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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 So 16.02.2014 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Berechne:
a) Ein idealer Würfel werde zweimal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der gewürfelten Augenzahlen gleich 5 ist?
b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mind. eine der geworfenen Augenzahlen größer als 3 ist?
c) Poker wird mit 52 Karten gespielt. Dazu werden 4 Farben (Karo, Herz, Pik, Kreuz) mit 13 Werten (2,3,4,5,6,7,8,9,10,B,D,K,A) kombiniert. Ein Spieler erhält 5 Karten. Wie hoch ist die Anzahl der verschiedenen Kartenzuordnungen zu einem Spieler? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler 4 Karten mit dem gleichen Wert erhält? |
Hallo,
wir sind gerade neu mit den Grundlagen der Statistik angefangen und ich habe mich mal an ersten Aufgaben versucht.
a)
Ich denke, dass es sich hierbei um Ziehen mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge handelt. Kurze Zwischenfrage: Woran kann man generell erkennen, dass die Reihenfolge berücksichtigt wird? Ich habe mir das in dem Beispiel so gedacht, weil z.B. (4,1) und (1,4) nicht dasselbe sind, sondern eigenständige Bedeutungen für meine Rechnung haben.
Meine Rechnung ist wie folgt:
Es gibt [mm] 6^2 [/mm] = 36 verschiedene Wurfergebnisse.
„Günstig“ sind die Ergebnisse, bei denen die Summe der gewürfelten Augenzahlen gleich 5 ist. Ich habe sie gezählt: (4,1) (1,4) (2,3) (3,2). Kann man auch anders draufkommen, durch eine Formel?
Für die Wahrscheinlichkeit gilt dann p=4/36.
b)
Hierbei erneut Ziehen mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge, wobei zusätzlich noch der Additionssatz der Kombinatorik berücksichtigt werden muss (aufgrund des „mindestens“).
Wahrscheinlichkeit für genau eine Augenzahl ist größer als 3: 1/2
Wahrscheinlichkeit für genau zwei Augenzahlen sind größer als 3: 1/3
Dies habe ich mir so erklärt:
Im ersten Fall werden quasi zwei Möglichkeit der insgesamt 4 Möglichkeiten (kleiner 3, kleiner 3) (größer 3, kleiner 3) (kleiner 3, kleiner 3) (größer 3, größer 3) angesprochen.
Im zweiten Fall werden davon ist nur (größer 3, größer 3) interessant, daher 1/4.
Die Wahrscheinlichkeit für mind. einer Augenzahl größer 3 ist dann p = 1/2 + 1/4 = 3/4
Ich frage mich auch hier wieder: Kann man auch anders auf die Wahrscheinlichkeit kommen? Z.B. wenn die Möglichkeiten sich nicht so leicht abzählen lassen.
c)
Ich habe mich hier für Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge entschieden. Ich habe mir einfach gedacht, dass es doch im Grunde keine Rolle spielt, ob ich z.B. als erstes die Karte Herz und dann Karo kriege, denn am Ende ist nur interessant, dass ich beide Karten unter meinen 5 Karten habe.
Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen nutzt man den Binomialkoeffizienten [mm] \vektor{52 \\ 5} [/mm] und erhält 259860 Möglichkeiten.
Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass ein Spieler 4 Karten mit dem gleichen Wert erhält, müsste ich herausfinden, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass 4 mal die gleichen Werten verteilt werden.
Und genau hier fällt mir gerade leider kein Lösungsweg ein. Ich bräuchte mal einen netten Denkanstoß :)
LG
Mathics
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:16 Mo 17.02.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Mathics!
> a) Ein idealer Würfel werde zweimal geworfen. Wie hoch ist
> die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der
> gewürfelten Augenzahlen gleich 5 ist?
Als mögliche Ergebnisse des Zufallsexperimentes "zweimaliges Werfen eines idealen Würfels" lassen sich die Paare $(i,j)$ mit [mm] $i,j\in\{1,2,3,4,5,6\}$ [/mm] auffassen.
Dann liegt ein Laplace-Experiment (alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich) vor.
> Ich denke, dass es sich hierbei um Ziehen mit Zurücklegen
> mit Berücksichtigung der Reihenfolge handelt.
Die Bestimmung der Anzahl der möglichen Ergebnisse lässt sich in der Tat mithilfe des kombinatorischen Modells "Ziehen mit Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge" bewerkstelligen.
> Kurze
> Zwischenfrage: Woran kann man generell erkennen, dass die
> Reihenfolge berücksichtigt wird? Ich habe mir das in dem
> Beispiel so gedacht, weil z.B. (4,1) und (1,4) nicht
> dasselbe sind, sondern eigenständige Bedeutungen für
> meine Rechnung haben.
Genauso ist es. Solange wir $(4,1)$ und $(1,4)$ als mögliche Ergebnisse betrachten, handelt es sich um verschiedene Ergebnisse.
