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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Fr 04.02.2011 | | Autor: | wolle238 |
| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
Bei den Schaltungen a) und b) fallen die Elemente [mm] $E_i, [/mm] i = [mm] 1,\ldots,4$, [/mm] unabhängig voneinander mit der Wahrscheinlichkeit $0 < p < 1$ aus. Bestimmen Sie für beide Schaltungen die Wahrscheinlichkeiten, dass sie ausfallen. |
Hey ihr!
Bei der Aufgabe weiß ich so gar nicht, was gemeint und gesucht ist.
Ich habe mir das bisher so gedacht, dass für beide gilt:
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{E_1, E_2, E_3, E_4\}^2$ [/mm] und dann gilt:
[mm] $\mathbb{P}_{a)}(\{E_1, E_2\}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm]
[mm] $\mathbb{P}_{a)}(\{E_3, E_4\}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
weil das die einzigen Tupel sind, wo die Schaltung gültig ist.
Und für $B = [mm] \mathcal{P}(\Omega) \backslash \{\{E_1, E_2\}, \{E_3,E_4\} \}$ [/mm] gilt [mm] $P(\{b\}) [/mm] = 0$ für alle $b [mm] \in [/mm] B$.
und:
[mm] $\mathbb{P}_{b)}(\{E_1, E_2\}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}$
[/mm]
[mm] $\mathbb{P}_{b)}(\{E_1, E_4\}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}$ [/mm]
[mm] $\mathbb{P}_{b)}(\{E_2, E_3\}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}$
[/mm]
[mm] $\mathbb{P}_{b)}(\{E_3, E_4\}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}$
[/mm]
und halt für alle anderen Paarungen gilt hat [mm] $P(\{ \omega \}) [/mm] = 0$.
Das kann doch nicht die Lösung sein, oder??
Ich bin dankbar für eure Hilfe.
Gruß, Julia
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi Julia,
> Bei den Schaltungen a) und b) fallen die Elemente [mm]E_i, i = 1,\ldots,4[/mm],
> unabhängig voneinander mit der Wahrscheinlichkeit [mm]0 < p < 1[/mm]
> aus. Bestimmen Sie für beide Schaltungen die
> Wahrscheinlichkeiten, dass sie ausfallen.
>
> Hey ihr!
>
> Bei der Aufgabe weiß ich so gar nicht, was gemeint und
> gesucht ist.
Na, wenn ich mir die erste Schaltung so ankucke, funktioniert sie, wenn [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] funktionieren oder wenn [mm] E_3 [/mm] und [mm] E_4 [/mm] funktionieren.
> Ich habe mir das bisher so gedacht, dass für beide gilt:
> [mm]\Omega = \{E_1, E_2, E_3, E_4\}^2[/mm] und dann gilt:
Du solltest dazuschreiben, was das Elementarereignis [mm] E_1 [/mm] usw, heissen soll. Ich kanns mir zwar denken, aber wer rät schon gern 
Und dein Omega ist glaube ich nicht richtig definiert. Du meinst denke ich, dass richtige, aber wenn man das Ereignis [mm] E_i:" [/mm] Schaltelement [mm] E_i [/mm] funktioniert" definiert, ist [mm] \Omega_i=\{E_i;\overline{E_i}\} [/mm] i=1,..,4 und [mm] \Omega=\Omega_1\times\ldots\times\Omega_4=\{(\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4)|\omega_i\in\Omega_i, i=1\ldots,4\}
[/mm]
> [mm]\mathbb{P}_{a)}(\{E_1, E_2\}) = \bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]\mathbb{P}_{a)}(\{E_3, E_4\}) = \bruch{1}{2}[/mm]
> weil das die
> einzigen Tupel sind, wo die Schaltung gültig ist.
Ja, aber die W'keiten stimmen nicht. Die W'keit mit der eine der Schaltstellen ausfällt ist ja nur mit 0<p<1 angegeben, daher solltest du keine konkrete Zahl rauskriegen, sondern was in Abhängigkeit von p.
