhält man den von dir angegebenen Wert.
> und das ist dann
> ungefähr
> (6m)! / m!(5m)! * 5^5m / [mm]6^m[/mm] * 6^5m
Ja. Sogar nicht nur ungefähr, sondern genau. Die [mm] $6^m$ [/mm] und [mm] $6^{5m}$ [/mm] lassen sich noch zusammenfassen.
Nicht vergessen: Annäherung der Fakultäten mittels Stirlingscher Formel.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:43 Mi 07.11.2012 | | Autor: | xxela89xx |
Ok, das mache ich noch. Ich danke dir!
Lieben Gruß
|
|
|
|
