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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Mo 06.02.2006 | | Autor: | Kiska |
| Aufgabe | In einem Land sind 40 % aller Autos rot, 25 % grün, 35 % schwarz.
Es werden 10 vorüberfahrende Autos beobachtet, mit welcher Wahrscheinichkeit sind
1. höchstens 8 der Autos rot?
2. nur die ersten 3 vorüberfahrenden Autos rot?
3. die letzten beiden Autos rot?
4. 4 hintereinanderfahrende Autos rot, die anderen jedoch nicht?
5. nicht alle Autos rot?
6. die ersten und die letzten beiden Autos rot? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich hab leider überhaupt keinen Peil mehr!
Könnte mir jemand sagen, ob die Nr. 2, Nr. 3, Nr. 4 und Nr. 6 eigentlich genau das gleiche ist? Und ob das eine Rolle spielt, welche Reihenfolge?
Und würde mir jemand die Nr. 3 und Nr. 5 erklären?
Ich weiß mir nicht mehr zu helfen.
Ich danke im Vorraus!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Mo 06.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Katharina,
bezeichne mal R ein rotes Auto, N ein nicht-rotes Auto, und X ein Auto mit beliebiger Farbe - und fangen wir mal bei 2. an:
2. nur die ersten 3 vorüberfahrenden Autos rot?
Hier gibt es doch nur eine Möglichkeit, nämlich:
RRRNNNNNNN - wie groß ist die W. dafür?
3. die letzten beiden Autos rot?
Auch hier wieder nur eine Möglichkeit:
XXXXXXXXRR - wie groß ist die W. dafür?
4. 4 hintereinanderfahrende Autos rot, die anderen jedoch nicht?
Hier gibt es mehrere Möglichkeiten, dessen W. du addieren musst:
RRRRNNNNNN
NRRRRNNNNN
NNRRRRNNNN
NNNRRRRNNN
NNNNRRRRNN
NNNNNRRRRN
NNNNNNRRRR
Du wirst aber schnell feststellen, dass die W. für jede Möglichkeit die gleiche ist.
6. die ersten und die letzten beiden Autos rot?
Hier wieder nur eine Möglichkeit:
RRXXXXXXRR - wie groß ist die W. dafür?
bei 5. würde ich die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen, nämlich, dass alle Autos rot sind:
RRRRRRRRRR
Die eigentlich gesuchte Wahrscheinlichkeit ("nicht alle Autos sind rot") ist dann $1-p$, wenn $p$ die W. für "alle Autos sind rot" ist.
bei 1. wäre das Abzählen zu mühsam, da sollte man die Binomialverteilung benutzen, oder (falls ihr die noch nicht kennt) wenigstens kombinatorische Argumente (Anzahl der Möglichkeiten, drei rote Autos auf zehn Plätze zu verteilen, usw.) heranziehen.
Ich weiß jetzt aber nicht, was du davon schon kennst - deshalb versuch doch erstmal die Tipps zu den anderen Aufgaben nachzuvollziehen und schreib dann, ob du etwas damit anfangen konntest, und ob dir Binomialkoeffizienten, wie z.B. [mm] $\vektor{10 \\ 3}$, [/mm] geläufig sind.
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Di 07.02.2006 | | Autor: | Kiska |
Vielen Dank für die Hilfe.
Wenn ich die Aufgaben mit der Bernoulli-Kette löse, müsste ich alles in die Formel
[mm] \vektor{n \\ k}* p^{k}* (1-p)^{n-k}
[/mm]
setzen, oder?
So würde
Nr. 2 [mm] \vektor{10 \\ 3}* 0,4^{3}* (0,6)^{7} [/mm] = 0,21499
Nr. 3 [mm] \vektor{10 \\ 2}* 0,4^{2}* (0,6)^{8} [/mm] = 0,12093
Nr. 6 [mm] \vektor{10 \\ 4}* 0,4^{4}* (0,6)^{6} [/mm] = 0,25082
usw. sein, oder?
Könnte ich dann bei der Nr. 4 für einmal ausrechnen und das dann mit 7 multiplizieren? Wäre das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Di 07.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Katharina,
mit der Binomialverteilung, oder wie du sagst, "Bernoulli-Kette" (schöner Ausdruck!  ) kannst du Aufgabe 1 sehr gut lösen.
Du musst dir aber darüber im Klaren sein, dass der Binomialkoeffizient, also z.B. [mm] $\vektor{10 \\ 3}$, [/mm] die Anzahl der möglichen Anordnungen beschreibt!
Wie ich in meiner ersten Antwort geschrieben habe, gibt es z.B. bei Aufgabe 2 nur eine mögliche Anordnung: RRRNNNNNNN. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit ist [mm] $p=(0,4)^{3}\cdot(0,6)^7$.
[/mm]
Schau dir auch die anderen Tipps zu den Aufgaben noch einmal an. Beachte, dass ich bewusst zwischen N und X unterschieden habe!
