Wahrscheinlichkeit gesucht < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:08 Di 29.03.2011 | | Autor: | petrus_86 |
| Aufgabe | Ein Relais fällt nach X Sekunden ab. Es gelte:
[mm]X\sim N (\mu_x, \sigma_x^2)[/mm]
[mm]X\sim N (\mu_y, \sigma_y^2)[/mm]
[mm]Y-X \sim N(\mu_y-\mu_x, \sigma_y^2 + \sigma_x^2) [/mm]
[mm]Y-X \sim N(\mu_y-\mu_x, 0.0081) [/mm]
Beide Relais fallen unabhängig voneinander ab. Wie groß muss die Differenz [mm] \mu_y-\mu_x [/mm] sein, damit das zweite Relais mit nur einer Wahrscheinlichkeit von 0.001 vor dem ersten Relais abfällt? |
Ich bitte euch um Hilfe. Ansatz und Idee fehlen.
Auf matheboard habe ich ebenfalls diese Frage gestellt, aber keine zufriedenstellenden Antworten erhalten:
Klick
PS: Das ist die letzte Aufgabe zur Vorbereitung für die bevorstehende Klausur am Freitag.
|
|
| |
|
> Ein Relais fällt nach X Sekunden ab. Es gelte:
>
> [mm]X\sim N (\mu_x, \sigma_x^2)[/mm]
>
> [mm]Y\sim N (\mu_y, \sigma_y^2)[/mm]
>
> [mm]Y-X \sim N(\mu_y-\mu_x, \sigma_y^2 + \sigma_x^2)[/mm]
>
> [mm]Y-X \sim N(\mu_y-\mu_x, 0.0081)[/mm]
>
> Beide Relais fallen unabhängig voneinander ab. Wie groß
> muss die Differenz [mm]\mu_y-\mu_x[/mm] sein, damit das zweite
> Relais mit nur einer Wahrscheinlichkeit von 0.001 vor dem
> ersten Relais abfällt?
> Ich bitte euch um Hilfe. Ansatz und Idee fehlen.
Hallo petrus_86 ,
du hast ja schon die Verteilung von Y-X notiert.
Zeichne dir deren Dichtefunktion in einem Koor-
dinatensystem auf. An dem Graph kann man die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass das zweite Relais
vor dem ersten ausfällt, sehr schön als Flächen-
inhalt darstellen. Weiter hilft dann der Übergang
zur Standard-Normalverteilung.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Wie sieht die Dichtefunktion aus?
Ich muss irgendwie auf die Grenzen a und b kommen, um die Flächinhalten zu subtrahieren. Allerdings geht das nicht, weil mir [mm] \mu [/mm] fehlt.
|
|
|
| |
|
> Wie sieht die Dichtefunktion aus?
> Ich muss irgendwie auf die Grenzen a und b kommen, um die
> Flächinhalten zu subtrahieren. Allerdings geht das nicht,
> weil mir [mm]\mu[/mm] fehlt.
Hallo petrus_86 ,
der Graph der Dichtefunktion für Y-X ist die Gaußkurve
mit Hochpunkt an der Stelle [mm] $\mu\ [/mm] =\ [mm] \mu_y-\mu_x$ [/mm] und mit
[mm] $\sigma\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{\sigma_y^2 + \sigma_x^2}$ [/mm] .
[mm] \sigma [/mm] ist offenbar bekannt und [mm] \mu [/mm] gesucht.
Nun soll ja die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Relais
vor dem ersten kippt, kleiner als ein Tausendstel sein,
also P(Y-X<0) < 0.001 . Diese Wahrscheinlichkeit entspricht
dem Flächeninhalt zwischen Dichtekurve und x-Achse über
dem Intervall [mm] (-\infty [/mm] ... 0).
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Ich habe die Gaußkurve gezeichnet und a und b eingezeichnet. Allerdings fehlen mir die Werte um eine Tranfsormation zu machen. Achso mir fällt gerade ein:
[mm]\wurzel{sigma^{2}} = \mu[/mm] ?
|
|
|
| |
|
> Ich habe die Gaußkurve gezeichnet und a und b
> eingezeichnet.
Was bezeichnest du mit a und b ?
> Allerdings fehlen mir die Werte um eine
> Tranfsormation zu machen. Achso mir fällt gerade ein:
>
> [mm]\wurzel{sigma^{2}} = \mu[/mm] ? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Die Dichtefunktion der Differenz U:=Y-X ergibt die
Gaußkurve mit Hochpunkt an der Stelle [mm] \mu=\mu_U:=\mu_Y-\mu_X
[/mm]
und der Standardabweichung [mm] \sigma=\sigma_U=\sqrt{\sigma_X^2+\sigma_X^2} [/mm] . Wir dürfen
natürlich davon ausgehen, dass [mm] \mu [/mm] positiv ist und auch
[mm] \mu>\sigma [/mm] (denn im Normalfall fällt ja eben das
Relais Y klar nach dem Relais X ab). Dies ermöglicht
eine qualitativ richtige Skizze der Gaußkurve.
