Wahrscheinlichkeit abschätzen < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Mi 21.04.2010 | | Autor: | record |
| Aufgabe | Mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] p_u [/mm] erkennt ein Objekterkennungssystem alle Objekte. Durch ein Verfahren konnte diese Wahrscheinlichkeit zu [mm] p_a [/mm] gesteigert werden.
Nun habe ich eine Wahrscheinlichkeit [mm] p_u' [/mm] das alle Objekte von diesem Objekterkennungssystem erkannt werden (die Objekte sind aber andere, deswegen ist [mm] p_u' [/mm] != [mm] p_u). [/mm] Nun möchte ich [mm] p_a' [/mm] rechnerisch bestimmen. |
Mein Lösungsansatz wäre:
[mm] \frac{{p'_a - p'_u }}{{1 - p'_u }} [/mm] = [mm] \frac{{p_a - p_u }}{{1 - p_u }}
[/mm]
wenn,
[mm] p_u [/mm] = 0.68
[mm] p_a [/mm] = 0.83
[mm] p_u' [/mm] = 0.78
das wäre [mm] p_a' [/mm] = 0.78 + 0.1031 ~ 0.88, was hinkommen könnte.
Kann einer den math. Gedankengang bestätigen?
Vielen Dank,
Record
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Mi 21.04.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
$ [mm] \frac{{p'_a - p'_u }}{{1 - p'_u }} [/mm] = [mm] \frac{{p_a - p_u }}{{1 - p_u }} \gdw [/mm] p'_a - [mm] p'_u=(p_a [/mm] - [mm] p_u)\*\frac{1 - p'_u }{1 - p_u }\gdw [/mm] p'_a = p'_u + [mm] (p_a [/mm] - [mm] p_u)\*\frac{1 - p'_u }{1 - p_u }$;
[/mm]
Zahlenwerte eingesetzt:
$p'_a [mm] =0.78+(0.83-0.68)\*\frac{0.22}{0.32}=0.78+0.15\*\frac{11}{16}=0.78+\frac{15*11}{1600}=0.78+\frac{165}{1600}\approx [/mm] 0.88$
So weit, so gut.
Den Rechenweg kann ich nachvollziehen und ich komme zum selben Ergebnis.
Den mathematischen Gedankengang sehe ich nicht;
sei so gut und liefere ihn nach.
Danke sehr.
Schönen Gruß
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Mi 21.04.2010 | | Autor: | record |
Hi,
meinen Gedankengang wollte ich durch das Aufstellen der Formel formulieren.
Ich rechne mit den Gegenereignis und betrachte, wie hoch der Erkennungsgewinn im Verhältnis zu der Wahrscheinlichkeit ist, dass die Objekte nicht erkannt werden, also:
[mm] \frac{{p_a - p_u }}{{1 - p_u }}
[/mm]
Dies setze ich dann gleich mit dem gleichen Verhältnis unter Berücksichtigung der neuen Wahrscheinlichkeit p'_u, also
[mm] \frac{{p'_a - p'_u }}{{1 - p'_u }}
[/mm]
Meine Frage ist nun, ob ihr die Fragestellung genauso gelöst hättet.
Gruß
Record
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Do 22.04.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Morgen,
"Aufgabe
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $ [mm] p_u [/mm] $ erkennt ein Objekterkennungssystem alle Objekte. Durch ein Verfahren konnte diese Wahrscheinlichkeit zu $ [mm] p_a [/mm] $ gesteigert werden.
Nun habe ich eine Wahrscheinlichkeit $ [mm] p_u' [/mm] $ das alle Objekte von diesem Objekterkennungssystem erkannt werden (die Objekte sind aber andere, deswegen ist $ [mm] p_u' [/mm] $ != $ [mm] p_u). [/mm] $ Nun möchte ich $ [mm] p_a' [/mm] $ rechnerisch bestimmen."
> Ich rechne mit den Gegenereignis und betrachte, wie hoch
> der Erkennungsgewinn im Verhältnis zu der
> Wahrscheinlichkeit ist, dass die Objekte nicht erkannt
> werden, also:
>
> [mm]\frac{{p_a - p_u }}{{1 - p_u }}[/mm]
Ich grüble noch:
Weshalb nimmst du das Gegenereignis?
[mm] $\frac{{p_a - p_u }}{p_u }$ [/mm] wäre die
relative Systemverbesserung (nennen wir sie $dP$),
die an der Stichprobe auftrat.
In Zahlen:
[mm] $dP=\frac{{p_a - p_u }}{p_u }=\frac{0.15}{0.68}=\frac{15}{68}\approx\ 22\%$.
[/mm]
Angenommem,
alle Objekterkennungen würden um [mm] $22\%$ [/mm] verbessert,
dann wäre
[mm] $p'_a\approx 1.22\* [/mm] p'_u$.