Du merkst vielleicht schon an dem Stil dieser Antwort, dass ich etwas in Eile bin. Ich werde aber heute abend nochmal hier vorbeischauen, wenn es nötig ist, ok?
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Di 07.02.2006 | | Autor: | Kiska |
Hallo Yuma,
oh man, ich hasse Stochastik :(
Es wird immer verwirrender für mich.
Also wenn es nur eine Möglichkeit gibt, z. B. "die ersten 3 Autos rot", "die letzten beiden rot" oder "die ersten und die letzten beiden rot", so brauch ich den Binomialkoeffizienten nicht, sondern nur [mm] 0,4^{4}* 0,6^{6} [/mm] (nur als Beispiel).
Wenn ich aber genau 4 rote haben will, brauch ich den Binomialkoeffizienten schon. Aber wie rechne ich dann höchstens und mindestens aus?
z. B. Nr. 1
Da muss ich die einzelnen W. addieren, das is ja ne heiden Arbeit. Gibt es da nichts einfacheres?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Di 07.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Katharina,
keine Angst, ich bin sicher, dass wir das hinkriegen werden...
Fangen wir mal mit einer Frage an, die gar nicht gestellt wurde: 
Wir groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei von den zehn Autos rot sind?
An diese Frage könnte man ja herangehen, indem man sich alle Möglichkeiten aufschreibt:
Die ersten drei könnten rot sein:
RRRNNNNNNN.
Es könnte aber auch das erste, dritte und letzte Auto rot sein:
RNRNNNNNNR.
Es könnte aber auch ... du merkst schon, dass es selbst bei einer so simplen Frage nicht mehr so leicht möglich ist, alle Möglichkeiten aufzuzählen!
Fakt ist aber, dass jede dieser Möglichkeiten (von denen ich jetzt nur zwei aufgezählt habe), jeweils die Wahrscheinlichkeit [mm] $p=(0,4)^{3}\cdot(0,6)^{7}$ [/mm] hat. Siehst du das bis hierhin ein?
Das Problem wäre also gelöst, wenn man wüsste, wie viele Möglichkeiten es gibt, drei rote Autos in einer Schlange von zehn Autos anzuordnen. Und zwar sind das genau [mm] $\vektor{10 \\ 3}$ [/mm] Möglichkeiten!
Also ist die Antwort auf obige Frage: Die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei der zehn Autos rot sind, beträgt [mm] $\vektor{10 \\ 3}\cdot(0,4)^{3}\cdot(0,6)^{7}$.
[/mm]
Das ist genau das, was du als "Bernoulli-Kette" kennst. Du möchtest die Wahrscheinlichkeit für drei Erfolge ("rotes Auto") bei zehn Versuchen ("zehn Autos") wissen. Wir haben genau diese Formel benutzt: [mm] $\vektor{n \\ k}\cdot p^{k}\cdot(1-p)^{n-k}$
[/mm]
Soweit so gut! Bei der zweiten Aufgabe ist aber etwas anderes gefragt: Die ersten drei Autos sollen rot sein, die übrigen nicht! Hier gibt es nur eine Möglichkeit (hier kann man nicht anders anordnen!):
RRRNNNNNNN
Und die Wahrscheinlichkeit dafür rechnet man einfach mit der Produktregel aus: Die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Auto rot ist, mal die W., dass das zweite rot ist, mal die W., dass das dritte rot ist, mal die W., dass das vierte Auto NICHT rot ist, usw. Man kommt dann wieder auf [mm] $p=(0,4)^{3}\cdot(0,6)^{7}$ [/mm] (aber eben nur EINMAL und nicht [mm] $\vektor{10 \\ 3}$-mal).
[/mm]
Du hattest das auch schon einmal gefragt, ich habe bloß immer vergessen darauf einzugehen: Die W., dass die ersten drei Autos rot sind, ist natürlich genauso groß wie die W., dass die letzten drei oder das erste, zweite und achte rot ist.
Der Unterschied zu meiner Eingangsfrage ("genau drei Autos rot") ist, dass dort nicht vorgeschrieben wird, an welcher Position die drei roten Autos sein sollen. Deshalb gibt es hier soviele Möglichkeiten. Wenn ich aber verlange, dass die ersten drei rot sind, dann gibt es -wie gesagt- nur eine Möglichkeit.
Ich hoffe, jetzt wird es dir etwas klarer, was es mit diesen Binomialkoeffizienten auf sich hat!
MFG,
Yuma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Di 07.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Katharina,
> Also wenn es nur eine Möglichkeit gibt, z. B. "die ersten 3
> Autos rot", "die letzten beiden rot" oder "die ersten und
> die letzten beiden rot", so brauch ich den
> Binomialkoeffizienten nicht, sondern nur [mm]0,4^{4}* 0,6^{6}[/mm]
> (nur als Beispiel).
Richtig!
Das einzige, auf das du jetzt noch achten musst, ist die genaue Aufgabenstellung, d.h. ob es heißt "nur(!) die ersten drei Autos rot" oder "die ersten drei Autos rot". Ahnst du den Unterschied?