Der Wert von [mm] \sigma [/mm] ist offenbar vorgegeben, nämlich
[mm] \sigma=\sqrt{0.0081}=0.09 [/mm] , und es geht darum, den minimalen
Wert von [mm] \mu [/mm] so festzulegen, dass P(U<0) < 0.001 wird.
Diese Wahrscheinlichkeit P(U<0)=P(Y<X) entspricht in der
Grafik dem Flächeninhalt zwischen der Gaußkurve und
der u-Achse über dem Intervall [mm] -\infty
formation zur Standardnormalverteilung erfolgt über die
Gleichung [mm] z=\frac{u-\mu}{\sigma}
[/mm]
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
a und b sind die Grenzen womit ich den Flächinhalt als Wahrscheinlichkeit ausrechnen würde bzw aus einer Tabelle ablesen würde Z-Wert.
u-Achse = x-Achse ?
Um z ausrechnen zu können fehlen mir doch 2 Werte:
u und [mm] \mu
[/mm]
Wie lege ich das fest oder wie komme ich darauf?
|
|
|
| |
|
> a und b sind die Grenzen womit ich den Flächinhalt als
> Wahrscheinlichkeit ausrechnen würde bzw aus einer Tabelle
> ablesen würde Z-Wert.
konkrete Zahlenwerte ?
> u-Achse = x-Achse ?
Da ich die Differenz y-x mit u bezeichnet habe, ist nun
eben u die Hilfsvariable auf der horizontalen Achse,
mit welcher die Verteilung dargestellt wird.
> Um z ausrechnen zu können fehlen mir doch 2 Werte:
>
> u und [mm]\mu[/mm]
>
> Wie lege ich das fest oder wie komme ich darauf?
Um das passende z auszurechnen, brauchst du die
Tabelle der Normalverteilung. Nämlich: Für welchen
Wert von z ist [mm] \Phi(z)=0.001 [/mm] ?
Aus dem dadurch bestimmten z-Wert kann man dann
den Wert von [mm] \mu [/mm] berechnen, weil nämlich der gefundene
z-Wert zum Wert u=0 gehört.
Aber da habe ich doch mal noch eine Rückfrage:
Hast du überhaupt schon gewisse Aufgaben gelöst,
bei welchen die Normalverteilung und die Standard-
Normalverteilung benützt wurde ?
Wenn nein, befürchte ich nämlich, dass dir auch meine
vielen Hilfen kaum etwas nützen ...
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
[mm]\mu = -0,04536[/mm] ?
|
|
|
| |
|
> [mm]\mu = -0,04536[/mm] ?
Nein.
Ich komme mit meiner Rechnung darauf, dass [mm] \mu
[/mm]
mindestens gleich 0.278 sein sollte. Ich würde dir
vorschlagen, dass du einmal von der Normalverteilung
mit [mm] \mu_U=0.278 [/mm] und [mm] \sigma_U=0.09 [/mm] ausgehst und dazu die
Wahrscheinlichkeit P(U<0) berechnest. Es sollte (ungefähr)
der Wert 0.001 herauskommen.
Überlege dir dann im zweiten Schritt, wie du umgekehrt
aus den in der Aufgabe gegebenen Daten auf das Ergebnis
[mm] \mu_U=0.278 [/mm] kommen kannst.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:51 Mo 04.04.2011 | | Autor: | petrus_86 |
Transformation:
[mm]z=(u-\mu)/\sigma = -0,278/0,09 \cong -3,09[/mm]
Z-Wert Tabelle : 0,99900
Um die Wahrscheinlichkeit zu erlangen, rechne ich 1-0,99900 = 0,001
Ist das richtig?
|
|
|
| |
|
> Transformation:
> [mm]z=(u-\mu)/\sigma = -0,278/0,09 \cong -3,09[/mm]
>
> Z-Wert Tabelle : 0,99900
>
> Um die Wahrscheinlichkeit zu erlangen, rechne ich 1-0,99900
> = 0,001
>
> Ist das richtig?
Hallo petrus_86,
zum z-Wert -3.09 gehört [mm] \Phi(-3.09)=0.001
[/mm]
Vermutlich verwendest du aber eine Tabelle, in der keine
negativen z-Werte verzeichnet sind. Dann geht die
Rechnung so: [mm] \Phi(-3.09)=1-\Phi(3.09)=1-0.999=0.001
[/mm]
Das ist wohl, was du gemacht hast.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 Do 31.03.2011 | | Autor: | petrus_86 |
Ja, ich habe schon mit der Normalverteilung gerechnet.
|
|
|
|
