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Forum "Uni-Stochastik" - Wahrscheinlichkeitsraum
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Wahrscheinlichkeitsraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:53 So 06.10.2013
Autor: piriyaie

Aufgabe
Bei der ersten Ziehung der Glücksspirale 1971 wurden für die Ermittlung
einer 7-stelligen Gewinnzahl aus einer Trommel, die Kugeln mit den Ziffern
0; 1; : : : ; 9 je 7mal enthält, nacheinander rein zufällig 7 Kugeln ohne
Zurücklegen gezogen.

a) Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an.
b) Welche 7-stelligen Gewinnzahlen hatten hierbei die größte und die
kleinste Ziehungswahrscheinlichkeit, und wie groß sind diese Wahrscheinlichkeiten?
c) Bestimmen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit für die Zahl 3 143 643!
d) Wie würden Sie den Ziehungsmodus abändern, um allen Gewinnzahlen
die gleiche Ziehungswahrscheinlichkeit zu sichern?

Hallo,

ich würde die obigen Aufgaben folgendermaßen lösen:

zur a)

[mm] \Omega [/mm] := { [mm] (\omega_{1}, [/mm] ..., [mm] \omega_{7}) [/mm] | [mm] \omega_{i} \in [/mm] (0, ..., 9 [mm] )^{7} \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1, ..., 7} }

richtig???

Grüße
Ali

        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:27 So 06.10.2013
Autor: tobit09

Hallo Ali,


> Bei der ersten Ziehung der Glücksspirale 1971 wurden für
> die Ermittlung
>  einer 7-stelligen Gewinnzahl aus einer Trommel, die Kugeln
> mit den Ziffern
>  0; 1; : : : ; 9 je 7mal enthält, nacheinander rein
> zufällig 7 Kugeln ohne
>  Zurücklegen gezogen.
>  
> a) Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an.

> zur a)
>  
> [mm]\Omega[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

:= $\{$ [mm](\omega_{1},[/mm] ..., [mm]\omega_{7})[/mm] | [mm]\omega_{i} \in[/mm]

> (0, ..., 9 [mm])^{7} \forall[/mm] i [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

$\{$1, ..., 7$\}$ $\}$
Hinter dem $\omega_i$ müssen die Klammern Mengenklammern, nicht runde Klammern sein, denn du möchtest ja aussagen, dass $\omega_i$ ein Element der Menge $\{0,\ldots,9\}$ sein soll.

Die hochgestellte $7$ ist ersatzlos zu streichen, denn $\omega_i$ soll ja kein 7-Tupel sein, sondern eine Zahl.

(Alternativ ginge auch die Schreibweise: $\Omega:=\{0,\ldots,9\}^7$.)

Ansonsten passt dein $\Omega$.


Zu einem Wahrscheinlichkeitsraum gehört neben der Ergebnismenge $\Omega$ noch eine Wahrscheinlichkeits-Verteilung.

Leider ist die passende Wahrscheinlichkeits-Verteilung bei deiner Wahl von $\Omega$ alles andere als offensichtlich.

Daher schlage ich (trotz deiner an sich korrekten Idee für $\Omega$) eine andere Wahl von $\Omega$ vor:

Wir registrieren als Ergebnis, welche der 70 Kugeln genau gezogen wurden und nicht nur die Aufschrift der Kugeln. Wir könnten also die Kugeln z.B. von 1 bis 70 durchnummerieren.

Geschickter ist es allerdings, z.B. für die 4. Kugel mit der Aufschrift 8 das Paar $(8,4)$ zu notieren. Allgemein denkt man sich also die Kugeln mit gleicher Aufschrift $a\in\{0,\ldots,9\}$ jeweils von 1 bis 7 durchnummeriert und repräsentiert die $j$-te dieser 7 Kugeln mit $(a,j)$. Dann entspricht die Menge der Kugeln der Menge

     $K:=\{(a,j)\;|\;a\in\{0,\ldots,9\},j\in\{1,\ldots,7\}\}=\{0,\ldots,9\}\times\{1,\ldots,7\}$.

Dann können wir

     $\Omega:=\{(\omega_1,\ldots,\omega_7)\;|\;\omega_i\in K \text{ für alle }i\in\{1,\ldots,7\},\;\omega_i\not=\omega_j\text{ für alle }i,j\in\{1,\ldots,7\}\text{ mit }i\not=j\}$

wählen.

Jetzt ist die Annahme der Laplace-Verteilung $P$ auf $\Omega$ gerechtfertigt.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Wahrscheinlichkeitsraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:29 Mo 07.10.2013
Autor: piriyaie

Ok.

Hier noch ein Lösungsvorschlag:

[mm] \Omega [/mm] := { [mm] (\omega_{1}, [/mm] ..., [mm] \omega_{7}) [/mm] | [mm] \omega_{i} \in [/mm] {1, ..., 70} [mm] \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1, ..., 7} }

[mm] \summe_{i=1}^{7} \bruch{10}{70-i+1} [/mm]

richtig???

grüße
ali

Bezug
                        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:45 Mo 07.10.2013
Autor: tobit09


> [mm]\Omega[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

:= $\{$ [mm](\omega_{1},[/mm] ..., [mm]\omega_{7})[/mm] | [mm]\omega_{i} \in[/mm]

> [mm] $\{$1, ..., 70$\}$[/mm]  [mm]\forall[/mm] i [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

$\{$1, ..., 7$\}$ $\}$
Beachte, dass die Kugeln nicht wieder zurückgelegt werden, also keine Kugel mehrfach gezogen werden kann.

