www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Wahrscheinlichkeitsaxiome
Wahrscheinlichkeitsaxiome < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Wahrscheinlichkeitsaxiome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:33 Mo 15.12.2014
Autor: needmath

Aufgabe
ich habe eine frage zu folgendem Axiom

Seien [mm] A_1, A_2, A_3,... \in \Sigma [/mm] sich gegenseitig ausschließende Ereignisse,
d.h. [mm] A_i\cap A_j= [/mm] {} (soll leere menge heißen. ich finde das symbol hier nicht)

Dann ist

[mm] P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\summe_{i=1}^{\infty}P(A_i) [/mm]

M.a.W.: bei disjunkten Ereignissen addieren sich die Wahrscheinlichkeiten

was genau bedeutet [mm] A_i\cap A_j [/mm] ?

ich habe mal ein bild gemalt:

[Dateianhang nicht öffentlich]

[mm] A_i\cap A_j [/mm]  ist der rotmarkierte bereich oder?.

wenn es diesen rotmarkierten bereich nicht gibt, dann gilt was? ich verstehe den axiom nicht ganz

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsaxiome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Mo 15.12.2014
Autor: needmath

kann mir jemand diese rechenregel anhand eines beispiels erklären?

[mm] \not{0} [/mm] = leere Menge


[mm] P(\not{0})=0 [/mm] das unmögliche Ergebnis hat die W. Null
Das gilt nicht umgekehrt: P(A)=0 [mm] \not{\Rightarrow} A=\not{0} [/mm]



Bezug
                
Bezug
Wahrscheinlichkeitsaxiome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:51 Mo 15.12.2014
Autor: DieAcht

Hallo needmath!


> kann mir jemand diese rechenregel anhand eines beispiels erklären?

Beispiel? Du meinst Hausaufgabe. ;-)

> [mm]\not{0}[/mm] = leere Menge
>  
>
> [mm]P(\not{0})=0[/mm] das unmögliche Ergebnis hat die W. Null
> Das gilt nicht umgekehrt: P(A)=0 [mm]\not{\Rightarrow} A=\not{0}[/mm]

Gegenbeispiel!

Tipp: Modelliere einen "Münzwurf" mit [mm] P(\{\text{Kopf}\})=1 [/mm] und [mm] P(\{\text{Zahl}\})=0. [/mm]
Was ist [mm] \Omega? [/mm] Was ist [mm] \Sigma? [/mm] Wieso ist [mm] \{\text{Zahl}\}\not=\emptyset? [/mm]


Gruß
DieAcht

Bezug
                        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsaxiome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:57 Mo 15.12.2014
Autor: needmath

Hallo DieAcht


> Beispiel? Du meinst Hausaufgabe. ;-)

Nö, wirklich keine Hausaufgabe, aber kann ich ja nicht beweisen.


>  
> Gegenbeispiel!
>  
> Tipp: Modelliere einen "Münzwurf" mit [mm]P(\{\text{Kopf}\})=1[/mm]
> und [mm]P(\{\text{Zahl}\})=0.[/mm]
>  Was ist [mm]\Omega?[/mm] Was ist [mm]\Sigma?[/mm] Wieso ist
> [mm]\{\text{Zahl}\}\not=\emptyset?[/mm]
>  


[mm] \Omega [/mm] ist die Ergebnismenge. die wäre beim Münzwurf Kopf und Zahl

[mm] \Omega=(K, [/mm] Z)

[mm] \Sigma [/mm] sind die Elemente aus [mm] \Omega. [/mm]

[mm] \Sigma=((k),(Z)) [/mm]


> Tipp: Modelliere einen "Münzwurf" mit [mm]P(\{\text{Kopf}\})=1[/mm]

ich verstehe diese schreibweise nicht. heißt das die Wahrscheinlichkeit, das Kopf zutrifft ist 100%?
das kann ja nicht nicht sein. die Wahrscheinlichkeit wäre 50%.

was genau meinst du mit [mm]P(\{\text{Kopf}\})=1[/mm]  ?

Bezug
                                
Bezug
Wahrscheinlichkeitsaxiome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:13 Di 16.12.2014
Autor: DieAcht


> > Gegenbeispiel!
>  >  
> > Tipp: Modelliere einen "Münzwurf" mit [mm]P(\{\text{Kopf}\})=1[/mm]
> > und [mm]P(\{\text{Zahl}\})=0.[/mm]
>  >  Was ist [mm]\Omega?[/mm] Was ist [mm]\Sigma?[/mm] Wieso ist
> > [mm]\{\text{Zahl}\}\not=\emptyset?[/mm]
>  >  
>
>
> [mm]\Omega[/mm] ist die Ergebnismenge. die wäre beim Münzwurf Kopf
> und Zahl
>  
> [mm]\Omega=(K,[/mm] Z)

[mm] \Omega [/mm] ist eine Menge! Mit [mm] K:=\{\text{Kopf}\} [/mm] und [mm] Z:=\{\text{Zahl}\} [/mm] setzen wir [mm] \Omega:=\{K,Z\}. [/mm]

> [mm]\Sigma[/mm] sind die Elemente aus [mm]\Omega.[/mm]
>
> [mm]\Sigma=((k),(Z))[/mm]

[mm] \Sigma [/mm] muss eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] über [mm] \Omega [/mm] sein! Ist das der Fall?

