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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Sash111 |
| Aufgabe | Ein Sportschuhhersteller verkündet, dass sein neues Produkt bei 99% seiner Kunden die Sprintleistung verbessern wird.
d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 950 Kunden bei mindestens 12 von diesen keine Verbesserung der Sprintleistung eintritt. |
Hallo,
ich bin die ganze Zeit am überlegen, wie ich auf ein Ergebnis komme.
Ich wollte die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der summierten binomialen
Wahrscheinlichkeitstabelle ablesen, aber meine geht nur bis n=200.
Die Aufgabe mit der Bernoulli Formel P(X=k)=$ [mm] \vektor{n \\ k}\cdot{}p^{k}\cdot{}q^{n-k} [/mm] $ zu berechnen, würde glaub ich zulange dauern, da man für k=12 bis k=950 in die Formel einsetzen und addieren müsste.
Ich würde mich sehr freuen wenn jemand mir einen Denkanstoß geben könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MfG Sash111
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Sa 03.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo,
die Normalverteilung [mm] N(\sigma,\mu) [/mm] approximiert die Binomialverteilung genau genug, falls die Varianz, also n*p*(1-p)> 9 ist.
LG
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:19 So 04.03.2007 | | Autor: | Sash111 |
Danke für deine Antwort heyks.
Ich hab im meinen Mathematikbuch nachgeschaut, weil ich nicht mehr genau weiss, wie man bei einer Normalverteilung rechnet.
[mm] \mu=n\*p*q=950\*0,99\*(1-0,99) [/mm] = 9,405 > 9
Eingesetzt in die Formel: [mm] P(X>a)=1-\Phi(a-\mu)/2 [/mm]
[mm] P(X>11)=1-\Phi(11-9,405)/2
[/mm]
[mm] P(X>11)=1-\Phi(0,7975)
[/mm]
Und jetzt weiss ich nicht mehr wie man P(X>11) ausrechnet da ich [mm] \Phi [/mm] nicht kenne.
Wäre nett, wenn mir das nochmal jemand erläutern könnte, wie man das genau berechnet. Ich hoffe mein Ansatz ist zumindest richtig.
MfG Sash111
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:02 So 04.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Sasha,
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> [mm]\mu=n\*p*q=950\*0,99\*(1-0,99)[/mm] = 9,405 > 9
Das ist nicht der Erwartungswert, das ist die Varianz , der Erwartungswert ist: [mm] \mu=n\*p
[/mm]
Die Varianz ist [mm] \sigma^2 [/mm] = [mm] n\*p*(1-p).
[/mm]
Die Standartabweichung ist [mm] \sigma [/mm] = [mm] \wurzel {n\*p*(1-p)}
[/mm]
>
>
> Und jetzt weiss ich nicht mehr wie man P(X>11) ausrechnet
> da ich [mm]\Phi[/mm] nicht kenne.
Um die W-keit [mm] P(X\ge [/mm] 12 ) =1- [mm] P(X\le11) [/mm] auszurechnen, mußt du erst die Variable transformieren, d.h. statt [mm] \Phi(11) [/mm] mußt du [mm] \Phi(\bruch{11-\mu}{\sigma}) [/mm] berechnen.
>
> Wäre nett, wenn mir das nochmal jemand erläutern könnte,
> wie man das genau berechnet. Ich hoffe mein Ansatz ist
> zumindest richtig.
>
> MfG Sash111
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 So 04.03.2007 | | Autor: | Sash111 |
Danke für die Hilfe.
> Um die W-keit [mm]P(X\ge[/mm] 12 ) =1- [mm]P(X\le11)[/mm] auszurechnen, mußt
> du erst die Variable transformieren, d.h. statt [mm]\Phi(11)[/mm]
> mußt du [mm]\Phi(\bruch{11-\mu}{\sigma})[/mm] berechnen.
Ich hab jetzt versucht es so auszurechnen.