(Würden wir stattdessen die Menge [mm] $\{1,4\}=\{4,1\}$ [/mm] als Ergebnis betrachten, läge kein Laplace-Experiment mehr vor.)
> Meine Rechnung ist wie folgt:
>
> Es gibt [mm]6^2[/mm] = 36 verschiedene Wurfergebnisse.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> „Günstig“ sind die Ergebnisse, bei denen die Summe
> der gewürfelten Augenzahlen gleich 5 ist. Ich habe sie
> gezählt: (4,1) (1,4) (2,3) (3,2).
> Kann man auch anders
> draufkommen, durch eine Formel?
Nicht in naheliegender Weise. Jedenfalls ist ein explizites Bestimmen der "günstigen" Ergebnisse hier der schnellere Weg.
> Für die Wahrscheinlichkeit gilt dann p=4/36.
> b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mind. eine der
> geworfenen Augenzahlen größer als 3 ist?
> Hierbei erneut Ziehen mit Zurücklegen mit
> Berücksichtigung der Reihenfolge, wobei zusätzlich noch
> der Additionssatz der Kombinatorik berücksichtigt werden
> muss (aufgrund des „mindestens“).
(Den Additionssatz der Kombinatorik verwendest du bei deiner Überlegung gar nicht explizit.)
> Wahrscheinlichkeit für genau eine Augenzahl ist größer
> als 3: 1/2
Ja.
> Wahrscheinlichkeit für genau zwei Augenzahlen sind
> größer als 3: 1/3
Nein. Vermutlich hast du dich nur vertippt und meintest 1/4. Das wäre korrekt.
> Dies habe ich mir so erklärt:
>
> Im ersten Fall werden quasi zwei Möglichkeit der insgesamt
> 4 Möglichkeiten (kleiner 3, kleiner 3) (größer 3,
> kleiner 3) (kleiner 3, kleiner 3) (größer 3, größer 3)
> angesprochen.
Statt "kleiner" meinst du hier stets "kleiner gleich".
Entscheidend für deine Überlegung: Alle 4 Möglichkeiten sind gleich wahrscheinlich.
(Wenn es in der Aufgabenstellung z.B. "größer als 4" statt "größer als 3" geheißen hätte, würde deine Überlegung nicht funktionieren.)
> Im zweiten Fall werden davon ist nur (größer 3, größer
> 3) interessant, daher 1/4.
>
> Die Wahrscheinlichkeit für mind. einer Augenzahl größer
> 3 ist dann p = 1/2 + 1/4 = 3/4
Ja.
> Ich frage mich auch hier wieder: Kann man auch anders auf
> die Wahrscheinlichkeit kommen? Z.B. wenn die Möglichkeiten
> sich nicht so leicht abzählen lassen.
Nehmen wir mal an, in der Aufgabenstellung hätte es "größer als 4" statt "größer als 3" geheißen. Dann wäre es sinnvoll, wie in a) die Paare $(i,j)$ mit [mm] $i,j\in\{1,2,3,4,5,6\}$ [/mm] als mögliche Ergebnisse aufzufassen.
Die Anzahl der günstigen Ergebnisse kannst du nach dem Additionssatz der Kombinatorik dann bestimmen durch
"Anzahl der Ergebnisse (i,j) mit $i>4$ und [mm] $j\le [/mm] 4$"
+ "Anzahl der Ergebnisse (i,j) mit [mm] $i\le [/mm] 4$ und $j>4$"
+ "Anzahl der Ergebnisse (i,j) mit $i>4$ und $j>4$".
Da genau 2 der sechs Zahlen 1,2,3,4,5,6 größer 4 sind (nämlich 5 und 6) und 4 der sechs Zahlen kleiner gleich 4 sind (nämlich 1, 2, 3 und 4), ergeben sich die drei Summanden in obiger Formel zu $2*4$, $4*2$ und $2*2$.
Die Anzahl der günstigen Ereignisse wäre also
$2*4+4*2+2*2$.
Noch schneller geht es mit Betrachtung des Gegenereignisses
"beide Augenzahlen [mm] $\le4$".
[/mm]
Wenn deren Wahrscheinlichkeit mit p' bezeichnet wird, lautet die Wahrscheinlichkeit p des Ereignisses
"mind. eine Augenzahl >4"
gerade
$p=1-p'$.
Die "günstigen" Ergebnisse des Ereignisses
"mind. eine beide Augenzahlen >4"
sind gerade die Ergebnisse (i,j) mit [mm] $i,j\in\{1,2,3,4\}$.
[/mm]
Davon gibt es genau $4*4$ viele.