> Und für [mm]B = \mathcal{P}(\Omega) \backslash \{\{E_1, E_2\}, \{E_3,E_4\} \}[/mm]
> gilt [mm]P(\{b\}) = 0[/mm] für alle [mm]b \in B[/mm].
>
> und:
> [mm]\mathbb{P}_{b)}(\{E_1, E_2\}) = \bruch{1}{4}[/mm]
>
> [mm]\mathbb{P}_{b)}(\{E_1, E_4\}) = \bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]\mathbb{P}_{b)}(\{E_2, E_3\}) = \bruch{1}{4}[/mm]
>
> [mm]\mathbb{P}_{b)}(\{E_3, E_4\}) = \bruch{1}{4}[/mm]
>
> und halt für alle anderen Paarungen gilt hat [mm]P(\{ \omega \}) = 0[/mm].
>
> Das kann doch nicht die Lösung sein, oder??
Da hast du recht. Das stimmt so nicht.
>
> Ich bin dankbar für eure Hilfe.
>
> Gruß, Julia
>
> Falls ihr das Bild nicht öffnen könnt:
> Die Schaltungen sehen in etwa so aus:
>
> [mm]
\begin{matrix}
a) & & E_1 & --- & E_2 & & \\
& / & & & & \backslash & \\
---> & & & & & & ----> \\
& \backslash & & & & / & \\
& & E_3 & --- & E_4 & &
\end{matrix}
[/mm]
>
> [mm]
\begin{matrix}
b) & & E_1 & - & --- & - & E_2 & & \\
& / & & \backslash & & & &\backslash & \\
---> & & & & \backslash & & & & ----> \\
& \backslash & & & & \backslash & & / & \\
& & E_3 & - & --- & - & E_4 & &
\end{matrix}
[/mm]
Also, es führen mehrere Wege ans Ziel. ZB wenn F:"Schaltung a) fällt aus ist",dann gilt [mm] P(F)=1-P(\overline{F}) [/mm] und [mm] P(\overline{F})=P((E_1\cap E_2)\cup (E_3\cap E_4))
[/mm]
Das kann man noch weiter vereinfachen, bis man die W'keiten einsetzt.
Konnte ich dir helfen?Wenn du nicht weiterkommst, frag nochmal.
LG walde
EDIT: Ich weiss nicht, wie mathemathisch du es gerne hast, aber da du [mm] \Omega [/mm] ins Spiel gebracht hast, zur Verdeutlichung: Das W'keitsmaß P auf [mm] \Omega [/mm] ist dann das Produktmaß der Maße [mm] P_i, [/mm] die auf den [mm] \Omega_i. [/mm] mit [mm] P_1(E_1)=P_2(E_2)=P_3(E_3)=P_4(E_4)=1-p [/mm] definiert sind.
Und zB. [mm] P(E_1) [/mm] soll bedeuten
[mm] P(E_1)=P((E_1,\Omega_2,\Omega_3,\Omega_4)=P_1(E_1)*1*1*1=1-p
[/mm]
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Ich hab mich jetzt ein paar Tage damit beschäftigt, aber komme damit irgendwie nicht klar...
Ich hab mein [mm] $\Omega$ [/mm] nochmal überarbeitet:
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{ \omega = (\omega_1, \omega_2) | \omega_1 \neq \omega_2, \omega_1,\omega_2 \in \{E_1, E_2, E_3, E_4\} \}$
[/mm]
[mm] $|\Omega| [/mm] = 4 [mm] \cdot [/mm] 3 = 12$
und [mm] $\mathbb{P}(\{\omega\}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{12}$ $\forall \omega \in \Omega$.
