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Ich bin Leiter einer Agentur und brauche verlässliche Wahrscheinlichkeitsberechnungen zu einzelnen Gewinnspielen.
Es geht um 3 Berechnungen, bei schneller und einsichtlicher Lösung bin ich gerne auch bereit eine kleine Spende auf das Matheraum-Konto zu überweisen.
Hier die einzelnen Gewinnspiele:
Aufg. 1
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine 4-stellige Zahl zu finden, die an den ersten beiden Stellen die Zahlenfolge von 01-99 und an der 3. und 4. Stelle die Zahlenfolge 01-20 aufweisen?
Aufg. 2
Geburtstagsgewinnspiel
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit ein Datum zu treffen, z.B. ein Geburtsdatum.
Tag (1-31), Monat (1-12), Jahr (00-99)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit Tag und Monat treffen?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit Tag, Monat und Jahr treffen?
Aufg. 3
Ein Bingo Spiel hat 90 Zahlen (Kugeln). Der Spieler hat einen Spielschein mit 5 beliebigen Zahlen von 1-90. Bei einer Ziehung von 10 Zahlen (Kugeln) (aus diesen Zahlen 1-90) müssen die vorgegebenen 5 Zahlen auf dem Spielschein getroffen werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinnfall eintritt.
Ich freue mich auf richtige Antworten.
Mit freundlichen Grüßen
Matthias H.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:13 Do 02.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Matthias H.!
> Aufg. 1
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> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine 4-stellige Zahl zu
> finden, die an den ersten beiden Stellen die Zahlenfolge
> von 01-99 und an der 3. und 4. Stelle die Zahlenfolge 01-20
> aufweisen?
Es gibt insgesamt [mm] $10^4$ [/mm] Möglichkeiten, eine 4-stellige Zahl (0000...9999) zu bilden.
Nun zu den "günstigen" Zahlen (die wahrscheinlich den Gewinn darstellen sollen).
Für die ersten Ziffer gibt es 10 Möglichkeiten, für die zweite 9 Möglichkeiten, für die dritte und vierte zusammen 20 Möglichkeiten.
Also haben 10*9*20=1.800 der 10.000 vierstelligen Zahlen die gewünschte Eigenschaft.
Wenn nun jede Zahl gleichwahrscheinlich (W'keit [mm] $=\bruch{1}{10.000}$) [/mm] ist, dann ist die gesuchte W'keit [mm] $\bruch{1.800}{10.000}=\bruch{18}{100}=18\%$
[/mm]
> Aufg. 2
>
> Geburtstagsgewinnspiel
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit ein Datum zu treffen,
> z.B. ein Geburtsdatum.
> Tag (1-31), Monat (1-12), Jahr (00-99)
Wie sieht denn eigentlich der Versuch (das Spiel) aus? Zieht man eine 6-stellige Zahl, wobei jede Ziffer eine aus 0...9 sein kann?
Falls ja, dann hängt das Ergebnis auch noch von dem Jahrhundert ab, aus dem die Jahreszahl stammt, denn das Jahrhundert 1900-1999 hatte weniger Tage als das Jahrhundert 2000-2099 haben wird (weil 1900 kein Schaltjahr war, aber 2000). Diese Ausführungen beziehen sich jetzt nur auf die W'keit, mit einer 6-stelligen Zahl ein Datum zu treffen.
Soll dagegen ein bestimmtes Datum (z.B. ein Geburtsdatum) getroffen werden, so ist beträgt die W'keit [mm] $\bruch{1}{1.000.000}$.
[/mm]
Aber, wie gesagt, du müßtest noch näher angeben, wie genau der Versuch aussieht.
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit Tag und Monat
> treffen?
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit Tag, Monat und Jahr
> treffen?
>
>
>
> Aufg. 3
>
> Ein Bingo Spiel hat 90 Zahlen (Kugeln). Der Spieler hat
> einen Spielschein mit 5 beliebigen Zahlen von 1-90. Bei
> einer Ziehung von 10 Zahlen (Kugeln) (aus diesen Zahlen
> 1-90) müssen die vorgegebenen 5 Zahlen auf dem Spielschein
> getroffen werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
> der Gewinnfall eintritt.
Hier wird ohne Zurücklegen gezogen, nehme ich an.
Bei der Berechnung bin ich mir nicht ganz sicher, vielleicht warten wir noch ein zweite Meinung ab.
