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| Aufgabe 1 | In einer Urne befinden sich 10 rote, 7 schwarze und 3 weiße Kugeln. Es werden nacheinander ohne Zurücklegen 4 Kugeln gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a) ist die erste Kugel rot,
b) ist nur die erste Kugel rot,
c) ist genau eine Kugel rot,
d) ist höchstens eine Kugel rot,
e) ist mindestens eine Kugel rot,
f) sind genau drei Kugeln nicht rot,
g) sind höchstens drei Kugeln nicht rot,
h) sind alle Kugeln rot,
i) sind alle Kugeln gleichfarbig? |
| Aufgabe 2 | Herr Jubel hat zu seinem Geburtstag 5 Gäste eingeladen. Im Verlauf des Festes nennen die Gäste dem Alter nach ihren Geburtsmonat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a) sind die beiden ältesten Gäste im selben Monat geboren,
b) sind alle Gäste in verschiedenen Monaten geboren? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bei beiden Aufgabe weiß ich nicht so recht, wie ich sie angehen soll. Zwar wäre bei der ersten ein Baumdiagramm möglich, aber das wäre ziemlich umfangreich und es würden sich leicht Fehler einschleichen. Ich frage mich, ob es da nicht eine elegantere (sicherere  ) Möglichkeit gibt.
Die Teilaufgaben h) und i) habe ich bereits gelöst (h) --> [mm] \bruch{14}{323} [/mm] und i) --> [mm] \bruch{49}{969}), [/mm] mir geht es um die anderen.
Bei Aufgabe 2 habe ich den Verdacht, dass man das mithilfe einer Bernoulli-Kette machen kann. Allerdings haben wir das erst in der letzten Mathe-Stunde gelernt und daher bin ich mir unsicher, was ich für was einsetzen muss...
Es wäre super, wenn mir jemand Tipps zur Herangehensweise geben könnte!
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Hallo
> In einer Urne befinden sich 10 rote, 7 schwarze und 3
> weiße Kugeln. Es werden nacheinander ohne Zurücklegen 4
> Kugeln gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
> a) ist die erste Kugel rot,
> b) ist nur die erste Kugel rot,
> c) ist genau eine Kugel rot,
> d) ist höchstens eine Kugel rot,
> e) ist mindestens eine Kugel rot,
> f) sind genau drei Kugeln nicht rot,
> g) sind höchstens drei Kugeln nicht rot,
> h) sind alle Kugeln rot,
> i) sind alle Kugeln gleichfarbig?
> Bei beiden Aufgabe weiß ich nicht so recht, wie ich sie
> angehen soll. Zwar wäre bei der ersten ein Baumdiagramm
> möglich, aber das wäre ziemlich umfangreich und es
> würden sich leicht Fehler einschleichen. Ich frage mich,
> ob es da nicht eine elegantere (sicherere ) Möglichkeit
> gibt.
>
> Die Teilaufgaben h) und i) habe ich bereits gelöst (h) -->
> [mm]\bruch{14}{323}[/mm] und i) --> [mm]\bruch{49}{969}),[/mm] mir geht es um
> die anderen.
>
Sag doch mal wie du die beiden Aufgaben gelöst hast, die Ergebnisse stimmen nämlich ganz genau.
Zu a) Die Wahrscheinlichkeit dass die erste Kugel rot ist: Naja 10 von 20 Kugeln sind rot , also was is wohl die Wahrscheinlichkeit.
b) die erste muss eine der 10 roten Kugeln sein, die kommenden 3 jeweils von den 10 Nicht-Roten.
c) entweder im 1., 2., 3. oder 4. zug eine rote ansonsten keine
d) entweder eine oder keine Kugel ist rot
e) eine, 2, 3 oder 4 der gezogenen Kugeln sind rot.
f) Wemm genau eine Kugel rot ist, sind automatisch genau 3 Kugeln nicht-rot
g) 0, eine 2 oder 3 Kugeln sind nicht rot.
Ich hoffe ihr hattet schon die Hypergeometrische Verteilung, dann solltest du das eigentlich lösen können...?
zu 2)a) Naja, der älteste Gast kann in allen der 12 Monaten Geburtstag haben. Nun soll der 2. älteste Gast im gleichen Monat Geburtstag haben, wie groß ist also die Wahrscheinlichkeit?
b) Gast 1 kann in 12 Monaten Geburtstag haben, dann Gast 2 damit es ein günstiges Ereignis wird nur noch in 11 Monaten Geburtstag haben (er soll eben nicht im gleichen Monat Geburtstag haben wie Gast 1). Gast 3 dann entsprechend nur noch in 10 der 12 Monate.
