Wahrscheinlichkeit berechnen < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:34 Di 14.04.2009 | | Autor: | sardelka |
| Aufgabe | Ein Pyramidenstumpf wird zum Würfeln benutzt. In der Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse 1 bis 6 angegeben.
P(1) = 0,3
P(2) = 0,15
P(3) = 0,15
P(4) = 0,15
P(5) = 0,15
P(6) = 0,1
Dieser "Würfel" wird drei mal geworfen.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
[mm] E_{1} [/mm] : Es erscheinen drei ungerade Zahlen.
[mm] E_{2} [/mm] : Die Augensumme ist 5.
|
Hallo,
ich bereite mich gerade für mein Abi in einer Woche vor und das ist die Aufgabe auf Abitur 2006.
Irgendwie verstehe ich hier die Lösung nicht, denn ich hätte anders gerechnet.
Die Lösung lautet:
Baumdiagramm:
P({1;3;5}) = 0,3 + 0,15 + 0,15 = 0,6
[mm] p(E_{1}) [/mm] = 0,6³ = 21,60%
[mm] p(E_{2}) [/mm] = {113,122,131,212,221,311}
[mm] p(E_{2}) [/mm] = 6,08%
Ich verstehe nicht, warum sie bei P({1;3;5}) die Wahrscheinlichkeiten zusammen addiert haben?!
Das ist doch Pfadregel. Es müsste also multipliziert werden, oder nicht?
Und wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für [mm] E_{2}? [/mm]
Wäre euch sehr dankbar für eine Erklärung
Liebe Grüße
sardelka
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Di 14.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Ein Pyramidenstumpf wird zum „Würfeln“ benutzt. In der
> Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse 1
> bis 6 angegeben.
>
> P(1) = 0,3
> P(2) = 0,15
> P(3) = 0,15
> P(4) = 0,15
> P(5) = 0,15
> P(6) = 0,1
>
> Dieser "Würfel" wird drei mal geworfen.
> Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende
> Ereignisse:
>
> [mm]E_{1}[/mm] : Es erscheinen drei ungerade Zahlen.
> [mm]E_{2}[/mm] : Die Augensumme ist 5.
>
>
> Hallo,
>
> ich bereite mich gerade für mein Abi in einer Woche vor und
> das ist die Aufgabe auf Abitur 2006.
>
> Irgendwie verstehe ich hier die Lösung nicht, denn ich
> hätte anders gerechnet.
>
> Die Lösung lautet:
> Baumdiagramm:
> P({1;3;5}) = 0,3 + 0,15 + 0,15 = 0,6
>
> [mm]p(E_{1})[/mm] = 0,6³ = 21,60%
> [mm]p(E_{2})[/mm] = {113,122,131,212,221,311}
> [mm]p(E_{2})[/mm] = 6,08%
>
>
> Ich verstehe nicht, warum sie bei P({1;3;5}) die
> Wahrscheinlichkeiten zusammen addiert haben?!
> Das ist doch Pfadregel. Es müsste also multipliziert
> werden, oder nicht?
Das günstige Ereignis "Ungerade Zahl" tritt (einmal) ein, wenn bei einem Wurf die 1, 3 oder 5 fällt.
Das kann man mit einem EINSTUFIGEN Baumdiagramm (Werte 1 bis 6) darstellen, bei dem man am Ende die Wahrscheinlichkeiten aller für das Ergebnis günstigen Fälle addiert. (Da jeder Pfad nur die Länge 1 hat, gibt es entlang des Pfades nichts, was man miteinander multiplizieren könnte.)
Der Wurf wird dreimal wiederholt (dreistufiges Baudiagramm mit jeweils "gerade" (p=0,6) oder ungerade (p=0,4).
Jetzt kannst du für "dreimal gerade" entlang des Pfades multiplizieren und erhältst [mm] 0,6^3.
[/mm]
Wenn du die Vereinfachung dieses Vorehens nicht einsiehst, dann mache dir ein Baumdiagramm mit 3 Stufen, jeweils den Werten 1 bis 6 und deinen ganz oben angegeben Wahrscheinlichkeiten (dieses Diagramm endet in 216 Zweigen). 27 dieser Zweige bestehen nur aus ungeraden Zahlen. Entlang dieser 27 Zweige kannst du tatsächlich multilizieren, am Ende fasst diu die 27 Ergebnisse durch Addition zusammen.
>
> Und wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für [mm]E_{2}?[/mm]
Es gibt nur wenige Fälle, die zu diesem Ergebnis führen:
1+1+3 (mit Vertauschungen der Reihenfolge)
1+2+2 (mit Vertauschungen der Reihenfolge)
Du brauchst also von dem "großen" Baum mit 216 Enden nur einen sehr kleinen Ausschnitt
Gruß Abakus
>
>
> Wäre euch sehr dankbar für eine Erklärung
>
> Liebe Grüße
>
> sardelka
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Di 14.04.2009 | | Autor: | sardelka |
Tut mir Leid, aber ich habe es noch nicht verstanden. :(
Also, dass beim Baumdiagrammzeichnen 216 Pfade entstehen verstehe ich, dass es aber ganze 27 Zweige geben soll mit ungeraden Zahlen, verstehe ich nicht, ich habe da nur 6 raus.
Denn wir haben 2 ungerade Zahlen(1,3,5) und wenn wir diese vertauschen, habe ich im Endeffekt 6 Möglichkeiten, nämlich:
135, 153, 315, 351, 513, 531.
1). Könntest du mir noch vielleicht 2 Beispiele geben, wo es noch 3 mal ungerade Zahlen auftauchen?