Mein Lösungsweg:
[mm] P(X\ge12)=1-\Phi\left(\bruch{(11-n*p)}{\wurzel{n*p*(1-p)}}\right)
[/mm]
[mm] P(X\ge12)=1-\Phi\left(\bruch{(11-950*0,01)}{\wurzel{950*0,99*0,01}}\right)
[/mm]
[mm] P(X\ge12)=1-\Phi\left(\bruch{11-9,5}{3,06676}\right)
[/mm]
[mm] P(X\ge12)=1-\Phi(0,5)
[/mm]
[mm] P(X\ge12)=1-0,6915 [/mm] -> aus der Tabelle der Normalverteilung entnommen
[mm] P(X\ge12)=0,3085
[/mm]
Ist das Ergebnis und der Weg so richtig ?
MfG Sash111
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 So 04.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hi sascha,
> Mein Lösungsweg:
>
> [mm]P(X\ge12)=1-\Phi\left(\bruch{(11-n*p)}{\wurzel{n*p*(1-p)}}\right)[/mm]
>
> [mm]P(X\ge12)=1-\Phi\left(\bruch{(11-950*0,01)}{\wurzel{950*0,99*0,01}}\right)[/mm]
>
Der Weg ist richtig, aber du hast p und (1-p) vertauscht.
LG
Heiko
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Der Übergang von der Binomial- zur Normalverteilung von Gauss beruht rechnerisch auf einer Ähnlichkeits-Abbildung, zu der du nur so etwas wie Dreisatzrechnung brauchst (also nicht nötig, die Transformationsformeln auswendig zu lernen). Die gesuchte Binomialverteilung sieht fast genau so aus wie die Normalverteilung, wenn np(1-p)>9 ist: Sie ist nur auf der x-Achse verschoben und verbreitert/verschmälert und dadurch erniedrigt/erhöht (da die Fläche darunter immer 1 geben muss).
Merke dir folgendes Verfahren:
1. Stelle fest, wo der Erwartungswert für "Verbesserung" liegt: [mm] \mu [/mm] = np.
Dieser Wert entspricht auf der Gauss-Kurve dem Wert z = 0. (Man nimmt auf der Gausskurve meist z statt x als Argument). Hier - wenn die Behauptung stimmt - 950*0,99 =940,5
2. Stelle fest, wieviel die von dir betrachtete Grenze links oder rechts von [mm] \mu [/mm] abweicht. (Hier: 12 oder mehr keine Verbesserung, also Verbesserung bei maximal 938. Da 238 "erlaubt" ist, 239 aber nicht und da die Gaussverteilung im Gegensatz zur Binomialverteilung stetig ist, nimmt man eigentlich nun als Grenze 238,5. Dieser Wert liegt um 2 links von [mm] \mu.
[/mm]
3. Ist die Binomialkurve sehr breit auseinandergezogen, sind 2 nicht viel, ist sie sehr schmal, dann wohl. Deshalb
wird die Abweichung 2 mit [mm] \sigma =\wurzel{np(1-p)} [/mm] verglichen: z = [mm] \bruch{X-\mu}{\sigma} [/mm]
4. Nun Schaust du dir den Gauss-Graphen an: Dort identifiziertst du z=0 mit [mm] \mu [/mm] (dort liegt bei beiden Kurven der Hochpunkt). Da das in 3 errechnete z dir angibt, wieviel % von [mm] \sigma [/mm] das x von [mm] \mu [/mm] abweicht, und da bei der Gauss-Kurve [mm] \sigma [/mm] = 1 ist, (*) liegt auf der Binomial-Kurve der X-Wert genau da, wo auf der Gausskurve der z-Wert liegt. (Wenn dir das Satzende ab (*) klar ist, hast du alles verstanden.)
5. Die Werte der [mm] \Phi [/mm] -Funktion sagen dir nun, wie groß die Fläche zwischen dem Graphen der Gauss-Funktion und der x-Achse von [mm] -\infty [/mm] bis z ist, also die Wahrscheinlichkeit, dafür, in diesen Bereich zu fallen. Das stimmt aber (fast) genau überein mit der Wahrscheinlichkeit bei der Binomialverteilung von 0 bis X zu liegen.
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