[/mm]
Sei $F$ die Menge, dass die Schaltung funktioniert. Bei a) wären das ja die Kombinationen [mm] $(E_1, E_2)$ [/mm] und [mm] $(E_3,E_4)$ [/mm] und bei b) [mm] $(E_1, E_2)$, $(E_3, E_4)$, $(E_1, E_4)$ [/mm] und [mm] $(E_3, E_2)$.
[/mm]
Also [mm] $\mathbb{P}_{a)} [/mm] (F) = [mm] \bruch{2}{12} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}$
[/mm]
und [mm] $\mathbb{P}_{b)} [/mm] (F) = [mm] \bruch{4}{12} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}$.
[/mm]
Aber das wäre auch wieder zu einfach... :( Was denkt ihr??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:39 Mi 09.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi,
> Ich hab mich jetzt ein paar Tage damit beschäftigt, aber
> komme damit irgendwie nicht klar...
> Ich hab mein [mm]\Omega[/mm] nochmal überarbeitet:
>
> [mm]\Omega = \{ \omega = (\omega_1, \omega_2) | \omega_1 \neq \omega_2, \omega_1,\omega_2 \in \{E_1, E_2, E_3, E_4\} \}[/mm]
Ich muss nochmal die Rückfrage stellen, was das Ereignis [mm] E_1 [/mm] bedeuten soll. Falls es, wie ich annehme [mm] E_1: [/mm] "Schaltelement 1 funktioniert heisst", macht dein [mm] \Omega, [/mm] was ja der Raum der Elementarereignisse sein soll nehme ich an (wenn nicht, bitte ich um Aufklärung), für mich keinen Sinn. Dass [mm] E_1 [/mm] nicht funktioniert scheint bei dir nicht vorzukommen. Sollte es aber, denn die W'keit dafür beträgt laut Aufgabenstellung p.
>
> [mm]|\Omega| = 4 \cdot 3 = 12[/mm]
> und [mm]\mathbb{P}(\{\omega\}) = \bruch{1}{12}[/mm]
> [mm]\forall \omega \in \Omega[/mm].
>
> Sei [mm]F[/mm] die Menge, dass die Schaltung funktioniert. Bei a)
> wären das ja die Kombinationen [mm](E_1, E_2)[/mm] und [mm](E_3,E_4)[/mm]
> und bei b) [mm](E_1, E_2)[/mm], [mm](E_3, E_4)[/mm], [mm](E_1, E_4)[/mm] und [mm](E_3, E_2)[/mm].
>
> Also [mm]\mathbb{P}_{a)} (F) = \bruch{2}{12} = \bruch{1}{6}[/mm]
>
> und [mm]\mathbb{P}_{b)} (F) = \bruch{4}{12} = \bruch{1}{3}[/mm].
>
> Aber das wäre auch wieder zu einfach... :( Was denkt ihr??
Das kann meiner Meinung nach nicht stimmen.
Als Ergänzung meiner Post oben (weiss nicht, ob du sie gelesen/verstanden hast): Jedes der Schaltelemente hat unahbhängig von den anderen zwei mögliche Zustände: funktioniert (hab ich mit [mm] E_i [/mm] bezeichnet, für Element i) oder kaputt (hab ich mit [mm] \overline{E_i} [/mm] bezeichnet, für Element i). Das heisst, so wie ich [mm] \Omega [/mm] definiert habe, (siehe oben) [mm] |\Omega|=2^4=16 [/mm] Zustände. Diese sind NICHT alle gleichwahrscheinlich, da nicht notwendigerweise p=0,5 gilt. Dh. "Günstige durch Mögliche" ist hier NICHT anwendbar. Trotzdem ist es natürlich sinnvoll, diejenigen Elementareregnisse zu suchen, die zum gewünschten Ereignis (Schaltung funktioniert) gehören. ZB [mm] (E_1,E_2,E_3,E_4) [/mm] usw. Dann jeweils die W'keit ausrechnen und zusammenaddieren.