Schönen Gruß
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Do 22.04.2010 | | Autor: | record |
Hallo,
ich habe mir erstmal überlegt, was ein mögliches Ergebnis sein könnte. Meines Erachtens müsste irgendetwas zwischen >0 und <15% herauskommen, denn
Der Wahrscheinlichkeitsgewinn von 68% zu 83% ist 15%.
Wenn ich es jetzt eine höhere Grunderkennung annehme (78%) dann kann der Zuwachs eigentlich nur kleiner als 15% sein, denn es gibt bei der Erkennung eines Objekts nur 2 Zustände: erkannt und nicht erkannt.
Wenn die Erkennung bei 78% liegt, dann werden durch das zusätzliche Verfahren wahrscheinlich Objekte erkannt, die auch schon durch die Grunderkennung richtig erkannt worden sind. Deswegen, sollte der Gewinn unter 15% liegen.
Bei der Berechnung, die du vorgeschlagen hast, würde z.B. bei [mm] p_u' [/mm] = 85% eine Wahrscheinlichkeit von über 100% herauskommen, was eher unwahrscheinlich ist.
Gruß
Record
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Do 22.04.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
in Ordnung,
einverstanden,
nehmen wir das Gegenereignis -- sowohl im Zähler wie auch im Nenner!
[mm] $\frac{(1-p_a)\ -\ (1-p_u)}{1-p_u}=\frac{p_u-p_a}{1-p_u}\approx -68\%$
[/mm]
Die Nichterkennungsquote hätte sich in der Stichprobe um ca $68%$ vermindert.
Angenommen dies wäre Verfahrensbedingt.
Dann würde sich die Nichterkennungsquote bei $p'_u=0.78$ von
[mm] $22\%$ [/mm] auf [mm] $7\%$ [/mm] verringern, also [mm] $p'_a=93\%$.
[/mm]
Schönen Gruß
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Do 22.04.2010 | | Autor: | record |
OK,
wenn ich jedoch die Zahlen in die Gleichung
[mm] \frac{p_u-p_a}{1-p_u}
[/mm]
einsetze, komme ich auf
[mm] \frac{0.68-0.83}{1-0.68} [/mm] = 0.46875
Also weniger und auch nicht negativ, oder?
Dann würde ich es so interpretieren, dass 0.46875*0.22 = 0.103 der Erkennungsgewinn ist, also $ [mm] p'_a=88.3\% [/mm] $, was bei meiner Gleichung auch das Ergebnis war.
Wäre das so in Ordnung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:22 Fr 23.04.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Morgen,
> [mm]\frac{0.68-0.83}{1-0.68}[/mm] = 0.46875
Hmm.
$1-0,68\ ist\ groesser\ als\ Null,\ da\ 0.68\ kleiner\ als\ 1\ ist.$
Einverstanden?
$0.68-0.83\ ist\ kleiner\ als\ Null,\ da\ 0.68\ kleiner\ als\ 0.83\ ist.$
OK?
Der Quotient einer positiven und einer negativen Zahl ist negativ.
So weit?
Ich tippe (nun), daß [mm] $\frac{0.68-0.83}{1-0.68}\approx\stackrel{!}{-}47\%$ [/mm] ist.
Was daraus für $p'_a$ folgt, führe ich (dem Fehlerteufel zu Ehren) nicht vor.
Schönen Gruß
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Fr 23.04.2010 | | Autor: | record |
Hallo,
da haben wir wohl beide danebengelegen - schlimm. ;)
Leider habe ich jetzt noch ein Problem mit dem Verständnis der Herleitung deiner Lösung.
ich drücke mit folgender Formel den Erkennungsgewinn im Verhältnis zum max. möglichen Gewinn aus:
$ [mm] \frac{{p_a - p_u }}{{1 - p_u }} [/mm] $
Das setze ich gleich mit dem gleichen Verhältnis unter einer neuen Grundwahrscheinlichkeit [mm] $p_u'$:
[/mm]
$ [mm] \frac{{p'_a - p'_u }}{{1 - p'_u }} [/mm] $ und löse auf.
Bei deiner Lösung verstehe ich nicht so ganz, wie du auf folgenden Bruch kommst:
[mm] \frac{p_u-p_a}{1-p_u}, [/mm]
bzw. warum man das so machen sollte, anstelle von meinem Lösungsweg.
Was habe ich bei meinem Gedankengang falsch gemacht?
Gruß
Record
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Fr 23.04.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
$ [mm] \frac{{p'_u - p'_a }}{{1 - p'_u }} [/mm] = [mm] \frac{{p_u - p_a }}{{1 - p_u }} \gdw \frac{{p'_a - p'_u }}{{1 - p'_u }} [/mm] = [mm] \frac{{p_a - p_u }}{{1 - p_u }}$
[/mm]
und
$ [mm] \frac{(1-p_a)\ -\ (1-p_u)}{1-p_u}=\frac{p_u-p_a}{1-p_u}$.
[/mm]
Mein Motiv war,
sowohl im Zähler als auch im Nenner die Warscheinlichkeit des
Gegenereignisses zu haben.