Den Rest machst du.
Viele Grüße
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> Sag doch mal wie du die beiden Aufgaben gelöst hast, die
> Ergebnisse stimmen nämlich ganz genau.
Bei h) einfach [mm] \bruch{10}{20}\*\bruch{9}{19}\*\bruch{8}{18}\*\bruch{7}{17} [/mm] und bei i) das Ergebnis von h) + [mm] \bruch{7}{20}\*\bruch{6}{19}\*\bruch{5}{18}\*\bruch{4}{17}. [/mm] Dazu braucht man ja nur etwas Grundwissen in der Stochastik
> Zu a) Die Wahrscheinlichkeit dass die erste Kugel rot ist:
> Naja 10 von 20 Kugeln sind rot , also was is wohl die
> Wahrscheinlichkeit.
Ich bin mir bei dieser Aufgabe nicht sicher, ob wirklich nur die Wahrscheinlichkeit der ersten Kugel gesucht ist (dann wäre es natürlich einfach --> [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] oder ob man hier alle Kombinationen addieren muss, bei denen die erste Kugel rot ist.
> b) die erste muss eine der 10 roten Kugeln sein, die
> kommenden 3 jeweils von den 10 Nicht-Roten.
Das heißt, ich muss rechnen [mm] \bruch{10}{20}\*\bruch{10}{19}\*\bruch{9}{18}\*\bruch{8}{17}? [/mm]
> c) entweder im 1., 2., 3. oder 4. zug eine rote ansonsten
> keine
> d) entweder eine oder keine Kugel ist rot
> e) eine, 2, 3 oder 4 der gezogenen Kugeln sind rot.
> f) Wemm genau eine Kugel rot ist, sind automatisch genau 3
> Kugeln nicht-rot
> g) 0, eine 2 oder 3 Kugeln sind nicht rot.
> Ich hoffe ihr hattet schon die Hypergeometrische
> Verteilung, dann solltest du das eigentlich lösen
> können...?
Nein, die hatten wir noch nicht. Deine Überlegungen hatte ich auch schon angestellt. Aber ich werde mal danach googeln, danke für den Tipp  .
> zu 2)a) Naja, der älteste Gast kann in allen der 12
> Monaten Geburtstag haben. Nun soll der 2. älteste Gast im
> gleichen Monat Geburtstag haben, wie groß ist also die
> Wahrscheinlichkeit?
> b) Gast 1 kann in 12 Monaten Geburtstag haben, dann Gast 2
> damit es ein günstiges Ereignis wird nur noch in 11
> Monaten Geburtstag haben (er soll eben nicht im gleichen
> Monat Geburtstag haben wie Gast 1). Gast 3 dann
> entsprechend nur noch in 10 der 12 Monate.
> Den Rest machst du.
Bei b) komme ich, glaube ich, noch mit: [mm] \bruch{11}{12}\*\bruch{10}{12}\*\bruch{9}{12}\*\bruch{8}{12} (\bruch{12}{12} [/mm] lasse ich mal weg ). Stimmt das? Aber den Ansatz zu a) verstehe ich leider nicht.
Danke für deine Hilfe!
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Hallo,
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> > Zu a) Die Wahrscheinlichkeit dass die erste Kugel rot ist:
> > Naja 10 von 20 Kugeln sind rot , also was is wohl die
> > Wahrscheinlichkeit.
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> Ich bin mir bei dieser Aufgabe nicht sicher, ob wirklich
> nur die Wahrscheinlichkeit der ersten Kugel gesucht ist
> (dann wäre es natürlich einfach --> [mm]\bruch{1}{2},[/mm] oder ob
> man hier alle Kombinationen addieren muss, bei denen die
> erste Kugel rot ist.
>
Genau die ist gemeint und stimmt.
> > b) die erste muss eine der 10 roten Kugeln sein, die
> > kommenden 3 jeweils von den 10 Nicht-Roten.
