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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Mo 08.08.2005 | | Autor: | taschuu |
Hallo,
ich habe hier ein Problem mit einer Glücksspielautomat-Frage. Ich sitze hier echt schon stundenlang und probiere auf die Lösung zu kommen; es klappt aber irgendwie nicht. Es wäre schon, wenn mir jemand bei der Aufgabe helfen könnte?!
Aufgabe: Ein Glücksspielautomat besteht aus drei Rädern R1, R2 und R3. Diese lassen sich unabhängig voneinander bewegen und anhalten. Auf jedem der Räder finden Sie gleichwahrscheinlich auftretend die Zahlen 1,2,3,.....,8,9,10. Beim Spielen bleibt zuerst Rad 1 stehen und zeigt in der Mitte des Rades eine der zehn Zahlen. Danach stoppt das Rad 2, das zwei Zahlen zeigt. Es kann auf Wunsch nochmal in Bewegung gesetzt werden. Dieses In-Bewegung-Setzen muss nicht geschehen. Danach wird Rad 3 genau wie Rad 2 bedient (es sind auch zwei Zahlen im Fenster sichtbar). Gewonnen hat man, wenn durch die fünf Fenster dreimal die gleiche Zahl zu sehen ist. Ob die Zahl bei den Rädern 2 und 3 oben oder unten im Fenster zu sehen ist, ist belanglos.
Frage: Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, bei dem Automaten dreimal die 1 zu erhalten [mm] p(111)=\bruch{1296}{100000} [/mm] ist.
Also: Die Wahrscheinlichkeit bei R1 die 1 zu erhalten ist, meiner Meinung nach [mm] \bruch{1}{10}.
[/mm]
Bei R2 und R3 würde ich sagen [mm] \bruch{2}{10} [/mm] .
Ich weiß nicht, ob das richtig ist und wie man auf die [mm] \bruch{1296}{100000} [/mm] kommt. Es wäre echt klasse, wenn mir jemand helfen könnte.
Vielen Dank
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Mo 08.08.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Taschuu,
> ich habe hier ein Problem mit einer
> Glücksspielautomat-Frage. Ich sitze hier echt schon
> stundenlang und probiere auf die Lösung zu kommen; es
> klappt aber irgendwie nicht. Es wäre schon, wenn mir jemand
> bei der Aufgabe helfen könnte?!
> Aufgabe: Ein Glücksspielautomat besteht aus drei Rädern
> R1, R2 und R3. Diese lassen sich unabhängig voneinander
> bewegen und anhalten. Auf jedem der Räder finden Sie
> gleichwahrscheinlich auftretend die Zahlen
> 1,2,3,.....,8,9,10. Beim Spielen bleibt zuerst Rad 1 stehen
> und zeigt in der Mitte des Rades eine der zehn Zahlen.
> Danach stoppt das Rad 2, das zwei Zahlen zeigt. Es kann auf
> Wunsch nochmal in Bewegung gesetzt werden. Dieses
> In-Bewegung-Setzen muss nicht geschehen. Danach wird Rad 3
> genau wie Rad 2 bedient (es sind auch zwei Zahlen im
> Fenster sichtbar). Gewonnen hat man, wenn durch die fünf
> Fenster dreimal die gleiche Zahl zu sehen ist. Ob die Zahl
> bei den Rädern 2 und 3 oben oder unten im Fenster zu sehen
> ist, ist belanglos.
> Frage: Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, bei dem
> Automaten dreimal die 1 zu erhalten
> [mm]p(111)=\bruch{1296}{100000}[/mm] ist.
>
> Also: Die Wahrscheinlichkeit bei R1 die 1 zu erhalten ist,
> meiner Meinung nach [mm]\bruch{1}{10}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bei R2 und R3 würde ich sagen [mm]\bruch{2}{10}[/mm] .
Das gilt nur, dann, wenn du das Rad kein 2. Mal betätigst. Wenn du beim ersten Mal aber keine 1 bekommst (Wahrscheinlichkeit = [mm]\bruch{8}{10}[/mm]), wirst du ja das Rad noch einmal in Gang setzen. Wenn du beide Fälle berücksichtigst, bekommst du für die Wahrscheinlichkeit, mit dem 2. Rad eine 1 zu erzielen:
[mm]\bruch{2}{10} + \bruch{8}{10} \cdot \bruch{2}{10}[/mm].
Das gleiche gilt auch für das 3. Rad.
Damit kommst du auch,an das von dir angegebene Ergebnis.
> Ich weiß nicht, ob das richtig ist und wie man auf die
> [mm]\bruch{1296}{100000}[/mm] kommt. Es wäre echt klasse, wenn mir
> jemand helfen könnte.
