Wahrscheinlichkeitsberechnung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Di 16.10.2007 | | Autor: | Knuessel |
| Aufgabe | | Ein Gemüsegroßhändler kauft Äpfel in Stiegen zu je 100 Stück. Ein Kontrolleur der Firma überprüft durch ziehen mit Zurücklegen, ob ein Apfel faul ist. Insgesamt sind pro Kiste genau 5 faul. Wie hoch ist die Wahrscheinlich, dass genau einer der Äpfel faul ist? |
Also wenn er die Äpfel nicht zurücklegt, ist mit klar wie ich das machen, denn ich habe den Vergleich zum Lotto. Ich habe 100 Zahlen, daraus ziehe ich 20. Von diesen 20 gezogenen Äpfeln soll genau einer faul sein, dann müsste die Rechnung so aussehen:
[mm] \bruch{\vektor{5 \\ 1} * \vektor{95 \\ 19}}{\vektor{100 \\ 20}}
[/mm]
Daraus kämem ca 42 Prozent. Doch wie sieht das nun aus, wenn ich das nicht zurücklege. Ich weiß, dass ich [mm] n^k [/mm] Möglichkeiten habe. Doch komme ich nicht drauf und ein Baumdiagramm aufmalen, ist mir dafür ehrlich gesagt auch etwas zu aufwendig.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
UPDATE: !!!!!!!!!!!!!
Kann es sein, dass ich einfach ein Baumdiagrammmir vorstellen muss und einfach sage, dass ich
[mm] (\bruch{5}{100} [/mm] * [mm] (\bruch{95}{100})^{19}) [/mm] * 20 rechnen muss?
Da kommen dann ca. 37 Prozent oder sowas raus?
Vielen Dank
Knuessel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Di 16.10.2007 | | Autor: | rabilein1 |
5 von 100 Äpfeln sind faul. Das sind 5 %
Mit Zurücklegen: An diesen 5 % ändert sich nichts.
Die Aufgabe an sich ist fehlerhaft, weil da nicht steht, wie viele Äpfel (mit Zurücklegen) gezogen werden
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Di 16.10.2007 | | Autor: | Knuessel |
Sorry, es wird 20x gezogen. Komplett vergessen.. Tut mir leid, danke für deine Mühe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Di 16.10.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Knuessel,
> Ein Gemüsegroßhändler kauft Äpfel in Stiegen zu je 100
> Stück. Ein Kontrolleur der Firma überprüft durch ziehen mit
> Zurücklegen, ob ein Apfel faul ist. Insgesamt sind pro
> Kiste genau 5 faul. Wie hoch ist die Wahrscheinlich, dass
> genau einer der Äpfel faul ist?
Ich vermute, dass 20 Aepfel gezogen werden.
> Also wenn er die Äpfel nicht zurücklegt, ist mit klar wie
> ich das machen, denn ich habe den Vergleich zum Lotto. Ich
> habe 100 Zahlen, daraus ziehe ich 20. Von diesen 20
> gezogenen Äpfeln soll genau einer faul sein, dann müsste
> die Rechnung so aussehen:
>
> [mm]\bruch{\vektor{5 \\ 1} * \vektor{95 \\ 19}}{\vektor{100 \\ 20}}[/mm]
>
> Daraus kämem ca 42 Prozent.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>Doch wie sieht das nun aus,
> wenn ich das nicht zurücklege. Ich weiß, dass ich [mm]n^k[/mm]
> Möglichkeiten habe. Doch komme ich nicht drauf und ein
> Baumdiagramm aufmalen, ist mir dafür ehrlich gesagt auch
> etwas zu aufwendig.
>
> Kann mir jemand einen Tipp geben?
>
> UPDATE: !!!!!!!!!!!!!
> Kann es sein, dass ich einfach ein Baumdiagrammmir
> vorstellen muss und einfach sage, dass ich
> [mm](\bruch{5}{100}[/mm] * [mm](\bruch{95}{100})^{19})[/mm] * 20 rechnen
> muss?
