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| Aufgabe | In einer Vorlesung zur Statistik fur Wirtschaftsinformatiker an der Hochschule fur angewandte
Wissenschaften sitzen 51 Studenten bzw. Studentinnen.
Wir nehmen an, dass die Teilnehmer an dieser Vorlesung unabhangig voneinander die Eigenschaft
Rechtshander bzw. Linkshander besitzen und dass ein Student bzw. eine Studentin mit einer
Wahrscheinlichkeit von 0,08 ein Linkshander ist.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit (4 Nachkommastellen), dass genau einer der 51
Studierenden ein Linkshander ist.
b) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Anzahl der Studierenden,
die Linkshander sind (4 Nachkommastellen).
c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit (4 Nachkommastellen), dass mindestens drei der
51 Studierenden Linkshander sind. |
Hallo,
ich stehe heute irgendwie völlig auf dem Schlauch, habe die beschriebene Aufgabe vor mir und bin mir überhaupt nicht sicher, ob ich die a richtig gelöst habe oder nicht (keine lösungen vorhanden).
Lösungsweg: Binomialverteilung
P(X=1) = (51 über 1) * [mm] 0.08^1 [/mm] * (1-0.08)^50
= 51 * 0.001237
= 0.06
Somit würde die wahrscheinlichkeit, dass genau 1 von den 51 personen, linkshänder ist, bei 6% liegen. ist das richtig? Wenn nicht, ist mein Ansatz schon falsch, oder habe ich irgendwo was falsch gerechnet?.
Bei b und c bin ich leider noch ratloser, die b habe ich im moment so gelöst (weiß auch nicht, ob das so richtig ist):
E(x) = 51*0.08 = 4 (da es ja keine 0.xx personen gibt)
delt(x) = [mm] sqrt((51-4)^2 [/mm] * 0.08) = 13.2936
Bei c war meine überlegung, dass es ja 1- P(genau 1)*P(genau 2)
damit kam ich auf 0.9918, was mir aber viel zu hoch erscheint, also habe ich einfen fehler drin ...
P = 1 - ( (0.06) * ( (51 über 2) * [mm] 0.08^2 [/mm] * (1-0.08)^49 ) )
Ich bedanke mich im vorraus für eure hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> In einer Vorlesung zur Statistik fur
> Wirtschaftsinformatiker an der Hochschule fur angewandte
> Wissenschaften sitzen 51 Studenten bzw. Studentinnen.
> Wir nehmen an, dass die Teilnehmer an dieser Vorlesung
> unabhangig voneinander die Eigenschaft
> Rechtshander bzw. Linkshander besitzen und dass ein
> Student bzw. eine Studentin mit einer
> Wahrscheinlichkeit von 0,08 ein Linkshander ist.
> a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit (4
> Nachkommastellen), dass genau einer der 51
> Studierenden ein Linkshander ist.
> b) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die
> Standardabweichung der Anzahl der Studierenden,
> die Linkshander sind (4 Nachkommastellen).
> c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit (4
> Nachkommastellen), dass mindestens drei der
> 51 Studierenden Linkshander sind.
>
>
> ich stehe heute irgendwie völlig auf dem Schlauch, habe
> die beschriebene Aufgabe vor mir und bin mir überhaupt
> nicht sicher, ob ich die a richtig gelöst habe oder nicht
> (keine lösungen vorhanden).
>
> Lösungsweg: Binomialverteilung
Das ist schonmal der richtige Ansatz. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> P(X=1) = (51 über 1) * [mm]0.08^1[/mm] * (1-0.08)^50
> = 51 * 0.001237
> = 0.06
>
[mm] P(X=1)\approx{0.0631}
[/mm]
wäre im Sinne der Aufgabe die richtige Antwort, da ja durchgehend vier Nachkommastellen verlangt werden.
> Somit würde die wahrscheinlichkeit, dass genau 1 von den
> 51 personen, linkshänder ist, bei 6% liegen. ist das
> richtig? Wenn nicht, ist mein Ansatz schon falsch, oder
> habe ich irgendwo was falsch gerechnet?.
Wie gesagt: richtig, bis auf die Rechengenauigkeit.
>
> Bei b und c bin ich leider noch ratloser, die b habe ich im
> moment so gelöst (weiß auch nicht, ob das so richtig
> ist):
> E(x) = 51*0.08 = 4 (da es ja keine 0.xx personen gibt)
Hier lautet das korrekte Resultat
E(X)=51*0.08=4.08
Deine Logik in der Klammer kann man auf einen Erwartungswert nicht anwenden. So ist beispielsweise der Erwartungswert für die Augenzahl beim Würfeln 3.5, obwohl sicherlich noch nie jemand eine 3.5 gewürfelt hat. Diese Rundung auf ganzzahlige Ergebnisse kommt ja auch stets erst dann in Frage, wenn ein Rechenergebnis auf eine reale Situation angewendet bzw. interpretiert werden soll, wo dann eben nur ganzzahlige Werte Sinn eregeben.
