Wahrscheinlichkeitsräume < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Do 27.06.2013 | | Autor: | Londron |
| Aufgabe | Für $n,N [mm] \in \mathbb [/mm] N_+$ seien der diskrete Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $\Omega [/mm] _{n,N}=_{def} [mm] \{1,2,...,N\}^n$ [/mm] (mit Gleichverteilung P auf den Elementarereignissen) sowie die Zufallsvariable
[mm] $X_{n,N}:\Omega _{n,N}\rightarrow \mathbb [/mm] R : [mm] (j_1,...,j_n) \rightarrow min(j_1,...,j_n)$
[/mm]
gegeben. Bestimmen Sie den durch [mm] $X_{n,N}$ [/mm] induzierten Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $W_{n,N},P_{n,N}$. [/mm] Geben Sie dabei für die Wahrscheinlichkeiten [mm] $P_{n,N}(j)=P[X_{n,N}=j]$ [/mm] Ausdrücke ohne Verwendung des Summensymbols an.
Hinweis: Verwenden Sie an geeigneter Stelle die dritte binomische Formel:
[mm] $x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+...+xy^{n-2}+y^{n-1})$ [/mm] |
Hat da einer vielleicht einen Ansatz für mich. Den ich verstehe bei der Aufgabe grad absolut gar nichts.
Danke schon mal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
> Für [mm]n,N \in \mathbb N_+[/mm] seien der diskrete
> Wahrscheinlichkeitsraum [mm]\Omega _{n,N}=_{def} \{1,2,...,N\}^n[/mm]
> (mit Gleichverteilung P auf den Elementarereignissen) sowie
> die Zufallsvariable
> [mm]X_{n,N}:\Omega _{n,N}\rightarrow \mathbb R : (j_1,...,j_n) \rightarrow min(j_1,...,j_n)[/mm]
>
> gegeben. Bestimmen Sie den durch [mm]X_{n,N}[/mm] induzierten
> Wahrscheinlichkeitsraum [mm]W_{n,N},P_{n,N}[/mm]. Geben Sie dabei
> für die Wahrscheinlichkeiten [mm]P_{n,N}(j)=P[X_{n,N}=j][/mm]
> Ausdrücke ohne Verwendung des Summensymbols an.
>
> Hinweis: Verwenden Sie an geeigneter Stelle die dritte
> binomische Formel:
>
> [mm]x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+...+xy^{n-2}+y^{n-1})[/mm]
Ich mach dir ein Beispiel für n = 2, N = 3. Du probierst es dann allgemein.
Du hast den Raum
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{1,2,3\}^{2} [/mm] = [mm] \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1), (3,2),(3,3)\}$.
[/mm]
Außerdem ist auf diesem Raum eine Gleichverteilung gegeben, d.h. jedes der 9 Elementarereignisse hat Wahrscheinlichkeit 1/9.
Du hast nun eine Abbildung $X: [mm] \Omega \to \IR$, [/mm] die definiert ist durch
[mm] $X(j_1,j_2) [/mm] = [mm] \min(j_1,j_2)$.
[/mm]
D.h. $X$ ordnet je zwei Zahlen das Minimum zu. Wenn man weiß, dass die Elemente aus [mm] $\Omega$ [/mm] mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auftreten, dann treten auch die Ereignisse $X = a$ (d.h. X nimmt einen bestimmten Wert an) mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten auf.
Das nennt man die "durch X induzierte Verteilung".
In unserem Beispiel kann $X$ nur die Werte $1,2,3$ annehmen. (Weil [mm] $j_1,j_2$ [/mm] nur 1,2,3 sein können).
Wir bestimmen nun die Wahrscheinlichkeit für X = 1. Dazu müssen wir uns überlegen, für welche Paare [mm] $(j_1,j_2)$ [/mm] denn [mm] $X(j_1,j_2) [/mm] = 1$ ist:
[mm] $\IP(X [/mm] = 1) [mm] =\IP(\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)\} [/mm] = [mm] \frac{5}{9}$.