> Da kommen dann ca. 37 Prozent oder sowas raus?
Ergoogle mal den Zusammenhang zwischen hypergeometrischer und Binomialverteilung...
lg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:34 Di 16.10.2007 | | Autor: | Knuessel |
Danke werde ich tun... =) Hast mir geholfen, wenn auch ich selbst darauf gekommen bin, aber ich war mich echt nicht sicher!
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Hallo luis,
ich habe da eine Frage zu der Aufgabe: Knuessel hat doch zweimal ohne Zurücklegen der Äpfel berechnet; warum kommt da nicht dasselbe heraus?
Die ursprüngliche Frage war ja mit Zurücklegen der Äpfel. Wäre das dann nicht
$ [mm] \bruch{\vektor{5 \\ 1} \cdot{} \vektor{95+19-1 \\ 19}}{\vektor{100+20-1 \\ 20}} [/mm] $
LG, Martinius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Di 16.10.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Martinius,
ich habe seine Frage so verstanden, dass da *mit* Zuruecklegen gearbeitet werden sol (Schreibfehler)l. Das macht auch mehr Sinn, da ja im ersten Teil ohne Zuruecklegen gearbeitet wird.
lg Luis
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Hallo,
Entschuldigung, wenn ich noch mal frag, aber mir ist etwas nicht ganz klar.
Wenn der Kontrolleur die Äpfel nicht zurücklegt, dann ist die Wahrscheinlichkeit einen faulen unter der Stichprobe von n= 20 Äpfeln (aus der Grundgesamtheit von 5 faulen und 95 guten Äpfeln)zu haben:
$ [mm] \bruch{\vektor{5 \\ 1} \cdot{} \vektor{95 \\ 19}}{\vektor{100 \\ 20}} [/mm] =42,01$%
Das ist dasselbe wie
[mm] $\bruch{5}{100}*\bruch{95}{99}*\bruch{94}{98}*\bruch{93}{97}*\bruch{92}{96}*....*\bruch{77}{81}*20=42,01$%
[/mm]
,also Kombination ohne Wiederholung bzw. hypergeometrische Verteilung.
Wenn der Kontrolleur die Äpfel aber nun zurücklegt ist es eine Binomialverteilung, also
$P = [mm] \vektor{20 \\ 1}\cdot{} \left(\bruch{5}{100}\right)^{1}*\left(\bruch{95}{100}\right)^{19} [/mm] = 37,74$%
Was ist aber nun der Unterschied der Binomialverteilung zur Kombination mit Wiederholung [mm] C_{W} [/mm] :
$ [mm] \bruch{\vektor{5 \\ 1} \cdot{} \vektor{95+19-1 \\ 19}}{\vektor{100+20-1 \\ 20}} [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{5 \\ 1} \cdot{} \vektor{113 \\ 19}}{\vektor{119 \\ 20}} [/mm] =34,35$%
Besten Dank für eine Aufklärung.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:37 Do 18.10.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Martinius,
entschuldige, wenn ich etwas begriffsstutzig bin, aber mir ist nicht
klar, was du mit den Zaehler- und Nennerausdruecken auszaehlst. Nehmen
wir den allgemeinen Fall, wo nach der Wahrscheinlichkeit gefragt wird,
$x$ faule Aepfel zu erhalten.
Beim Ziehen ohne Zuruecklegen gibt es ${5 [mm] \choose [/mm] x}$ Moeglichkeiten, $x$ aus den 5 faulen Aepfeln auszuwaehlen. Es gibt ${95 [mm] \choose [/mm] 20-x}$
Moeglichkeiten, $20-x$ aus den 95 einwandfreien Aepfeln zu waehlen.