Also
[mm] p'=\bruch{4*4}{36}.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:26 Mo 17.02.2014 | | Autor: | tobit09 |
> c) Poker wird mit 52 Karten gespielt. Dazu werden 4 Farben
> (Karo, Herz, Pik, Kreuz) mit 13 Werten
> (2,3,4,5,6,7,8,9,10,B,D,K,A) kombiniert. Ein Spieler
> erhält 5 Karten. Wie hoch ist die Anzahl der verschiedenen
> Kartenzuordnungen zu einem Spieler? Wie hoch ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler 4 Karten mit dem
> gleichen Wert erhält?
> Ich habe mich hier für Ziehen ohne Zurücklegen und ohne
> Berücksichtigung der Reihenfolge entschieden. Ich habe mir
> einfach gedacht, dass es doch im Grunde keine Rolle spielt,
> ob ich z.B. als erstes die Karte Herz und dann Karo kriege,
> denn am Ende ist nur interessant, dass ich beide Karten
> unter meinen 5 Karten habe.
>
> Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen nutzt man den
> Binomialkoeffizienten [mm]\vektor{52 \\ 5}[/mm]
> und erhält 259860 Möglichkeiten.
(Kleiner Tippfehler: Es sind 2598960 Möglichkeiten.)
> Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass ein
> Spieler 4 Karten mit dem gleichen Wert erhält, müsste ich
> herausfinden, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass 4 mal
> die gleichen Werten verteilt werden.
Genau. Dieser Weg funktioniert, weil (bei Betrachtung der [mm] $\binom{52}{5}$ [/mm] möglichen Kartenzuordnungen als Ergebnisse) ein Laplace-Experiment vorliegt.
> Und genau hier fällt mir gerade leider kein Lösungsweg
> ein. Ich bräuchte mal einen netten Denkanstoß :)
Es gibt 13 Möglichkeiten, welchen Wert der Spieler vierfach erhalten kann. In jedem dieser 13 Fälle gibt es dann jeweils noch 52-4 Möglichkeiten, welche Karte der Spieler als fünfte Karte erhält.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Di 18.02.2014 | | Autor: | Mathics |
> Es gibt 13 Möglichkeiten, welchen Wert der Spieler
> vierfach erhalten kann. In jedem dieser 13 Fälle gibt es
> dann jeweils noch 52-4 Möglichkeiten, welche Karte der
> Spieler als fünfte Karte erhält.
Es gibt am Anfang 13 Möglichkeiten, weil man die Reihenfolge nicht berücksichtigt oder? Wenn man die Reihenfolge berücksichtigen würde, würde es dann 52 Möglichkeiten geben? Und dann gibt es 52-4=48 Möglichkeiten, weil jede beliebige Karte außer die vier gezogen werden kann.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Di 18.02.2014 | | Autor: | tobit09 |
> > Es gibt 13 Möglichkeiten, welchen Wert der Spieler
> > vierfach erhalten kann. In jedem dieser 13 Fälle gibt es
> > dann jeweils noch 52-4 Möglichkeiten, welche Karte der
> > Spieler als fünfte Karte erhält.
>
>
> Es gibt am Anfang 13 Möglichkeiten, weil man die
> Reihenfolge nicht berücksichtigt oder?
Ja.
Ziel ist ja, die Anzahl der Kartenzuordnungen (ohne Reihenfolge) mit vier Karten gleichen Wertes zu bestimmen.
Man bekommt genau alle solchen Kartenzuordnungen auf jeweils genau eine Weise durch folgendes Vorgehen:
Zunächst wählt man den Wert, von dem die Kartenzuordnung alle vier Karten erhalten soll (13 Möglichkeiten). Dann wählt man die fünfte Karte aus den übrigbleibenden 52-4=48 Karten.
Also gibt es genau $13*48$ Kartenzuordnungen mit vier Karten gleichen Wertes.
> Wenn man die
> Reihenfolge berücksichtigen würde, würde es dann 52
> Möglichkeiten geben?
Nein.
Nehmen wir der Übung halber mal diesen Modellwechsel vor und verstehen unter einer Kartenzuordnung nun die genaue Festlegung, welche Karte der Spieler als erstes, zweites, drittes, viertes und fünftes erhält.
Wie viele mögliche Kartenzuordnungen gibt es in diesem Sinne?
Wie viele davon enthalten vier Karten gleichen Wertes?
Man bekommt genau alle solchen Kartenzuordnungen auf jeweils genau eine Weise durch folgendes Vorgehen:
Zunächst wählt man den Wert, von dem die Kartenzuordnung alle vier Karten erhalten soll (13 Möglichkeiten). Dann wählt man die fünfte Karte aus den übrigbleibenden 52-4=48 Karten. Schließlich wählt man noch die Reihenfolge der fünf gewählten Karten. Dazu gibt es genau 5! Möglichkeiten.
Also gibt es genau $13*48*5!$ viele Kartenzuordnungen mit vier Karten gleichen Wertes.
> Und dann gibt es 52-4=48
> Möglichkeiten, weil jede beliebige Karte außer die vier
> gezogen werden kann.
Ja.
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