> [mm]\summe_{i=1}^{7} \bruch{10}{70-i+1}[/mm]

[haee] Was ist mit dieser Zahl?

Bezug
                                
Bezug
Wahrscheinlichkeitsraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:29 Mo 07.10.2013
Autor: piriyaie

Okay, diese Zahl ist unwesentlich :-D

Aber ich habe nun meinen Wahrscheinlichkeitsraum [mm] \Omega [/mm] :=  {0,1,...,9} ^7

das Prinzip ist das Urnenmodell ohne zurücklegen aber mit der Eigenschaften
K := {(a,j) | a [mm] \in [/mm] {0,...,9}; j [mm] \in [/mm] {1,...,7}}

wenn ich nun also die Gewinnwahrscheinlichkeit für die Zahl: 3 143 643
bestimmen soll, mache ich das mit der hypergeometrischen Verteilung nach folgendem Prinzip:

[mm] \bruch{\vektor{70 \\ 7}\vektor{70 \\ 63} + \vektor{69 \\ 7}\vektor{69 \\ 62} + ... + \vektor{64 \\ 5}\vektor{64 \\ 59}}{\vektor{70 \\ 7}} [/mm]

...ist das nun ein Schritt in die Richtung oder lässt sich das noch schöner darstellen?
Und kann ich mir damit auch ein allgemeines W-Maß für alle [mm] \omega_{i} [/mm] ableiten?!


Bezug
                                        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:11 Mo 07.10.2013
Autor: tobit09


> Aber ich habe nun meinen Wahrscheinlichkeitsraum [mm]\Omega[/mm] :=  [mm] $\{$0,1,...,9$\}$ [/mm] ^7

Wie gesagt: Zu einem Wahrscheinlichkeitsraum gehört auch eine Wahrscheinlichkeits-Verteilung.

Obwohl dieses [mm] $\Omega$ [/mm] an sich korrekt wäre, ermöglicht es nicht, in einfacher Weise die passende Wahrscheinlichkeitsverteilung anzugeben.

Daher habe ich dir eine Alternative vorgeschlagen.


> wenn ich nun also die Gewinnwahrscheinlichkeit für die
> Zahl: 3 143 643
>  bestimmen soll, mache ich das mit der hypergeometrischen
> Verteilung nach folgendem Prinzip:

1. Die hypergeometrische Verteilungen sind Verteilungen auf Ergebnismengen der Form

     [mm] $\Omega=\{1,\ldots,n\}$. [/mm]

Ein plötzliches Arbeiten mit einer hypergeometrischen Verteilung passt also nicht zu unseren bisherigen Überlegungen.

2. Eine hypergeometrische Verteilung hilft uns hier auch nicht weiter: Zwar werden Kugeln aus einer Urne ohne zurücklegen gezogen. Aber es ist hier nicht nach einer "Trefferanzahl" unter den gezogenen Kugeln gefragt.


> [mm]\bruch{\vektor{70 \\ 7}\vektor{70 \\ 63} + \vektor{69 \\ 7}\vektor{69 \\ 62} + ... + \vektor{64 \\ 5}\vektor{64 \\ 59}}{\vektor{70 \\ 7}}[/mm]

Ich kann leider weder einen Sinn noch einen Bezug zu einer hypergeometrischen Verteilung erkennen.


>  Und kann ich mir damit auch ein allgemeines W-Maß für
> alle [mm]\omega_{i}[/mm] ableiten?!

Mit [mm] $\Omega:=\{0,\ldots,9\}^7$ [/mm] ist das wie gesagt nicht in naheliegender Weise möglich.

Bei dem von mir vorgeschlagenen [mm] $\Omega$ [/mm] ist das passende Wahrscheinlichkeitsmaß darauf hingegen einfach die Laplace-Verteilung auf [mm] $\Omega$. [/mm]

Zur Erinnerung:

     $ [mm] \Omega:=\{(\omega_1,\ldots,\omega_7)\;|\;\omega_i\in K \text{ für alle }i\in\{1,\ldots,7\},\;\omega_i\not=\omega_j\text{ für alle }i,j\in\{1,\ldots,7\}\text{ mit }i\not=j\} [/mm] $

mit

     [mm] $K:=\{(a,j)\;|\;a\in\{0,\ldots,9\},j\in\{1,\ldots,7\}\}=\{0,\ldots,9\}\times\{1,\ldots,7\}$. [/mm]

Das Ereignis, dass die Zahl 3 143 643 gezogen wird, entspricht dann

     [mm] $E:=\{((a_1,j_1),\ldots,(a_7,j_7))\in\Omega\;|\;a_1=3,a_2=1,a_3=4,a_4=3,a_5=6,a_6=4,a_7=3\}$. [/mm]

Es gilt somit

     [mm] $E=\{((3,j_1),(1,j_2),(4,j_3),(3,j_4),(6,j_5),(4,j_6),(3,j_7))\;|\;j_1,j_2,j_3,j_5\in\{1,\ldots,7\},j_4\in\{1,\ldots,7\}\setminus\{j_1\},j_6\in\{1,\ldots,7\}\setminus\{j_3\},j_7\in\{1,\ldots,7\}\setminus\{j_1,j_4\}\}$. [/mm]

Gesucht ist [mm] $P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}$. [/mm] Also sind zunächst [mm] $|\Omega|$ [/mm] und $|E|$ zu bestimmen.

Bezug
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