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| Aufgabe | In einer Urne befinden sich 35 Kugeln. Davon sind 20 schwarz und der Rest rot. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, dass von 5 entnommenen Kugeln
a) genau 3 schwarz und 2 rot sind,
b)höchstens 3 schwarz und mindestens 3 rot sind,
c) mindestens 2 schwarz und mindestens 4 rot sind
Die Kugeln werden nacheinander gezogen und nicht zurückgelegt. Die Reihenfolge soll keine Rolle spielen. |
Kann mir jemand mit der Lösung behilflich sein;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Mo 21.05.2007 | | Autor: | uwe-b |
Bei der c) kann was nicht stimmen:
Wenn man mindestens 2 schwarze und mindestens 4 rote ziehen will, muss man doch mind. 6 Kugeln ziehen. Aber in der Aufgabe steht, dass man 5 Kugeln zieht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 Mo 21.05.2007 | | Autor: | Dansun1981 |
bei der c) ist gemeint, wie hoch die wahrscheinlichkeit ist, dass von den gezogenen 5 kugeln mindestens 2schwarz oder mind 4 rot sind
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Mo 21.05.2007 | | Autor: | uwe-b |
Ist dies bei b) auch der Fall?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Mo 21.05.2007 | | Autor: | Dansun1981 |
ja,dass ist bei b)auch der fall
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Mo 21.05.2007 | | Autor: | uwe-b |
Also du kannst hast insgesamt 35 Kugeln wobei 5 gezogen werden.
Dann hast du insgesamt [mm] {35 \choose 5}[/mm] Möglichkeiten.
a) Genau 3 schwarze und 2 rote: [mm] \frac{ {20 \choose 3} * {15 \choose 2}} { {35 \choose 5} [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Mo 21.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin daniel,
zu b) höchstens 3 schwarze kugeln o d e r mindestens 3 rote kugeln
im prinzip ist das derselbe ansatz, den dir uwe schon mitgeteilt hat zu a).
es handelt sich um eine hypergeometrische verteilung.
hier ist nur zu beachten, dass man nicht wahrscheinlichkeiten doppelt berechnet.
ich definiere mir meine zufallsvariable X als: anzahl der gezogenen schwarzen kugeln.
1. höchstens drei schwarze kugeln:
P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
jeweils nach der formel:
P(X=n) = [mm] \bruch{ \vektor{20 \\ n} \vektor{15 \\ 5-n}}{\vektor{35 \\ 5}}
[/mm]
die allgemeine formel findest du in deiner formelsammlung; ich habe schon mal die vorgegebenen größen eingesetzt.
2. mindestens drei rote kugeln
ich definiere mir meine zufallsvariable Y als: anzahl gezogener roter kugeln.
P(Y=3) + P(Y=4) + P(Y=5)
die beiden wahrscheinlichkeiten wären dann schließlich noch zu addieren.
zu beachten ist, dass
P(Y=3) [mm] \hat= [/mm] P(X=2)
P(Y=4) [mm] \hat= [/mm] P(X=1)
P(Y=5) [mm] \hat= [/mm] P(X=0)
=> also muss ich den zweiten teil gar nicht weiter berechnen, da dieser ja schon im 1. teil berücksichtigt wurde.
entsprechendes gilt für aufgabe c).
gruß
wolfgang
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Es gibt ja immer viele Wege, die nach Rom führen.
Zu Aufgabe a) ist es m.E. am Anschaulichsten, wenn man sich vorstellt, dass zuerst die 3 Schwarzen gezogen werden sollen.
Dafür ist die Wahrscheinlichkeit:
[mm] \bruch{20}{35}*\bruch{19}{34}*\bruch{18}{33}
[/mm]
und dann die 2 Roten. Dafür ist die Wahrscheinlichkeit:
[mm] \bruch{15}{32}*\bruch{14}{31}
[/mm]
Da die Reihenfolge jedoch keine Rolle spielt, muss man das ganze noch mit der Anzahl der möglichen Reihenfolgen multiplizieren.
Das sind [mm] \bruch{5*4*3*2*1}{1*2*3*1*2}
[/mm]
(Im Nenner werden die Schwarzen und die Roten untereinander getauscht)
Das sieht vielleicht alles kompliziert aus, aber so kann man sich das Schritt für Schritt erklären.
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