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| Aufgabe | | Unter 32 Spielkarten befinden sich vier Asse. Die Karten werden gemischt und hintereinander aufgedeckt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die neunte aufgedeckte Karte das zweite aufgedeckte Ass ist? |
Hallo, bin neu in diesem Forum und hoffe ihr könnt mir helfen die Aufgabe zu lösen. Es handelt sich hierbei denke ich um bedingte Wahrscheinlichkeit. Deshalb mein Ansatz:
A sei das Ereignis dass mindestens eine Ass unter den ersten 8 Karten vorkommt
B sei das Ereignis, dass die 9 Karte ein Ass ist.
Also muss ich die Wahrscheinlichkeit von B bedingt von A berechnen, denke ich.. Ich weiss aber nicht wie.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke im Voraus
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Also ich würde das Ereignis [mm]A[/mm] leicht abweichend definieren: [mm]A := [/mm] "genau ein Ass unter den ersten 8 Karten".
Meiner Meinung nach ist gesuchte Wahrscheinlichkeit, zusammen mit Deinem Ereignis [mm]B[/mm]:
[mm]P(A\cap B) = P(B | A)\cdot P(A) = \ldots[/mm]
[mm]P(B|A)[/mm] kannst Du relativ leicht ausrechnen, weil Du, aufgrund der Voraussetzung, dass [mm]A[/mm] eingetreten ist, genau weisst, wieviele Asse noch in Umlauf sind. Dann brauchst Du nur noch [mm]P(A)[/mm] zu berechnen.
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danke für die schnelle antwort. ist denn die wahrscheinlichkeit für A 4/32, da es 4 Asse gibt?
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Hier gibt's das auch:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=119865
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stimmt, dort wurde die frage auch gestellt (nicht von mir), aber leider kann ich mit den dortigen hinweisen nichts anfangen.
ich bin mir jetzt nicht sicher ob ich für das ereignis A die wahrscheinlichkeit 4/32 wähle?
Danke
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ich habe vorhin eine dämmliche frage gestellt, tut mir leid. natürlich ist die wahrscheinlichkeit für das ereignis, dass ein Ass unter den ersten 8 ist, nicht gleich 4/32. ich hänge schon den ganzen tag an dieser aufgabe und bin leicht durcheinander.
ich habe jetzt für das ereignis A die Wahrscheinlichkeit 253/4495 ausgerechnet. was meint ihr dazu?
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> ich bin mir jetzt nicht sicher ob ich für das ereignis A
> die wahrscheinlichkeit 4/32 wähle?
"Wählen" musst die die Wahrscheinlichkeit nicht: Du musst sie ausrechnen 
4/32 wäre, zum Beispiel, die Wahrscheinlichkeit, als erste Karte ein As aufzudecken: weil dann gibt es 32 verschiedene (gleich wahrscheinliche: also Laplace-Experiment!) Möglichkeiten aber nur 4 "günstige".
Nur, wie gesagt, ist dies nicht unser Ereignis A. Du musst also, zum Beispiel, alle möglichen Sequenzen des Aufdeckens von ersten 8 Karten (aus ursprünglich 32 Karten: aber bei jedem Aufdecken geht eine Karte weg!) betrachten. Die Anzahl für das Ereignis A günstiger (d.h. genau ein As enthaltender) Sequenzen dividiert durch die Gesamtzahl aller möglichen Sequenzen ergibt die gewünschte Wahrscheinlichkeit
[mm]P(A)=\frac{\binom{8}{1}\cdot 4\cdot \frac{28!}{(28-7)!}}{\frac{32!}{(32-8)!}}[/mm]
Der Nenner kommt so zustande ("Variationen ohne Wiederholung"): die erste Karte kann auf 32 Arten, die zweite auf (32-1) Arten, ..., die achte auf (32-8+1) Arten gewählt werden. Ergibt: [mm]32\cdot 31 \cdots (32-8+1)=\frac{32!}{(32-8)!}[/mm]
Der Zähler ergibt sich aus folgender Überlegung: Die Position des einzigen Asses unter den (ersten) acht gezogenen Karten kann auf [mm]\binom{8}{1}[/mm] Arten gewählt werden, aus den vier Assen kann auf [mm]\binom{4}{1}=4[/mm] Arten das Ass ausgewählt werden, das unter den ersten acht Karten aufgedeckt wird, und die restlichen Nicht-Asse, können wieder auf [mm]\frac{28!}{(28-7)!}[/mm] Arten (in einer bestimmten Reihenfolge aus den 28 Nicht-Assen gezogen werden.