Zur zweiten Frage:
Ja, es ist ein dreistufiges Experiment.
Aber gerade deshalb, werden doch Pfade nacheinander gezeichnet und anschließend multipliziert.
z.B. ich werfe ein Würfel 2 mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für 2 mal die 6 zu werfen? Da rechne ich ja auch Pfadregel: (1/6)² und nicht (1/6)*2.
Aber anscheinend kann man auch hier irgendwie mit der Summe rechnen.
2). Wie würde ich denn bei diesem Beispiel mit der Summe auf die 1/36 kommen?
Ich glaube, wenn ich 1). verstanden habe, dass ist auch meine Frage geklärt, warum man die nicht als ein Pfad zeichnet, sondern wie du sagtest, addiert sie.
Zur dritten Frage:
Ich weiß jetzt immer noch nicht wie ich [mm] E_{2} [/mm] berechnen soll. :(
Also ich habe insgesamt 6 Möglichkeiten, indem ich 122 und 113 veratusche. Ist mir klar.
Wie berechne ich sie nun?
Ich habe eben mit der Addition versucht, wie du es sagtest:
Für 113:
0,3*2 + 0,15 = 0,75
Da es aber 3 mal passieren kann, in Abhängigkeit von der Reihenfolge, nehme ich das hoch 3. -> 0,421875
Für 221:
0,15*2 + 0,3 = 0,6
Auch hier nehme ich hoch 3 -> 0,216.
Jetzt muss ich sie...
multiplizieren oder addieren?
Eigentlich addieren, die Wahrscheinlichkeit wäre aber zu groß, nämlich ganze ungefähr 63,79%.
Und wenn ich multiplizier habe ich: 9,11% raus.
Tja, doof, dass es 6,08% sein müssen.
Also, habe ich falsch gerechnet. :(
4). Wo liegt dann der Fehler?
Vielen Dank
Liebe Grüße
sardelka
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Di 14.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Tut mir Leid, aber ich habe es noch nicht verstanden. :(
>
> Also, dass beim Baumdiagrammzeichnen 216 Pfade entstehen
> verstehe ich, dass es aber ganze 27 Zweige geben soll mit
> ungeraden Zahlen, verstehe ich nicht, ich habe da nur 6
> raus.
>
> Denn wir haben 2 ungerade Zahlen(1,3,5) und wenn wir diese
> vertauschen, habe ich im Endeffekt 6 Möglichkeiten,
> nämlich:
> 135, 153, 315, 351, 513, 531.
>
> 1). Könntest du mir noch vielleicht 2 Beispiele geben, wo
> es noch 3 mal ungerade Zahlen auftauchen?
111,113, 115, 131, 133, ..., 555
>
>
> Zur zweiten Frage:
> Ja, es ist ein dreistufiges Experiment.
> Aber gerade deshalb, werden doch Pfade nacheinander
> gezeichnet und anschließend multipliziert.
>
> z.B. ich werfe ein Würfel 2 mal. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit für 2 mal die 6 zu werfen? Da rechne ich
> ja auch Pfadregel: (1/6)² und nicht (1/6)*2.
> Aber anscheinend kann man auch hier irgendwie mit der
> Summe rechnen.
> 2). Wie würde ich denn bei diesem Beispiel mit der Summe
> auf die 1/36 kommen?
>
> Ich glaube, wenn ich 1). verstanden habe, dass ist auch
> meine Frage geklärt, warum man die nicht als ein Pfad
> zeichnet, sondern wie du sagtest, addiert sie.
Es ist doch nicht "ein Pfad aus mehreren Teilstrecken", sondern nur ein Punkt, von dem 6 verschiedene Wege abgehen, die sich nicht noch einmal verzweigen (wenn man von nur einem Wurf ausgeht).
>
>
> Zur dritten Frage:
>
> Ich weiß jetzt immer noch nicht wie ich [mm]E_{2}[/mm] berechnen
> soll. :(
>
> Also ich habe insgesamt 6 Möglichkeiten, indem ich 122 und
> 113 veratusche. Ist mir klar.
>
> Wie berechne ich sie nun?
>
> Ich habe eben mit der Addition versucht, wie du es
> sagtest:
Habe ich nicht. Erst wenn du entlang der Pfade multiplizierst, kannst du die Produkte addieren.
> Für 113:
0,3*0,3*0,15=0,0135
> 0,3*2 + 0,15 = 0,75
> Da es aber 3 mal passieren kann, in Abhängigkeit von der
Richtig.
> Reihenfolge, nehme ich das hoch 3. -> 0,421875
Nein, mal drei.
0,0135*3=0,0405
>
> Für 221:
> 0,15*2 + 0,3 = 0,6
> Auch hier nehme ich hoch 3 -> 0,216.
Entsprechend 0,15*0,15*0,3=0,00675
> Jetzt muss ich sie...
> multiplizieren oder addieren?
ebenfalls mal 3 -->0,02025
Jetzt addieren: 0,0405+0,2025=...
(Eigentlich sind es je 6 Produkte, die am Ende addiert werden. Wir haben nur ausgenutzt, dass jeweils drei Produkte gleich sind.)
> Eigentlich addieren, die Wahrscheinlichkeit wäre aber zu
> groß, nämlich ganze ungefähr 63,79%.
>
> Und wenn ich multiplizier habe ich: 9,11% raus.
>
> Tja, doof, dass es 6,08% sein müssen.
>
> Also, habe ich falsch gerechnet. :(
>
> 4). Wo liegt dann der Fehler?
>
>
> Vielen Dank
>
> Liebe Grüße
>
> sardelka
|
|
|
|