> Wenn ich aber genau 4 rote haben will, brauch ich den
> Binomialkoeffizienten schon.
Auch richtig! Weil die Anordnung der 4 Autos unter den 10 dann keine Rolle spielt (vergleiche auch meine allgemeine Erklärung!).
> Aber wie rechne ich dann
> höchstens und mindestens aus?
> z. B. Nr. 1
> Da muss ich die einzelnen W. addieren, das is ja ne heiden
> Arbeit. Gibt es da nichts einfacheres?
Es ist nicht sooo viel Arbeit...
Statt "es gibt höchstens 8 rote Autos" können wir ja auch die W. für das Gegenereignis "es gibt mindestens 8 rote Autos" berechnen und anschließend $1-p$ bilden!
Wie berechnet man die W. für "es gibt mindestens 8 rote Autos"? Das ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten für genau 8, genau 9 und genau 10 rote Autos, also nur drei Summanden - das sollte machbar sein!
Wenn du Lust hast, kannst du gerne mal posten, was du nun für die einzelnen Aufgaben raus hast. Ich könnte heute Abend nochmal drüberschauen...
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Kiska |
Hallo Yuma,
also hängt mal wieder alles nur davon ab, die Aufgabe genau zu lesen :)
Nr. 2 ("nur die ersten 3...") = [mm] 0,4^{3}* 0,6^{7} [/mm] = 0,179
Nr. 3 ("die beiden letzten...") = [mm] 0,4^{2}* 0,6^{8} [/mm] = 0,2687
Nr. 6 ("die ersten und die letzten beiden...") = [mm] 0,4^{4}* 0,6^{6} [/mm] = 0,119
Nr. 1 ("höchstens 8...") = 1 - ( [mm] \vektor{10\\ 10}* 0,4^{10}* 0,6^{0} [/mm] + [mm] \vektor{10\\ 9}* 0,4^{9}* 0,6^{1} [/mm] + [mm] \vektor{10\\ 8}* 0,4^{8}* 0,6^{2} [/mm] ) = 1 - 0,01229 = 0,9877
Nr. 5 ("nicht alle...") = 1 - ("alle sind rot") = 1 - [mm] \vektor{10\\ 10}* 0,4^{10}* 0,6^{0} [/mm] = 0,99989
Nr. 4 ("sind 4 hintereinander fahrende rot, die anderen jedoch nicht")
da würde ja dann auch [mm] \vektor{10\\ 4}* 0,4^{4}* 0,6^{4} [/mm] in Frage kommen oder? Es gibt ja mehr Möglichkeiten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Katharina,
> also hängt mal wieder alles nur davon ab, die Aufgabe genau
> zu lesen :)
Das stimmt!
> Nr. 2 ("nur die ersten 3...") = [mm]0,4^{3}* 0,6^{7}[/mm] = 0,179
Die Formel stimmt - der Zahlwert ist bereits in Prozent, richtig?
> Nr. 3 ("die beiden letzten...") = [mm]0,4^{2}* 0,6^{8}[/mm]
Das stimmt nicht! Es heißt ja nicht "nur die beiden letzten", d.h. es dürfen auch alle Autos rot sein! Der Faktor [mm] $0,6^{8}$ [/mm] fällt also weg!
> Nr. 6 ("die ersten und die letzten beiden...") = [mm]0,4^{4}*0,6^{6}[/mm]
Hier gilt das gleiche wie bei 3. Es "dürfen" auch alle rot sein! Der Faktor [mm] $0,6^{6}$ [/mm] fällt wiederum weg!
> Nr. 1 ("höchstens 8...") = 1 - ( [mm]\vektor{10\\ 10}* 0,4^{10}* 0,6^{0}[/mm]
> + [mm]\vektor{10\\ 9}* 0,4^{9}* 0,6^{1}[/mm] + [mm]\vektor{10\\ 8}* 0,4^{8}* 0,6^{2}[/mm]
Die Formel stimmt - ich erhalte allerdings 98,77%...
> Nr. 5 ("nicht alle...") = 1 - ("alle sind rot") = 1 -
> [mm]\vektor{10\\ 10}* 0,4^{10}* 0,6^{0}[/mm] = 0,99989
Auch richtig - hier ist der Zahlwert aber absolut, d.h. nicht in Prozent, oder?
> Nr. 4 ("sind 4 hintereinander fahrende rot, die anderen
> jedoch nicht")
> da würde ja dann auch [mm]\vektor{10\\ 4}* 0,4^{4}* 0,6^{4}[/mm]
> in Frage kommen oder? Es gibt ja mehr Möglichkeiten.
Es gibt in der Tat mehrere Möglichkeiten, aber es sind nicht [mm] $\vektor{10\\ 4}$ [/mm] Möglichkeiten! Dann wäre die Anordnung der vier roten Autos nämlich beliebig - sie sollen aber hintereinander fahren! Du solltest hier daher die Möglichkeiten der Anordnung selbst zählen (das hatte ich als Antwort auf deine erste Frage geschrieben, schau dort nochmal nach!).
MFG,
Yuma
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