Insgesamt gibt es dann ${5 [mm] \choose x}\times{95 \choose 20-x}$
[/mm]
Moeglichkeiten genau $x$ faule Aepfel zu erhalten. Da es ${100 [mm] \choose
[/mm]
20}$ Auswahlmoeglichkeiten gibt, folgt die Wahrscheinlichkeit
${5 [mm] \choose x}\times{95 \choose 20-x}/{100 \choose 20}$.
[/mm]
(Hypergeometrische Verteilung)
Beim Ziehen mit Zuruecklegen kann ich mir die Auswahl von 20 Aepfeln wie
eine Kette von 20 Perlen vorstellen. Aus dieser Kette werden $x$ Perlen
ausgewaehlt, die jeweils fuer einen faulen Apfel stehen. Hierfuer gibt
es ${20 [mm] \choose [/mm] x}$ Moeglichkeiten. An die Stelle einer ausgewaehlten
"faulen Perle" kann ich einen der 5 faulen Aepfel legen, an die zweite
auch usw. Insgesamt gibt es [mm] $5^x$ [/mm] Moeglichkeiten, die ausgewaehlten $x$ "faulen Perlen" zu bestuecken. Jede Auswahl von $x$ "faulen Perlen"
induziert eine Auswahl von $20-x$ anderen Perlen, die auf
[mm] $(100-5)^{20-x}=95^{20-x}$ [/mm] Weisen mit nichtfaulen Aepfeln belegt werden koennen. Da es insgesamt [mm] 100^{20}$ [/mm] Moeglichkeiten gibt, wie gezogen werden kann, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gegeben durch
${20 [mm] \choose x}5^x\times95^{20-x}/100^20={20\choose x}0.05^x\times0.95^{20-x}$.
[/mm]
(Binomialverteilung)
Wie also wuerdest du argumentieren, um zu "deiner" Formel zu gelangen?
lg
Luis
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Hallo Luis,
vielen Dank für deine Antwort.
Diese Formel
$ [mm] C_{w}=\vektor{n+k-1 \\ k} [/mm] $
für die Kombination mit Zurücklegen wurde in meinem Buch einfach nur mitgeteilt, ohne sie plausibel zu machen.
Ich dachte halt, sie müßte äquivalent zur Binomialverteilung sein, weil beide mit Zurücklegen sind, ist sie wohl aber nicht.
Wenn es zu aufwendig oder zu kompliziert ist, das Zustandekommen der Formel für [mm] C_{w} [/mm] darzulegen, dann möge man diese Frage als überflüssig ansehen.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 20.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Deine letzte Formel habe ich auch so.
Begründung:
Ein Mal "Faul" zu 0.05
Neunzehn Mal "Nicht-Faul" zu je 0.95
Der "Faule" kann an 20 verschiedenen Stellen sitzen.
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Bei der Aufgabe hieß es ja "Mit Zurücklegen".
Dann wurde hier diskutiert über den Unterschied "Ohne Zurücklegen" und "Mit Zurücklegen".
Dazu möchte ich sagen:
"Mit Zurücklegen" heißt, dass die Wahrscheinlichkeit bei jedem Ziehen die selbe ist. Bei 5 Faulen und 95 Guten heißt das:
Faul ist bei jedem Ziehen [mm] \bruch{5}{100}
[/mm]
Gut ist bei jedem Ziehen [mm] \bruch{95}{100}
[/mm]
So kommt z.B. raus:
[mm] \bruch{5}{100}*\bruch{5}{100}*\bruch{95}{100}*\bruch{95}{100}*...
[/mm]
"Ohne Zurücklegen" ist komplizierter, denn man muss stets berücksichtigen, wie viele Faule und wie viele Gute im Korb sind. Und dann kommt da z.B. raus:
[mm] \bruch{5}{100}*\bruch{4}{99}*\bruch{95}{98}*\bruch{94}{97}*....
[/mm]
(Es werden ja immer weniger Apfel im Korb)
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