[/mm]
Entsprechend
[mm] $\IP(X [/mm] = 2) = [mm] \IP(\{(2,2),(2,3),(3,2)\} [/mm] = [mm] \frac{3}{9}$,
[/mm]
[mm] $\IP(X [/mm] = 3) = [mm] \IP(\{(3,3)\} [/mm] = [mm] \frac{1}{9}$.
[/mm]
> Hat da einer vielleicht einen Ansatz für mich. Den ich
> verstehe bei der Aufgabe grad absolut gar nichts.
> Danke schon mal
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Do 27.06.2013 | | Autor: | Londron |
Danke noch mal, dein Beispiel ist wirklich gut.
Also wenn du noch Ansätze zur Verallgemeinerung hast, dann nur her damit :)
Das ist bis jetzt unser Ansatz
P[x=1]= [mm] \sum^N_{i=1}(N-i)*\frac{N-1}{N^n}*(\frac{1}{N})^i
[/mm]
ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Danke noch mal, dein Beispiel ist wirklich gut.
> Also wenn du noch Ansätze zur Verallgemeinerung hast,
> dann nur her damit :)
> Das ist bis jetzt unser Ansatz
> P[x=1]= [mm]\sum^N_{i=1}(N-i)*\frac{N-1}{N^n}*(\frac{1}{N})^i[/mm]
> ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
Könnt ihr diesen Ansatz auch begründen?
Ich habe gleich zwei Ansätze für euch. Der erste ähnelt eurem:
[mm] $min(j_1,...,j_n) [/mm] = a$ bedeutet, dass eine bestimmte Anzahl $i$ der [mm] $(j_1,...,j_n)$ [/mm] genau gleich a ist, und die übrigen $n-i$ sind > a. Das führt zu
[mm] $\sum_{i=1}^{n}\vektor{n\\i} \cdot \left(\frac{N-a}{N}\right)^{n-i}* \left(\frac{1}{N}\right)^{i}$
[/mm]
Das kann man mit dem binomischen Lehrsatz vereinfachen.
----
Der zweite Ansatz nutzt einen Trick, den ihr euch merken solltet: Wir bestimmen nicht die Wahrscheinlichkeit für min(..) = a, sondern für min(...) [mm] \ge [/mm] a. Es ist nämlich
[mm] $min(j_1,...,j_n) \ge [/mm] a [mm] \gdw j_1 \ge [/mm] a, ..., [mm] j_n \ge [/mm] a$.
Damit ist
[mm] $\IP(\min(j_1,...,j_n) \ge [/mm] a) = [mm] \left(\frac{N-a+1}{N}\right)^{n}$.
[/mm]
Seht ihr, wie ihr damit [mm] $\IP(\min(j_1,...,j_n) [/mm] = a$ bestimmen könnt?
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Do 27.06.2013 | | Autor: | Londron |
Also zum ersten Beispiel können wir komplett folgen, aber beim 2ten sehen wir nicht ganz den Trick den du meinst
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Also zum ersten Beispiel können wir komplett folgen, aber
> beim 2ten sehen wir nicht ganz den Trick den du meinst
Na der Trick ist, dass [mm] $\IP(\min(j_1,...,j_n) \ge [/mm] a) = [mm] \IP(j_1 \ge [/mm] a, ..., [mm] j_n \ge [/mm] a)$ sehr leicht zu berechnen ist und
[mm] $\IP(\min(j_1,...,j_n) [/mm] = a) = [mm] \IP(\min(j_1,...,j_n) \ge [/mm] a) - [mm] \IP(\min(j_1,...,j_n) \ge [/mm] a+1)$
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Do 27.06.2013 | | Autor: | Fry |
Müsste da nicht [mm] P(min(...)\ge a)-P(min(...)\ge [/mm] a+1) stehen?
Gruß
Christian
|
|
|
| |
|
Ja da hast du recht, ich ändere es.
Danke.
Stefan
|
|
|
|