>
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Mo 08.08.2005 | | Autor: | taschuu |
Hallo Sigrid,
vielen Dank für die Hilfe. Ich bin jetzt Gott sei Dank auf die [mm] \bruch{1296}{10000} [/mm] gekommen. War ja eigentlich auch nur logisch so.
Jetzt habe ich aber nochmal eine Frage.
Der Einsatz eines Spielers beträgt 0,10Euro und im Falle eines Gewinns kriegt er die Summe a*0,10 Euro ausbezahlt, wenn dreimal die Zahl a erscheint.
Wenn ich jetzt die Verteilung der Zufallsvariablen X angeben soll, und die Zufallsvariable X den Auszahlungsbetrag bei einem Einsatz von 0,10 Euro beschreibt, dann heißt es doch:
p(X=a*0,10)=(1*0,10)=0,10= [mm] \bruch{1}{10} [/mm]
Das müsste doch die Verteilung der Zufallsvariablen sein, oder habe ich etwas vergessen???
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:49 Di 09.08.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Taschuu,
> vielen Dank für die Hilfe. Ich bin jetzt Gott sei Dank auf
> die [mm]\bruch{1296}{10000}[/mm] gekommen. War ja eigentlich auch
> nur logisch so.
Im Nenner sollte 100000 stehen
> Jetzt habe ich aber nochmal eine Frage.
> Der Einsatz eines Spielers beträgt 0,10Euro und im Falle
> eines Gewinns kriegt er die Summe a*0,10 Euro ausbezahlt,
> wenn dreimal die Zahl a erscheint.
> Wenn ich jetzt die Verteilung der Zufallsvariablen X
> angeben soll, und die Zufallsvariable X den
> Auszahlungsbetrag bei einem Einsatz von 0,10 Euro
> beschreibt, dann heißt es doch:
>
> p(X=a*0,10)=(1*0,10)=0,10= [mm]\bruch{1}{10}[/mm]
> Das müsste doch die Verteilung der Zufallsvariablen sein,
> oder habe ich etwas vergessen???
Deine Rechnung verstehe ich nicht.
Erstmal: Soll die Zufallsvariable den Auszahlungsbetrag angeben, das wären die Werte
0 (falls du verlierst); 0,1; 0,2;...;0,9;1
oder den Gewinn, also Auszahlungsbetrag - Einsatz?
Im 2. Fall hättest du die Werte -0,1; 0; 0,1;...;0,9
Ich gehe jetzt vom 2. Fall aus. Dann nimmt X den Wert 0 an, wenn dreimal die Zahl 1 erscheint, denn dann ist der Auszahlungsbetrag gleich dem Einsatz, der Gewinn also 0.
Die Wahrscheinlichkeit hast du ja ausgerechnet:
[mm] P(X=0) = \bruch{1296}{100000} [/mm]
Entsprechend berechnest du die Wahrscheinlichkeiten für die anderen Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann.
>
>
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Pauline |
Hallo und schönen guten Tag!
ich würde gerne an dieser Stelle weitermachen, da ich zurzeit an der Aufgabe arbeite und es bei der Weiterverfolgung des gegebenen Lösungsansatzes noch große Unsicherheiten meinerseits gibt.
Zunächst möchte ich die gestellte Aufgabe präzisieren:
>"Aufgabe: Ein Glücksspielautomat besteht aus drei Rädern R1, R2 und R3. Diese lassen sich >unabhängig voneinander bewegen und anhalten. Auf jedem der Räder finden Sie >gleichwahrscheinlich auftretend die Zahlen 1,2,3,.....,8,9,10. Beim Spielen bleibt zuerst Rad 1 >stehen und zeigt in der Mitte des Rades eine der zehn Zahlen. Danach stoppt das Rad 2, das zwei >Zahlen zeigt. Es kann auf Wunsch nochmal in Bewegung gesetzt werden. Dieses In-Bewegung-Setzen >muss nicht geschehen. Danach wird Rad 3 genau wie Rad 2 bedient (es sind auch zwei Zahlen im >Fenster sichtbar). Gewonnen hat man, wenn durch die fünf Fenster dreimal die gleiche Zahl zu >sehen ist. Ob die Zahl bei den Rädern 2 und 3 oben oder unten im Fenster zu sehen ist, ist >belanglos.
Der Einsatz beträgt pro Spiel 0,10 EUR.
Der Automat zahlt Ihnen den Betrag a*0,1 EUR aus, wenn dreimal die Zahl a erscheint.