Es mag hier noch andere sinnvolle Definitionen für [mm] \Omega [/mm] geben, aber in einem Ergebnisraum müssen alle möglichen vorkommenden Ergebnisse auch drin sein. Wenn man welche weglässt kommt Schmuh raus.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:51 Mi 09.02.2011 | | Autor: | wolle238 |
So wie das in der Aufgabe steht, müssten die [mm] $E_i$ [/mm] ELEMENTE sein. Für mich bedeutet dass, dass das die einzelnen Punkte an der Schaltung sind...
Also verbinde ich [mm] $E_i$ [/mm] nicht mit Ereignissen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:14 Mi 09.02.2011 | | Autor: | Walde |
Ist ja auch nur eine Möglichkeit das Ereignis "Schaltelemt [mm] E_i [/mm] funktioniert" zu benennen.
Du kannst auch [mm] F_1: [/mm] "Schaltelemet [mm] E_1 [/mm] funktioniert " sagen. Ersetze in diesem Fall in allen meinen Aussagen oben [mm] E_i [/mm] durch [mm] F_i. [/mm] (Ändert natürlich nichts am Inhalt.)
Was wichtig ist, ist, dass es ein Zufallsexperiment darstellt, ob ein Element funktioniert oder nicht. Und sowas wird mit einem ![[]](/images/popup.gif) Wahrscheinlichkeitsaum modelliert. Das wäre (so wie ich es gewählt habe) [mm] \Omega [/mm] als Grundraum, die Potenzmenge von [mm] \Omega [/mm] als Sigmaalgebra (Menge der Ereignisse) und einem Wahrscheinlichkeitmaß P (hab ich in meinem ersten Post schon erwähnt.)
Aber ich habe die Frage extra nicht auf "beantwortet" gestellt, damit sich das noch andere ankucken können.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 So 13.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Fr 11.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi Julia,
da dir bis lang noch kein Anderer geantwortet hat, wollte ich mich nochmal melden. Man kann die Aufgabe auch ohne eine so formale Vorgehensweise über [mm] \Omega [/mm] usw lösen. Ich hatte das nur vorgeschlagen, weil du selbst damit angefangen hattest. Hier eine Schritt für Schritt Anleitung dazu (es gibt wie gesagt mehrere Lösungswege):
1)Wir waren uns ja einig, dass die Schaltung funktioniert, wenn Element 1 und 2, oder 3 und 4 funktionieren.
2)Mit welcher W'keit funktioniert dann:
a)Element 1,
b)Element 2,
c)Element 3,
d)Element 4 ?
Hinweis: Alle diese W'keiten sind gleich.
3) Mit welcher W'keit funktionieren
a)1 und 2 gleichzeitig,
b)3 und 4 gleichzeitig?
Hinweis:Hierfür solltest du die Formel [mm] $P(A\cap [/mm] B)=P(A)*P(B)$ für unabhängige Ereignisse A und B kennen.
4) Mit welcher W'keit funktionieren jetzt (1 und 2) oder (3 und 4)?
Hinweis:Hierfür brauchst du die Formel [mm] $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap [/mm] B)$.
5) Jetzt hast du die W'keit, dass die Schaltung funktioniert, gesucht ist aber das Gegenereignis.
Hinweis: Es gilt [mm] P(A)+P(\overline{A})=1 [/mm] für ein Ereigngis A und sein Gegenereignis [mm] \overline{A}.
[/mm]
Eine weitere Alternative ist ein Baumdiagramm anzufertigen, alle Pfade auszuwählen, die zum Funktionieren (dann wieder mit Gegenereignis) oder zum Ausfallen der Schaltung führen und dann mit erster und zweiter Pfadregel zu rechnen.
Viel Erfolg.
PS:Als Lösung für die erste Schaltung erhalte ich [mm] $1-2(1-p)^2+(1-p)^4$.
[/mm]
Edit: Rechtschreibung
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