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| Aufgabe | a)Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es beim 12-fachen Würfeln, wenn man nur zählt, wie oft jede Augenzahl gewürfelt wurde?
b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beim 12-fachen Würfeln jede Augenzahl genau zweimal gewürfelt wird. |
Könnt ihr mir vielleicht Tipps geben was ich hierbei machen muss bzw wie ich bei a) die Ergebnisse berechnen kann?
meine Idee dazu ist: Die Menge muss ja 72 Elemente besitzen (6*12) und ich suche hier die Mächtigkeit der Menge: { [mm] (k_1,...,k_6): k_i\in(0,...,12) [/mm] mit [mm] \summe_{i=1}^{6}k_i=12 [/mm] } und dann gibt es [mm] \pmat{ 6+12-1 \\ 12 } [/mm] Elemente.
Aber sonst hab ich keine Idee was ich hier machen könnte.
Auch bei b) habe ich keine Ahnung.
Über Tipps wäre ich sehr dankbar!
Mathegirl
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Moin mathegirl,
> a)Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es beim 12-fachen
> Würfeln, wenn man nur zählt, wie oft jede Augenzahl
> gewürfelt wurde?
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> b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beim 12-fachen
> Würfeln jede Augenzahl genau zweimal gewürfelt wird.
>
>
> Könnt ihr mir vielleicht Tipps geben was ich hierbei
> machen muss bzw wie ich bei a) die Ergebnisse berechnen kann?
> meine Idee dazu ist: Die Menge muss ja 72 Elemente besitzen (6*12)
Welche Menge soll 72 Elemente besitzen ?
> und ich suche hier die Mächtigkeit der Menge:
> [mm] {(k_1,...,k_6): k_i\in(0,...,12) mit \summe_{i=1}^{6}k_i=12 }
[/mm]
> und dann gibt es [mm]\pmat{ 6+12-1 \\ 12 }[/mm] Elemente.
Nein.
Du suchst allgemein die Anzahl der der geordneten Zahlpartitionen der Zahl n (hier n=12) bestehend aus r (hier r=6) Summanden. Diese entspricht der Mächtigkeit der Menge
[mm] M_{n,r}=\{(k_1,...,k_r): k_i\in\{0,\ldots,n\},\summe_{i=1}^{r}k_i=n\}.
[/mm]
Es gilt
$|M|={n-1 [mm] \choose [/mm] r-1}$.
Ich habe dafür einen kombinatorischen Beweis für dich im Angebot. Man kann n als Summe von Einsen schreiben:
[mm] n=\underbrace{1+1+1+\ldots+1}_{n}.
[/mm]
Durch Setzen von r Klammerpaaren erhältst Du jeweils eine Zahlpartition (jede 1 wird von genau einem Klammerpaar eingeklammert). Zum Beispiel
[mm] n=(1+1+1)+(1)+()+(1+1+1+1)+\ldots+(1).
[/mm]
Dann bleiben außerhalb der Klammerpaare r-1 Pluszeichen stehen. Insgesamt gibt es n-1 Pluszeichen, folglich ist die Anzahl der Möglichkeiten, davon r-1 auszuwählen, gerade [mm] ${n-1\choose r-1}$.
[/mm]
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> Aber sonst hab ich keine Idee was ich hier machen könnte.
> Auch bei b) habe ich keine Ahnung.
Schonmal was von der ![[]](/images/popup.gif) Multinomialverteilung gehört?
LG
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Danke für die Erklärung.
Auf welchen Aufgabenteil bezieht sich deine Erklärung? Nein, von Multinomialverteilung habe ich bisher noch nichts gehört aber das hilft mir irgendwie auch nicht weiter um bei a) die Anzahl der Ereignisse zu bestimmen und bei b) die wahrscheinlichkeit dass jede Augenzahl genau zweimal gewürfelt wird.
MfG Mathegirl
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> Auf welchen Aufgabenteil bezieht sich deine Erklärung?
Auf Aufgabenteil a). Ich habe etwas Allgemeineres gezeigt.
> Nein, von Multinomialverteilung habe ich bisher noch nichts
> gehört aber das hilft mir irgendwie auch nicht weiter um
> bei a) die Anzahl der Ereignisse zu bestimmen und bei b)
> die wahrscheinlichkeit dass jede Augenzahl genau zweimal gewürfelt wird.
Jede Augenzahl soll genau zweimal unter 12 Würfen auftauchen.
Für Augenzahl "1" gibt es 12 mögliche Zeitpunkte, wo 1 gewürfelt werden kann. Von diesen gibt es [mm] ${12\choose 2}$ [/mm] Auswahlmöglichkeiten.
Für Augenzahl "2" gibt es noch 10 mögliche Zeitpunkte, wo 2 gewürfelt werden kann. Von diesen gibt es [mm] ${10\choose 2}$ [/mm] Auswahlmöglichkeiten.
usw.
Damit gilt [mm] P(X_i=2, i=1,\ldots,6)=${12\choose 2}{10\choose 2}{8\choose 2}{6\choose 2}{4\choose 2}{2\choose 2}=\ldots$, [/mm]
wobei [mm] X_i [/mm] Zufallsvariable ist, die die Anzahl der geworfenen Augenzahlen "i" zählt.
Nichts anderes macht letztendlich die Multinomialverteilung.
LG
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Okay, das hab ich jetzt verstanden. ich muss also nur noch die Binomialkoeefizienten miteinander multiplizieren und das ergibt dann meine gesuchte Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim 12-fachen Wurf jede Augenzahl 2mal gewürfelt wird?
Danke nochmal fürs erklären und für die viele Geduld!
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Okay, das hab ich jetzt verstanden. ich muss also nur noch
> die Binomialkoeefizienten miteinander multiplizieren und
> das ergibt dann meine gesuchte Wahrscheinlichkeit dafür,
> dass beim 12-fachen Wurf jede Augenzahl 2mal gewürfelt
> wird?
>
Ja.
Wobei Du diesen Ausdruck auch kürzer schreiben kannst:
[mm]{12\choose 2}{10\choose 2}{8\choose 2}{6\choose 2}{4\choose 2}{2\choose 2}= \bruch{12!}{\left(2!\right)^{6}}[/mm]
> Danke nochmal fürs erklären und für die viele Geduld!
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Mathegirl |
das würde ja bedeuten, es gibt 462 verschiedene Ergebnisse beim 12 fachen Würfeln, wenn man nur zählt, wie oft jede Augenzahl geworfen wurde??? Das scheint mir aber etwas viel!!
Mathegirl
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