(Hier muss [mm] \Sigma [/mm] ein Mengensystem sein!)

Kurz zur Setzung von Klammern: Aus \{a+b\} wird [mm] \{a+b\}. [/mm]

> > Tipp: Modelliere einen "Münzwurf" mit [mm]P(\{\text{Kopf}\})=1[/mm]
>
> ich verstehe diese schreibweise nicht. heißt das die
> Wahrscheinlichkeit, das Kopf zutrifft ist 100%?

Ja.

> das kann ja nicht nicht sein. die Wahrscheinlichkeit wäre 50%.

Das ist der Fall bei einer fairen Münze. Darum geht es nicht.
Wir wollen ein mathematisch korrektes Modell basteln, welches
zu einem Widerspruch der Aussage

      [mm] $P(A)=0\quad\Rightarrow\quad A=\emptyset$ [/mm]

führt.

Bezug
        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsaxiome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:20 Mo 15.12.2014
Autor: DieAcht

Hallo needmath!


> ich habe eine frage zu folgendem Axiom
> Seien [mm]A_1, A_2, A_3,... \in \Sigma[/mm] sich gegenseitig
> ausschließende Ereignisse,
> d.h. [mm]A_i\cap A_j=[/mm] {} (soll leere menge heißen. ich finde
> das symbol hier nicht)

Steht das wirklich so in deinem Skript? Es fehlt einiges.


Sei [mm] (\Omega,\Sigma,P) [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum.

(Wie habt ihr einen Wahrscheinlichkeitsraum definiert? Ich gehe
hier von einem Wahrscheinlichkeitsraum aus, da ihr $P$ schreibt.)

Dann gilt:

1) [mm] P(\emptyset)=0 [/mm]

(Das hattet ihr bestimmt auch!)

2) Für alle Folgen [mm] (A_n)_{n\in\IN} [/mm] paarweise disjunkter Mengen [mm] A_n\in\Sigma [/mm] gilt:

> [mm]P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\summe_{i=1}^{\infty}P(A_i)[/mm]. [ok]

[mm] ($P\$ [/mm] Wahrscheinlichkeitsmaß, also [mm] P(\Omega)=1.) [/mm]

Zu deinem Problem mit der Darstellung der leeren Menge: Die
leere Menge steht in unserem Editor. Zum Beispiel wird aus
\emptyset nichts anderes als [mm] \emptyset. [/mm] Außerdem ist [mm] \{\} [/mm] auch die leere
Menge. Diese Darstellung wird in der Regel in der Schulmathe-
matik benutzt. Ich finde sie jedoch nicht schön. Kannst du dir
den Grund erklären?

Jetzt noch ein wichtiger Hinweis bezüglich eurer Definition:
[mm] $A_i\cap A_j=\emptyset$ [/mm] heißt, dass die Mengen paarweise disjunkt sind und
zwar für alle [mm] i,j\in\IN [/mm] mit [mm] i\not=j. [/mm] Das Ende ist sehr wichtig, denn
für $i=j=:z$ gilt [mm] A_z\cap A_z=A_z\not=\emptyset [/mm] für alle [mm] $A_z\not=\emptyset$. [/mm]

> M.a.W.: bei disjunkten Ereignissen addieren sich die Wahrscheinlichkeiten

Richtig.

> was genau bedeutet [mm]A_i\cap A_j[/mm] ?

Zwei Mengen [mm] $A\$ [/mm] und [mm] $B\$ [/mm] heißen paarweise disjunkt, falls gilt:

      [mm] $A\cap B=\emptyset$. [/mm]

Eine Familie [mm] (A_i)_{i\in I} [/mm] von Mengen heißt disjunkte Menge, falls ihre
Elemente paarweise disjunkt sind, also falls gilt:

      [mm] A_i\cap A_j=\emptyset [/mm] für alle [mm] $i,j\in [/mm] I$ mit [mm] $i\not=j$. [/mm]
  

> ich habe mal ein bild gemalt:  
> [Dateianhang nicht öffentlich]

Super.

> [mm]A_i\cap A_j[/mm]  ist der rotmarkierte bereich oder?.

Richtig.

> wenn es diesen rotmarkierten bereich nicht gibt, dann gilt was?

Anderes Beispiel: Seien [mm] $A\$ [/mm] und [mm] $B\$ [/mm] disjunkte Mengen aus [mm] \Sigma, [/mm] also

      [mm] $A\cap B=\emptyset$. [/mm]

Dann gilt:

      [mm] $P(A\cup [/mm] B)=P(A)+P(B)$.

(Siehe zweites Axiom oben und zeichne erneut ein Bild mit [mm] $A\cap B=\emptyset$. [/mm]
Wie können wir [mm] $P(A\cup [/mm] B)$ aufschreiben, wenn [mm] $A\cap B\not=\emptyset$ [/mm] ist?)


Hilft das?


Gruß
DieAcht

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]