Wahrscheinlichkeitsaxiome < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Mo 15.12.2014 | | Autor: | needmath |
| Aufgabe | ich habe eine frage zu folgendem Axiom
Seien [mm] A_1, A_2, A_3,... \in \Sigma [/mm] sich gegenseitig ausschließende Ereignisse,
d.h. [mm] A_i\cap A_j= [/mm] {} (soll leere menge heißen. ich finde das symbol hier nicht)
Dann ist
[mm] P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\summe_{i=1}^{\infty}P(A_i)
[/mm]
M.a.W.: bei disjunkten Ereignissen addieren sich die Wahrscheinlichkeiten |
was genau bedeutet [mm] A_i\cap A_j [/mm] ?
ich habe mal ein bild gemalt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] A_i\cap A_j [/mm] ist der rotmarkierte bereich oder?.
wenn es diesen rotmarkierten bereich nicht gibt, dann gilt was? ich verstehe den axiom nicht ganz
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Mo 15.12.2014 | | Autor: | needmath |
kann mir jemand diese rechenregel anhand eines beispiels erklären?
[mm] \not{0} [/mm] = leere Menge
[mm] P(\not{0})=0 [/mm] das unmögliche Ergebnis hat die W. Null
Das gilt nicht umgekehrt: P(A)=0 [mm] \not{\Rightarrow} A=\not{0}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Mo 15.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo needmath!
> kann mir jemand diese rechenregel anhand eines beispiels erklären?
Beispiel? Du meinst Hausaufgabe. 
> [mm]\not{0}[/mm] = leere Menge
>
>
> [mm]P(\not{0})=0[/mm] das unmögliche Ergebnis hat die W. Null
> Das gilt nicht umgekehrt: P(A)=0 [mm]\not{\Rightarrow} A=\not{0}[/mm]
Gegenbeispiel!
Tipp: Modelliere einen "Münzwurf" mit [mm] P(\{\text{Kopf}\})=1 [/mm] und [mm] P(\{\text{Zahl}\})=0.
[/mm]
Was ist [mm] \Omega? [/mm] Was ist [mm] \Sigma? [/mm] Wieso ist [mm] \{\text{Zahl}\}\not=\emptyset?
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Mo 15.12.2014 | | Autor: | needmath |
Hallo DieAcht
> Beispiel? Du meinst Hausaufgabe.
Nö, wirklich keine Hausaufgabe, aber kann ich ja nicht beweisen.
>
> Gegenbeispiel!
>
> Tipp: Modelliere einen "Münzwurf" mit [mm]P(\{\text{Kopf}\})=1[/mm]
> und [mm]P(\{\text{Zahl}\})=0.[/mm]
> Was ist [mm]\Omega?[/mm] Was ist [mm]\Sigma?[/mm] Wieso ist
> [mm]\{\text{Zahl}\}\not=\emptyset?[/mm]
>
[mm] \Omega [/mm] ist die Ergebnismenge. die wäre beim Münzwurf Kopf und Zahl
[mm] \Omega=(K, [/mm] Z)
[mm] \Sigma [/mm] sind die Elemente aus [mm] \Omega. [/mm]
[mm] \Sigma=((k),(Z))
[/mm]
> Tipp: Modelliere einen "Münzwurf" mit [mm]P(\{\text{Kopf}\})=1[/mm]
ich verstehe diese schreibweise nicht. heißt das die Wahrscheinlichkeit, das Kopf zutrifft ist 100%?
das kann ja nicht nicht sein. die Wahrscheinlichkeit wäre 50%.
was genau meinst du mit [mm]P(\{\text{Kopf}\})=1[/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Di 16.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
> > Gegenbeispiel!
> >
> > Tipp: Modelliere einen "Münzwurf" mit [mm]P(\{\text{Kopf}\})=1[/mm]
> > und [mm]P(\{\text{Zahl}\})=0.[/mm]
> > Was ist [mm]\Omega?[/mm] Was ist [mm]\Sigma?[/mm] Wieso ist
> > [mm]\{\text{Zahl}\}\not=\emptyset?[/mm]
> >
>
>
> [mm]\Omega[/mm] ist die Ergebnismenge. die wäre beim Münzwurf Kopf
> und Zahl
>
> [mm]\Omega=(K,[/mm] Z)
[mm] \Omega [/mm] ist eine Menge! Mit [mm] K:=\{\text{Kopf}\} [/mm] und [mm] Z:=\{\text{Zahl}\} [/mm] setzen wir [mm] \Omega:=\{K,Z\}.
[/mm]
> [mm]\Sigma[/mm] sind die Elemente aus [mm]\Omega.[/mm]
>
> [mm]\Sigma=((k),(Z))[/mm]
[mm] \Sigma [/mm] muss eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] über [mm] \Omega [/mm] sein! Ist das der Fall?