Es gibt insgesamt [mm] ${90\choose10}$ [/mm] Bingo-Zahlen.
Bei jeweils [mm] ${85\choose 5}$ [/mm] von diesen kommen 5 vorgegebene Zahlen vor, also müßte die Gewinnwahrscheinlichkeit [mm] $\bruch{{85\choose 5}}{{90\choose 10}}=\bruch{85!}{5!*80!}*\bruch{90!}{10!*80!}=\bruch{85*84*83*82*81}{5!}*\bruch{90*89*\ldots*81}{10!}=\bruch{7}{1220813}\approx 0,00057\%$ [/mm] sein.
Wie gesagt, ich bin mir hier nicht sicher.
Viele Grüße,
Marc
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zu Aufg. 1:
Wenn bei den ersten beiden Stellen mit den Zahlen 01-99 die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zu treffen, 1% beträgt, und noch eine weitere Zahl in der Zahlenfolge von 01-20 zu treffen ist, so kann die Gesamtwahrscheinlichkeit ja nicht 18% betragen. Oder sieht das jemand anders?
zu Aufg. 2:
Das Geburtstagsgewinnspiel sieht so aus, dass tatsächlich das Geburtsdatum zu treffen ist, d.h. beim dem Tag ist es ja recht einfach. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1 zu 31. Jetzt soll dazu auch noch der Geburtsmonat getroffen werden, dazu stehen ja dann die Zahlen von 01-12 zur Verfügung. Wie hoch ist die Gesamtwahrscheinlichkeit. Wenn jetzt auch noch die Jahreszahl mit den letzten beiden Stellen (01-99) getroffen werden soll, wie hoch ist dann die Gesamtwahrscheinlichkeit (also Tag, Monat und Jahreszahl zweistellig)?
zu Aufg. 3:
Ich geb ja zu, es ist wirklich kompliziert. Also es wird ohne zurücklegen gezogen und nachdem 10 Kugeln gezogen wurden, ist das Spiel zu Ende. Auf dem Spielschein stehen 5 beliebige Zahlen aus der Zahlenreihe 1-90. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit diese 5 Zahlen zu treffen, bei einem Spieldurchgang?
Im voraus besten Dank für die Antworten.
Grüße
Matthias H.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Do 02.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Matthias!
> zu Aufg. 1:
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> Wenn bei den ersten beiden Stellen mit den Zahlen 01-99 die
> Wahrscheinlichkeit eine Zahl zu treffen, 1% beträgt, und
> noch eine weitere Zahl in der Zahlenfolge von 01-20 zu
> treffen ist, so kann die Gesamtwahrscheinlichkeit ja nicht
> 18% betragen. Oder sieht das jemand anders?
Hier hat Marc das Spiel wohl missverstanden (es war aber auch nicht eindeutig erkennbar, wie es aussehen sollte). Die Wahrscheinlichkeit für dieses Problem beträgt
$p = [mm] \frac{1}{99} \cdot \frac{1}{20} \approx [/mm] 0,000505 [mm] \quad (=0,0505\%)$.
[/mm]
Begründung: Für die beiden ersten Ziffern gibt es 99 Möglichkeiten, für die letzten beiden 20. Die Wahrscheinlichkeit die ersten beiden Ziffern richtig zu tippen, ist also [mm] $p_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{99}$. [/mm] Die Wahrscheinlichkeit die letzten beiden Ziffern richtig zu tippen, beträgt demnach [mm] $p_2 [/mm] = [mm] \frac{1}{20}$. [/mm] Die beiden Ereignisse sind unabhängig. Daher ist die Wahrscheinlichkeit sowohl die ersten beiden wie auch die letzten beiden Ziffern zu treffen, gerade gleich [mm] $p_1 \cdot p_2$, [/mm] und das wurde oben berechnet.
> zu Aufg. 2:
>
> Das Geburtstagsgewinnspiel sieht so aus, dass tatsächlich
> das Geburtsdatum zu treffen ist, d.h. beim dem Tag ist es
> ja recht einfach. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1 zu 31.
> Jetzt soll dazu auch noch der Geburtsmonat getroffen
> werden, dazu stehen ja dann die Zahlen von 01-12 zur
> Verfügung. Wie hoch ist die Gesamtwahrscheinlichkeit. Wenn
> jetzt auch noch die Jahreszahl mit den letzten beiden
> Stellen (01-99) getroffen werden soll, wie hoch ist dann
> die Gesamtwahrscheinlichkeit (also Tag, Monat und
> Jahreszahl zweistellig)?
