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| Aufgabe | Der Hersteller von Überraschungseiern wirbt damit, dass sich in jedem 7. Überraschungsei eine Sammelfigur befindet. Lösen Sie die folgenden Aufgabenteile unter der Annahme, dass diese Behauptung zutrifft.
(i) Sie kaufen zufällig 10 Eier. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau (mindestens, höchstens) k Sammelfiguren dabei sind?
(ii) Ein Käufer möchte unbedingt eine Figur bekommen. Berechnen Sie, wie viele Überraschungseier er mindestens kaufen müsste, um mit 95%iger Sicherheit mindestens eine Sammelfigur zu erhalten. |
Hallo,
mein Ansatz zu (i) ist folgender:
[mm] \Omega [/mm] := [mm] \{(w_1, ..., w_{10}) : w_i \in \{0,1\}\} [/mm] Ergebnisraum, wobei 0 keine Sammelfigur und 1 Sammelfigur bedeutet. [mm] w_1 [/mm] ist das 1. Ei, [mm] w_2 [/mm] das 2. Ei usw.
[mm] Also:|\Omega| [/mm] = [mm] 2^{10}
[/mm]
Sei [mm] \mathcal{P}(\Omega) [/mm] der Ereignisraum. Dann folgt: P Laplace Verteilung.
Gesucht sind folgende Ereignisse:
[mm] A_k [/mm] := "genau k Sammelfiguren" = [mm] \{(w_1, ..., w_{10}) \in \Omega : |\{i : w_i = 1\}| = k\}
[/mm]
[mm] B_k [/mm] := "mind. k Sammelfiguren" = [mm] \{(w_1, ..., w_{10}) \in \Omega : |\{i : w_i = 1\}| \ge k\}
[/mm]
[mm] \Rightarrow C_k [/mm] := "höchstens k Sammelfiguren" = [mm] B^{C}_{k} \cup A_k [/mm] (man beachte, dass beide Mengen offensichtlich disjunkt sind)
Nun möchte ich noch berücksichtigen, dass jedes 7. Ei eine Sammelfigur enthält. Aber wie mache ich das?
Ich denke, dass ich dafür ein Ereignis D definieren muss, und letztendlich die Wahrscheinlichkeiten
[mm] P(A_k [/mm] | D), [mm] P(B_k [/mm] | D) und [mm] P(C_k [/mm] | D) berechnen muss.
Und wie berechne ich die Mächtigkeiten von [mm] A_k [/mm] und [mm] B_k?
[/mm]
Stimmt das überhaupt alles so, oder bin ich total auf dem Holzweg?
Wäre für jede Hilfe dankbar.
Grüsse
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> Der Hersteller von Überraschungseiern wirbt damit, dass
> sich in jedem 7. Überraschungsei eine Sammelfigur
> befindet. Lösen Sie die folgenden Aufgabenteile unter der
> Annahme, dass diese Behauptung zutrifft.
>
> (i) Sie kaufen zufällig 10 Eier. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass genau (mindestens, höchstens) k
> Sammelfiguren dabei sind?
>
> (ii) Ein Käufer möchte unbedingt eine Figur bekommen.
> Berechnen Sie, wie viele Überraschungseier er mindestens
> kaufen müsste, um mit 95%iger Sicherheit mindestens eine
> Sammelfigur zu erhalten.
> Hallo,
>
> mein Ansatz zu (i) ist folgender:
>
> [mm]\Omega[/mm] := [mm]\{(w_1, ..., w_{10}) : w_i \in \{0,1\}\}[/mm]
> Ergebnisraum, wobei 0 keine Sammelfigur und 1 Sammelfigur
> bedeutet. [mm]w_1[/mm] ist das 1. Ei, [mm]w_2[/mm] das 2. Ei usw.
>
> [mm]Also:|\Omega|[/mm] = [mm]2^{10}[/mm]
>
> Sei [mm]\mathcal{P}(\Omega)[/mm] der Ereignisraum. Dann folgt: P
> Laplace Verteilung. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich denke, dass das richtige Stichwort hier "Binomialverteilung"
wäre !
> Gesucht sind folgende Ereignisse:
>
> [mm]A_k[/mm] := "genau k Sammelfiguren" = [mm]\{(w_1, ..., w_{10}) \in \Omega : |\{i : w_i = 1\}| = k\}[/mm]
>
> [mm]B_k[/mm] := "mind. k Sammelfiguren" = [mm]\{(w_1, ..., w_{10}) \in \Omega : |\{i : w_i = 1\}| \ge k\}[/mm]
> Nun möchte ich noch berücksichtigen, dass jedes 7. Ei
> eine Sammelfigur enthält. Aber wie mache ich das?
Dies bedeutet einfach (unter der Annahme, dass die gesamte
Anzahl aller Eier sehr groß ist), dass man für jedes einzelne
Ei annehmen darf, dass [mm] P(\ddot{U}berraschung)=\frac{1}{7} [/mm] ist.
Zu Aufgabe (ii) : das geht am besten via Gegenwahrschein-
lichkeit. Betrachte also zuerst P(unter n Eiern befindet
sich kein Überraschungsei) .
LG , Al-Chw.
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