Man kann dieselbe Wahrscheinlichkeit auch ohne Berücksichtigung der Reihenfolge wie folgt berechnen ("Kombinationen ohne Wiederholung"):
[mm]P(A)=\frac{\binom{4}{1}\cdot\binom{28}{7}}{\binom{32}{8}}[/mm]
Denn [mm]\binom{n}{k}[/mm] ist ja die Zahl der Möglichkeiten, aus einer n-elementigen Menge eine k-elementige Teilmenge auszuwählen.
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Und ich hatte gedacht, dass für Ereignis A Folgendes gilt:
[mm] \bruch{4}{32} *\bruch{28}{31}* \bruch{27}{30}* \bruch{26}{29}*... \bruch{22}{25}
[/mm]
da egal ist an welcher Stelle der Ass unter den acht Karten vorkommt nehme ich die erste Stelle. dafür gibt es [mm] \bruch{4}{32} [/mm] Möglichkeiten, für die zweite Karte gibt es [mm] \bruch{28}{31} [/mm] Möglichkeiten, da 28 Nicht-Asse vorhanden sind und da schon eine Karte gezogen wurde, usw.. ist das falsch?
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> Und ich hatte gedacht, dass für Ereignis A Folgendes gilt:
>
> [mm]\bruch{4}{32} *\bruch{28}{31}* \bruch{27}{30}* \bruch{26}{29}*... \bruch{22}{25}[/mm]
>
> da egal ist an welcher Stelle der Ass unter den acht Karten
> vorkommt nehme ich die erste Stelle.
Da Du die Reihenfolge des Aufdeckens berücksichtigst, ist es falsch anzunehmen, dass das eine Ass gerade als erste Karte gezogen wird. Statt dessen gibt es eben [mm]\binom{8}{1}=8[/mm] verschiedene mögliche Positionen, in der Reihenfolge der 8 ersten aufgedeckten Karten, in denen das eine Ass aufgedeckt werden kann.
> dafür gibt es
> [mm]\bruch{4}{32}[/mm] Möglichkeiten, für die zweite Karte gibt es
> [mm]\bruch{28}{31}[/mm] Möglichkeiten, da 28 Nicht-Asse vorhanden
> sind und da schon eine Karte gezogen wurde, usw.. ist das
> falsch?
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vielen lieben dank für die ausführliche antwort. kannst du mir auch sagen wie ich P(B) berechne?
Danke
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Wozu brauchst Du denn [mm]P(B)[/mm]? Wir wollten doch die gesuchte Wahrscheinlichkeit [mm]P(A\cap B)[/mm] (dass unter den ersten acht aufgedeckten Karten genau ein Ass ist und dass als neunte Karte ein zweites Ass aufgedeckt wird), folgendermassen berechnen:
[mm]P(A\cap B)=P(B|A)\cdot P(A)[/mm]
[mm]P(A)[/mm] haben wir berechnet. Nun bleibt uns nur noch [mm]P(B|A)[/mm] zu berechnen und diese beiden Wahrscheinlichkeiten zu multiplizieren: dann sind wir fertig.
Nehmen wir, zur Berechnung von [mm]P(B|A)[/mm], also an, dass das Ereignis [mm]A[/mm] eingetreten ist, und untersuchen wir, wie wahrscheinlich es beim Aufdecken der nächsten Karte ist, dass diese Karte ein (zweites) Ass sein wird.
Nun: wenn [mm]A[/mm] eingetreten ist, dann hat es insgesamt noch 32-8=24 Karten, davon sind 4-1=3 Asse. Also wie gross ist die Wahrscheinlichkeit aus 24 Karten (darunter 3 Assen) ein Ass zu ziehen? - Eben: dies ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von [mm]B[/mm] unter der Bedingung [mm]A[/mm], kurz: [mm]P(B|A)[/mm]
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