Wenn es wirklich so wäre, wie du es jetzt angibst, dann wäre die Wahrscheinlichkeit das richtige Geburtsdatum zu treffen, gerade
$p= [mm] \frac{1}{31} \cdot \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{99} \approx [/mm] 0,00002715 [mm] \quad (=0,002715\%)$.
[/mm]
Allerdings würde man dann nicht beachten, dass es manche Daten (etwa den 30.02. oder den 31.11.) gar nicht gibt. Sollen dem "Errater" also nur sinnvolle Daten überhaupt angeboten werden?
Dann würde ich die Wahrscheinlichkeit überschlagen (die Werte sind so gering, dass eine exakte Berechnung nicht notwendig erscheint). Sie betrüge in diesem Fall ungefähr (im Durchschnitt hat jeder Monat ca. 30,5 Tage):
$p= [mm] \frac{1}{30,5} \cdot \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{99} \approx [/mm] 0,0000276 [mm] \quad [/mm] (=0,00276 [mm] \%)$,
[/mm]
sie wäre also geringfügig höher.
> zu Aufg. 3:
>
> Ich geb ja zu, es ist wirklich kompliziert. Also es wird
> ohne zurücklegen gezogen und nachdem 10 Kugeln gezogen
> wurden, ist das Spiel zu Ende. Auf dem Spielschein stehen 5
> beliebige Zahlen aus der Zahlenreihe 1-90. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit diese 5 Zahlen zu treffen, bei einem
> Spieldurchgang?
Die Antwort, die Marc (und vorher auch schon einmal Brigitte) angegeben hat, ist völlig korrekt, dafür garantiere ich. 
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Do 02.12.2004 | | Autor: | Brigitte |
Hallo an alle!
> > zu Aufg. 2:
> >
> > Das Geburtstagsgewinnspiel sieht so aus, dass tatsächlich
>
> > das Geburtsdatum zu treffen ist, d.h. beim dem Tag ist es
>
> > ja recht einfach. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1 zu 31.
>
> > Jetzt soll dazu auch noch der Geburtsmonat getroffen
> > werden, dazu stehen ja dann die Zahlen von 01-12 zur
> > Verfügung. Wie hoch ist die Gesamtwahrscheinlichkeit.
> Wenn
> > jetzt auch noch die Jahreszahl mit den letzten beiden
> > Stellen (01-99) getroffen werden soll, wie hoch ist dann
>
> > die Gesamtwahrscheinlichkeit (also Tag, Monat und
> > Jahreszahl zweistellig)?
>
> Wenn es wirklich so wäre, wie du es jetzt angibst, dann
> wäre die Wahrscheinlichkeit das richtige Geburtsdatum zu
> treffen, gerade
>
> [mm]p= \frac{1}{31} \cdot \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{99} \approx 0,00002715 \quad (=0,002715\%)[/mm].
Wenn man es ganz genau nimmt und (wie Matthias angab) auch 00 als Jahr berücksichtigt ist der letzte Bruch
$1/100$ statt $1/99$, aber das ändert natürlich nicht besonders viel 
> > zu Aufg. 3:
> >
> > Ich geb ja zu, es ist wirklich kompliziert. Also es wird
>
> > ohne zurücklegen gezogen und nachdem 10 Kugeln gezogen
>
> > wurden, ist das Spiel zu Ende. Auf dem Spielschein stehen
> 5
> > beliebige Zahlen aus der Zahlenreihe 1-90. Wie groß ist
> die
> > Wahrscheinlichkeit diese 5 Zahlen zu treffen, bei einem
>
> > Spieldurchgang?
>
>
> Die Antwort, die Marc (und vorher auch schon einmal
> Brigitte) angegeben hat, ist völlig korrekt, dafür
> garantiere ich.
Danke. Dann bekomme ich dafür sogar noch ein Feedback
Liebe Grüße
Brigitte
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Liebe Forumsmitglieder,
ich bedanke mich recht herzlich für die freundliche, schnelle und kompetente Beantwortung meiner Fragen. Ihr habt mir sehr geholfen.
Viele Grüße
Matthias H.
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