>
> Das heißt, ich muss rechnen
> [mm]\bruch{10}{20}\*\bruch{10}{19}\*\bruch{9}{18}\*\bruch{8}{17}?[/mm]
>
Auch richtig und damit bekommst du auch die c) hin, denn im ersten Zug rot in den kommenden 3 Zügen nicht-rot ist genauso wahrscheinlich wie im ersten Zug nicht-rot im 2. Zug rot und im 3. und 4. Zug nicht-rot bzw. in den ersten beiden Zügen nicht-rot im 3. Zug rot und im 4. wieder nicht-rot bzw. in den ersten 3 Zügen nicht-rot und im 4. Zug rot. Also ist die Wahrscheinlichkeit bei c) einfach 4* Wk (Aufgabe b))
> > c) entweder im 1., 2., 3. oder 4. zug eine rote ansonsten
> > keine
> > d) entweder eine oder keine Kugel ist rot
Ich denk mal du kannst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass keine Kugel rot ist, diese dann mit der von Aufgabe c) addiert führt zum Ergebnis
> > e) eine, 2, 3 oder 4 der gezogenen Kugeln sind rot.
Du kannst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass keine gezogene Kugel rot ist und kommst somit über das Gegenereignis: 1- P(keine Kugel ist rot) aufs Ergebnis
> > f) Wenn genau eine Kugel rot ist, sind automatisch
> genau 3
> > Kugeln nicht-rot
Siehe c)
> > g) 0, eine 2 oder 3 Kugeln sind nicht rot.
Hier könntest du auch wieder über das Gegenereignis 1- P(alle Kugeln sind nicht-rot) aufs gewünschte Ergebnis kommen
>
> > zu 2)a) Naja, der älteste Gast kann in allen der 12
> > Monaten Geburtstag haben. Nun soll der 2. älteste Gast im
> > gleichen Monat Geburtstag haben, wie groß ist also die
> > Wahrscheinlichkeit?
> > b) Gast 1 kann in 12 Monaten Geburtstag haben, dann
> Gast 2
> > damit es ein günstiges Ereignis wird nur noch in 11
> > Monaten Geburtstag haben (er soll eben nicht im gleichen
> > Monat Geburtstag haben wie Gast 1). Gast 3 dann
> > entsprechend nur noch in 10 der 12 Monate.
> > Den Rest machst du.
>
> Bei b) komme ich, glaube ich, noch mit:
> [mm]\bruch{11}{12}\*\bruch{10}{12}\*\bruch{9}{12}\*\bruch{8}{12} (\bruch{12}{12}[/mm]
> lasse ich mal weg ). Stimmt das?
Das stimmt soweit.
Aber den Ansatz zu a)
> verstehe ich leider nicht.
>
Dann vereinfach ich das Problem doch mal: Stell dir vor du musst meinen Geburtsmonat erraten, wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit, dass du in einem Versuch richtig liegst, wenn wir mal von ausgehen, dass jeder Monat gleich wahrscheinlich ist..?
Genauso ist es hier: Der eine gibt den Monat vor auf dem der andere liegen müsste für ein günstiges Ereignis
> Danke für deine Hilfe!
Immer wieder gerne.
Viele Grüße
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So, ich hab die restlichen Wahrscheinlichkeiten jetzt teilweise mit der Hypergeometrischen Verteilung ausgerechnet. Nur nochmal zur Kontrolle:
a) [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
b) [mm] \bruch{10}{20}\*\bruch{10}{19}\*\bruch{9}{18}\*\bruch{8}{17}=\bruch{20}{323}
[/mm]
c) [mm] \bruch{80}{323}
[/mm]
d) [mm] \bruch{94}{323}
[/mm]
e) [mm] \bruch{309}{323}
[/mm]
f) [mm] \bruch{80}{323}
[/mm]
g) 1 - [mm] \bruch{14}{323}=\bruch{309}{323}
[/mm]
> Dann vereinfach ich das Problem doch mal: Stell dir vor du
> musst meinen Geburtsmonat erraten, wie groß wäre die
> Wahrscheinlichkeit, dass du in einem Versuch richtig
> liegst, wenn wir mal von ausgehen, dass jeder Monat gleich
> wahrscheinlich ist..?
> Genauso ist es hier: Der eine gibt den Monat vor auf dem
> der andere liegen müsste für ein günstiges Ereignis
Dann also [mm] \bruch{1}{12}?
[/mm]
Liebe Grüße
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Alles richtig gerechnet - super.
Viele Grüße
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