(Hier muss [mm] \Sigma [/mm] ein Mengensystem sein!)
Kurz zur Setzung von Klammern: Aus \{a+b\} wird [mm] \{a+b\}.
[/mm]
> > Tipp: Modelliere einen "Münzwurf" mit [mm]P(\{\text{Kopf}\})=1[/mm]
>
> ich verstehe diese schreibweise nicht. heißt das die
> Wahrscheinlichkeit, das Kopf zutrifft ist 100%?
Ja.
> das kann ja nicht nicht sein. die Wahrscheinlichkeit wäre 50%.
Das ist der Fall bei einer fairen Münze. Darum geht es nicht.
Wir wollen ein mathematisch korrektes Modell basteln, welches
zu einem Widerspruch der Aussage
[mm] $P(A)=0\quad\Rightarrow\quad A=\emptyset$
[/mm]
führt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Mo 15.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo needmath!
> ich habe eine frage zu folgendem Axiom
> Seien [mm]A_1, A_2, A_3,... \in \Sigma[/mm] sich gegenseitig
> ausschließende Ereignisse,
> d.h. [mm]A_i\cap A_j=[/mm] {} (soll leere menge heißen. ich finde
> das symbol hier nicht)
Steht das wirklich so in deinem Skript? Es fehlt einiges.
Sei [mm] (\Omega,\Sigma,P) [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum.
(Wie habt ihr einen Wahrscheinlichkeitsraum definiert? Ich gehe
hier von einem Wahrscheinlichkeitsraum aus, da ihr $P$ schreibt.)
Dann gilt:
1) [mm] P(\emptyset)=0
[/mm]
(Das hattet ihr bestimmt auch!)
2) Für alle Folgen [mm] (A_n)_{n\in\IN} [/mm] paarweise disjunkter Mengen [mm] A_n\in\Sigma [/mm] gilt:
> [mm]P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\summe_{i=1}^{\infty}P(A_i)[/mm]. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] ($P\$ [/mm] Wahrscheinlichkeitsmaß, also [mm] P(\Omega)=1.)
[/mm]
Zu deinem Problem mit der Darstellung der leeren Menge: Die
leere Menge steht in unserem Editor. Zum Beispiel wird aus
\emptyset nichts anderes als [mm] \emptyset. [/mm] Außerdem ist [mm] \{\} [/mm] auch die leere
Menge. Diese Darstellung wird in der Regel in der Schulmathe-
matik benutzt. Ich finde sie jedoch nicht schön. Kannst du dir
den Grund erklären?
Jetzt noch ein wichtiger Hinweis bezüglich eurer Definition:
[mm] $A_i\cap A_j=\emptyset$ [/mm] heißt, dass die Mengen paarweise disjunkt sind und
zwar für alle [mm] i,j\in\IN [/mm] mit [mm] i\not=j. [/mm] Das Ende ist sehr wichtig, denn
für $i=j=:z$ gilt [mm] A_z\cap A_z=A_z\not=\emptyset [/mm] für alle [mm] $A_z\not=\emptyset$.
[/mm]
> M.a.W.: bei disjunkten Ereignissen addieren sich die Wahrscheinlichkeiten
Richtig.
> was genau bedeutet [mm]A_i\cap A_j[/mm] ?
Zwei Mengen [mm] $A\$ [/mm] und [mm] $B\$ [/mm] heißen paarweise disjunkt, falls gilt:
[mm] $A\cap B=\emptyset$.
[/mm]
Eine Familie [mm] (A_i)_{i\in I} [/mm] von Mengen heißt disjunkte Menge, falls ihre
Elemente paarweise disjunkt sind, also falls gilt:
[mm] A_i\cap A_j=\emptyset [/mm] für alle [mm] $i,j\in [/mm] I$ mit [mm] $i\not=j$.
[/mm]
> ich habe mal ein bild gemalt:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Super.
> [mm]A_i\cap A_j[/mm] ist der rotmarkierte bereich oder?.
Richtig.
> wenn es diesen rotmarkierten bereich nicht gibt, dann gilt was?
Anderes Beispiel: Seien [mm] $A\$ [/mm] und [mm] $B\$ [/mm] disjunkte Mengen aus [mm] \Sigma, [/mm] also
[mm] $A\cap B=\emptyset$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $P(A\cup [/mm] B)=P(A)+P(B)$.
(Siehe zweites Axiom oben und zeichne erneut ein Bild mit [mm] $A\cap B=\emptyset$.
[/mm]
Wie können wir [mm] $P(A\cup [/mm] B)$ aufschreiben, wenn [mm] $A\cap B\not=\emptyset$ [/mm] ist?)
Hilft das?
Gruß
DieAcht
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