> delt(x) = [mm]sqrt((51-4)^2[/mm] * 0.08) = 13.2936
Das kann ich jetzt nicht mehr nachvollziehen. Die Formel für die Standardabweichung der Binomiualverteilung lautet
[mm] \sigma=\wurzel{n*p*(1-p)}
[/mm]
Was hier auf ca. 1.9374 führt. Schreibt ihr wirklich 'delta' für die Standardabweichung?
> Bei c war meine überlegung, dass es ja 1- P(genau
> 1)*P(genau 2)
> damit kam ich auf 0.9918, was mir aber viel zu hoch
> erscheint, also habe ich einfen fehler drin ...
> P = 1 - ( (0.06) * ( (51 über 2) * [mm]0.08^2[/mm] * (1-0.08)^49 )
> )
>
Hier ist dir ein Denkfehler unterlaufen. Die Überlegung mit dem Gegenereignis war schon richtig, das Gegenereignis heißt jedoch: höchstens zwei Studenten sind Linkshänder. Das bedeutet, man muss mit der kumulierten Binomialverteilung rechnen, es geht also um
[mm] P(X\ge{3})=1-P(X\le{2})
[/mm]
Gruß, Diophant
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Erstmal ein riesen Dankeschön für die ausführliche und sehr kompetente Antwort.
Was den Erwartungswert angeht, hab ich das grad im buch auch so gefunden, danke für den Tipp.
Jetzt nochmal zur c). Das heißt ja ich muss die Wahrscheinlichkeit von P(X=1) und P(X=2) und P(X=0) zusammenzählen und das Ergebniss von 1 abziehen.
[mm] P(X\ge3) [/mm] = 1- (( [mm] \vektor{51 \\ 0} [/mm] * [mm] 0.08^0 [/mm] * (1-0.08)^51 ) + ( [mm] \vektor{51 \\ 1} [/mm] * [mm] 0.08^1 [/mm] * (1-0.08)^50 ) + ( [mm] \vektor{51 \\ 2} [/mm] * [mm] 0.08^2 [/mm] * (1-0.08)^49 ))
= 1 - ( 0.014229 + 0.063103 + 0.137181 )
= 1 - 0.214513
= 0.7855
Alles ohne zwischenergebnisse in Taschenrechner: [mm] \approx0.7855 [/mm] (hier sind wohl die rundungsfehler nicht so gravierend gewesen)
Ist diesmal die Rechnung (und das Ergebniss) richtig?
Danke für die Hilfe!
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Hallo,
> Erstmal ein riesen Dankeschön für die ausführliche und
> sehr kompetente Antwort.
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> Was den Erwartungswert angeht, hab ich das grad im buch
> auch so gefunden, danke für den Tipp.
>
> Jetzt nochmal zur c). Das heißt ja ich muss die
> Wahrscheinlichkeit von P(X=1) und P(X=2) und P(X=0)
> zusammenzählen und das Ergebniss von 1 abziehen.
> [mm]P(X\ge3)[/mm] = 1- (( [mm]\vektor{51 \\ 0}[/mm] * [mm]0.08^0[/mm] * (1-0.08)^51 )
> + ( [mm]\vektor{51 \\ 1}[/mm] * [mm]0.08^1[/mm] * (1-0.08)^50 ) + (
> [mm]\vektor{51 \\ 2}[/mm] * [mm]0.08^2[/mm] * (1-0.08)^49 ))
> = 1 - ( 0.014229 + 0.063103 + 0.137181 )
> = 1 - 0.214513
> = 0.7855
> Alles ohne zwischenergebnisse in Taschenrechner:
> [mm]\approx0.7855[/mm] (hier sind wohl die rundungsfehler nicht
> so gravierend gewesen)
>
>
> Ist diesmal die Rechnung (und das Ergebniss) richtig?
>
Ja, ich bekomme exakt das gleiche und auch dein Ansatz stimmt.
Als kleiner Hinweis sei gesagt, dass man bei immer mehr modernen Taschenrechnern, also nicht mehr nur bei GTR und CAS, die kumulierte Binomialverteilung an Bord hat unter Namen wie binomcdf oder Binomialcdf o.ä. Damit könnte man (so man die Möglichkeit hat) das oben richtigerweise verwendete Aufsummieren von Einzelwahrschienlichkeiten verhindern.
Gruß, Diophant
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