Bei deiner Lösung verstand ich nicht so ganz, wie du auf folgenden Bruch kamst:
$ [mm] \frac{{p_a - p_u }}{{1 - p_u }} [/mm] $.
Ist es übrigens eine Schulaufgabe?
Danke für die Auskunft.
Schönen Gruß
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Mo 26.04.2010 | | Autor: | record |
Hallo,
ok, das:
[mm] \frac{{p'_u - p'_a }}{{1 - p'_u }} [/mm] = [mm] \frac{{p_u - p_a }}{{1 - p_u }} [/mm] (1)
ist gleich / daraus folgt das
[mm] \frac{{p'_a - p'_u }}{{1 - p'_u }} [/mm] = [mm] \frac{{p_a - p_u }}{{1 - p_u }} [/mm] (2)
Nun die Frage: Warum kann ich nicht entweder Gleichung (1) oder Gleichung (2) nehmen und nach [mm] $p_a'$ [/mm] auflösen, um das Ergebnis zu bekommen?
Deine Lösung mit einer neagtiven Wahrscheinlichkeit kommt mir irgendwie komisch vor. Aber lasse mich gerne belehren.
Die Aufgabe stellt sich nur mir im Studium (Informatik). Eine Musterlösung existiert nicht.
Gruß
Record
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Di 27.04.2010 | | Autor: | record |
Bitte vorherigen Post lesen.
Record
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Do 29.04.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Abend,
> Deine Lösung mit einer neagtiven Wahrscheinlichkeit kommt
> mir irgendwie komisch vor.
Ein wenig spitz formuliert:
Nicht jeder Prozentwert steht für eine Wahrscheinlichkeit.
[mm] $(1-p_a)\ [/mm] -\ [mm] (1-p_u)$ [/mm] ist der Unterschied in Prozentpunkten, der zwischen [mm] $(1-p_a)$ [/mm] und [mm] $(1-p_u)$ [/mm] besteht.
Wenn an diesen Wert durch [mm] $1-p_u$ [/mm] teilt,
hat man den relativen Unterschied bezogen auf [mm] $1-p_u$.
[/mm]
Wenn [mm] $1-p_{a}$ [/mm] kleiner ist als [mm] $1-p_{u}$,
[/mm]
dann wird dieser Wert negativ.
So weit einverstanden?
Schönen Gruß
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Do 29.04.2010 | | Autor: | record |
Hallo,
> [mm](1-p_a)\ -\ (1-p_u)[/mm] ist der Unterschied in Prozentpunkten,
> der zwischen [mm](1-p_a)[/mm] und [mm](1-p_u)[/mm] besteht.
Verstehe ich.
> Wenn an diesen Wert durch [mm]1-p_u[/mm] teilt,
> hat man den relativen Unterschied bezogen auf [mm]1-p_u[/mm].
Verstehe ich auch.
> Wenn [mm]1-p_{a}[/mm] kleiner ist als [mm]1-p_{u}[/mm],
> dann wird dieser Wert negativ.
>
> So weit einverstanden?
Alles verstanden. Nur leider wurde meine Frage nicht beantwortet. :)
Meine Frage war, ob etwas dagegen sprechen würde, es so zu berechnen wie ich es gemacht habe.
Denn wenn ich es richtig sehe, kommt bei deiner, wie auch bei meiner Rechnung das gleiche Ergebnis raus:
Bei dir:
[mm] $\frac{p_u-p_a}{1-p_u} [/mm] $
$ [mm] \frac{0.68-0.83}{1-0.68}\approx-47\% [/mm] $
Die Nichterkennungsquote hätte sich in der Stichprobe um ca 47% vermindert.
Dann würde sich die Nichterkennungsquote bei $ p'_u=0.78 $ von
$ [mm] 22\% [/mm] $ auf $ [mm] 11.66\% [/mm] $ verringern, also $ [mm] p'_a\sim88.3\% [/mm] $.
Bei mir:
[mm] $\frac{{p'_a - p'_u }}{{1 - p'_u }} [/mm] = [mm] \frac{{p_a - p_u }}{{1 - p_u }}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] p'_a = p'_u + [mm] (p_a [/mm] - [mm] p_u)\frac{1 - p'_u }{1 - p_u } [/mm] $
$p'_a = 0.78 + (0.83 - [mm] 0.68)\frac{1 - 0.78 }{1 - 0.68 } \sim88.3\%$
[/mm]
Also bei beiden gleich (außer es hat sich mal wieder der Fehlerteufel eingeschlichen). Soweit ok?
Es wäre also nur die Frage nach dem Weg.
Gruß
Record
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Fr 30.04.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Morgen,
> Meine Frage war, ob etwas dagegen sprechen würde, es so
> zu berechnen wie ich es gemacht habe.
Beide Ansätze sind äquivalent mit demselben Ergebnis;
pragmatische Antwort:
Nein, es spricht nichts dagegen.
Schönen Gruß
Karsten
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