Wir gehen im Folgenden davon aus, dass jeder Spieler auf Gewinn bedacht ist.
a) Stellen Sie den Wahrscheinlichkeitsbaum für das Ereignis 111, d.h. dreimal die Zahl a = 1
zu erhalten, graphisch dar.
b) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, bei dem Automaten dreimal die 1 zu erhalten,
p(111) = 1296/100 000 ist.
c) Die Zufallsvariable X beschreibe den Auszahlungsbetrag bei einem Einsatz von EUR 0,10.
Geben Sie die Verteilung der Zufallsvariablen X an.
d) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) der Zufallsvariablen X und des Reingewinns, der bei diesem Spiel für den Spieler möglich ist."
Lösungsansatz zum Aufgabenteil a):
Der Wahrscheinlichkeitsbaum ist hier ein s.g. Abbruchbaum und beruht auf a=1 und dem Gegenereignis zu a: keine Eins.
Lösungsansatz zum Aufgabenteil b):
Die Wahrscheinlichkeiten für das Erscheinen einer Eins betragen:
p(R1) = 1/10 (mittleres Rad)
p(R2) = 2/10
p(R2) = 2/10.
Am Wahrscheinlichkeitsbaum kann man dann ablesen:
p(111) = 1/10*2/10*2/10 = 4/1000
p(1101) = 1/10*2/10*8/10*2/10 = 32/10 000
p(1011) = 1/10*8/10*2/10*2/10 = 32/10 000
p(10101= 1/10*8/10*2/10*8/10*2/10 = 256/100 000.
p(111)+p(1101)+p(1011)+p(10101) = 1296/100 000.
Lösungsansatz zum Aufgabenteil c)
Der Gewinn setzt sich zusammen aus a*Einsatz vermindert durch den Einsatz (0,10 EUR):
Die Gewinnverteilung sieht meiner Meinung nach so aus:
p(X=0*0,1-0,1) = p(X=-0,1) = 0,98704 im Fall "kein Gewinn" mit a=0,
p(X=1*0,1-0,1) = p(X=0) = 0,01296 im Fall a=1
..... ....
..... ....
p(X=10*0,1-0,1) = p(X=0,9) = 0,01296 im Fall a=10.
Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Gewinns - egal, um welchen Wert a es sich handelt-immer p = 0,01296 ist, außer dem Gegenereignis "kein Gewinn", das ja dann mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1-10*0,01296 = 0,8704 eintreten müsste.
Die Gewinnverteilung sieht demnach so aus:
[mm] x_{i} [/mm] -0,1 0 0,1 ....0,9 Summen
[mm] p(X=x_{i}) [/mm] 0,8704 0,01296 0,01296 ...0,01296 1
[mm] x_{i}*p(X=x_{i}) [/mm] ..........................................................-0,03.
Damit wäre der Erwartungswert für einen Gewinn [mm] E(X)\approx [/mm] -0,03. Das heißt wohl, dass mit Verlust zu rechnen ist.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir einer sagen könnte, ob meine Ansätze so richtig sind....
Viele Grüße
Pauline
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Do 06.11.2008 | | Autor: | Pauline |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Pauline
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Pauline |
Hallo Ihr Lieben,
ich wollte mal fragen, ob meine Frage überhaupt zur Diskussion steht, da ich sie nicht unter den Rubriken "Offene Fragen" und "Alle Foren" sehen kann, sondern nur unter "Beteiligt" finde?????
Viele Grüße
Pauline
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:37 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Pauline |
Guten Morgen!
Hat ja dieses Mal leider nicht geklappt. Bin trotzdem weiterhin an einer Antwort interessiert. Also, falls noch jemand Interesse hat......ich würde mich sehr freuen!
Viele Grüße
Pauline
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hallo Pauline,
jetzt weiss ich, woher deine andere Frage kam ...
Ich habe mir jetzt diesen Geldspielautomaten auch
vorgestellt, den Baum dazu gezeichnet und die
Rechnungen durchgeführt.
Soweit ich sehe, hast du alles richtig gemacht ! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Da alle 10 Fälle a=1, a=2, ... , a=10 gleichwahr-
scheinlich sind, könnte man ev. die Berechnungen
abkürzen, aber das ist nebensächlich.
Gruß al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Pauline |
Hi!!!
Wie soll ich dir nur danken!!!! Vielen vielen Dank, dass du dir die ganze Mühe gemacht hast!!!
Da bin ich auch froh, dass diese (in der Stochastik) allgegenwärtige Glücksautomatenaufgabe nicht unbeantwortet bleiben muss.....
Schönen Tag noch....
Viele Grüße
Pauline
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