Wahrscheinlichkeitsrechnung < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Mo 09.02.2009 | | Autor: | myri3011 |
| Aufgabe | Die Klasse 6 e macht beim Schulfest ein Quiz. Jeder Kandidat hat 10 Fragen zu beantworten. Bei jeder Frage entscheidet der Zufall, aus welchem Sachgebiet die Frage ist. Der Kanditat muss jedes Mal mit verbundenen Augen aus der Urne eine Kugel ziehen. Rot bedeuttet "Sport", blau "Musik" und grün "Film". Die Kugel wird nach jedem Zug wieder in die Urne gelegt.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dem Kandidat eine Frage aus dem Sachgebiet Film (Sport,Musik) gestellt? 9/10? Keine Ahnung!?????
b)Peter aus der 6 a beschwert sich: Ihr habt geschummelt. Ich hatte bei 10 Fragen nur Fragen über Filme. "Was meint Ihr, hat die 6 e geschummelt?
Keine Ahnung!???????
Hilfe!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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Ich habe keine Ahnung wie ich das rechnen soll?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo myri3011, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Normalerweise wirst Du hier bei Sätzen wie "ich habe keine Ahnung, wie ich das rechnen soll" oder "Hilfe", womöglich noch gefolgt von vielen Ausrufungszeichen, schnell ermahnt, dass wir eigene Lösungsansätze erwarten und Du doch bestimmt die Forenregeln gelesen hast...
Das schreibe ich auch öfter, aber bei Deiner Aufgabe geht es mir ähnlich wie Dir. Kein Wunder, dass Du nicht weißt, was Du da rechnen sollst, die Angaben sind nämlich nicht vollständig. Und das wahrscheinlich absichtlich.
Die 6a kennt nur die Regeln. Es gibt Kugeln in drei Farben, die Farbe entscheidet über die Art der Frage. Es werden nicht weniger Kugeln, es wird ja immer zurückgelegt. In jedem Zug haben die Farben die gleiche Wahrscheinlichkeit wie in jedem anderen.
Normalerweise würde man ja vermuten, dass genau gleich viele rote, blaue und grüne Kugeln in der Urne liegen. Aber wer sagt das eigentlich?
Wenn es so wäre, dann würde sich die 6a zu Recht wundern.
Die Wahrscheinlichkeit, zehnmal hintereinander eine grüne Kugel zu ziehen, wäre [mm] \left(\bruch{1}{3}\right)^{10}, [/mm] das sind ungefähr 0,0017%, kommt also etwa alle 60000 Versuche einmal vor (genauer: 59049).
Vielleicht hat die 6e aber gar nicht gemogelt.
Es könnte ja auch eine rote, eine blaue, und mehrere grüne Kugeln in der Urne liegen. Nehmen wir mal an, es wären insgesamt 10 Kugeln, davon 8 grün.
Dann wäre die Wahrscheinlichkeit, zehnmal hintereinander grün zu ziehen, schon höher, etwa 10,74%.
Und jetzt bist Du dran: wie rechnet man das?
Und wenn Du das raus hast, kannst du ja mal ausprobieren, wieviel grüne Kugeln es sein müssten (und weiter nur eine rote und eine blaue), damit die Wahrscheinlichkeit, zehnmal hintereinander grün zu ziehen, auf über 50% steigt.
Liebe Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mo 09.02.2009 | | Autor: | myri3011 |
Hallo reverend,
erst einmal vielen Dank für dir prompte Hilfe! Hier ist der Papa von Myri3011:
Es gaibt folgendes Problem: Meine Tochter war über einen längeren Zeitraum krank und in diesem wurde dieses Thema bearbeitet. Ich habe davon nicht die leiseste Ahnung, kannn somit meiner Tochter auch nicht helfen. Sie hat diese Aufgabe einfach nicht verstanden, sie kommt nicht einmal auf den Rechenweg, vernünftig erklärt wurde es ihr auch nicht. Selbstverständlich sollen Forenregeln eingehalten werden und unfreundlich ist auch niemand, aber in diesem Fall weiss die Famiieie keinen Rat mehr und benötigt auch die Antwort, bzw. den Rechenweg der Frage A! Auch dieses wird im Forum wahrscheinlich verwerflich sein, doch wissen weder meine Tochter noch ich weiter. Wir rätseln seit ca. 5 Std. und haben nicht den Hauch einer Idee!
Viele Grüsse
Myri3011 (Papa)
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Aber, aber...
Guten Abend!
Da habe ich mich wohl ungeschickt ausgedrückt. Bei dieser Aufgabe dürfte es schwer fallen, die Forenregeln zu verletzen, und das wollte ich augenzwinkernd sagen. Die Aufgabe ist darin gemein, dass man sie mit den gegebenen Informationen überhaupt nicht rechnen kann.
Meine beiden Töchter (13,14) waren glücklicherweise noch nicht in dieser Lage, aber vorstellen kann ich sie mir schon.
In der Aufgabe fehlt die Angabe, wieviele Kugeln es eigentlich von welcher Farbe gibt. Wir dürfen wohl annehmen, dass mindestens eine rote und eine blaue dabei ist, sonst wäre die Information der 6e ja unfair. Ansonsten sind die Regeln klar formuliert, aber die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Farben unbekannt.
Die Wahrscheinlichkeiten für rot und blau kommen in der Aufgabe ja nicht vor, nur die für grün. Ich betrachte daher im folgenden auch nur diese.
Nehmen wir den einfachsten Fall: je eine Kugel von jeder Farbe. Es ist gleich wahrscheinlich, eine der Farben zu ziehen, egal welche man betrachtet. Insgesamt addieren sich die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Fälle immer zu 1, so dass klar ist:
[mm] p(\text{grün})=p(\text{rot})=p(\text{blau})
[/mm]
und [mm] p(\text{grün})+p(\text{rot})+p(\text{blau})=1
[/mm]
Daraus lässt sich nun leicht [mm] p(\text{grün})=\bruch{1}{3} [/mm] ermitteln, was ja auch intuitiv einleuchtet: in durchschnittlich einem Drittel der Fälle wird grün gezogen.
Nun sind die Züge untereinander unabhängig.
Wenn die Wahrscheinlichkeit im ersten Zug 1/3 beträgt, dann auch im zweiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass in beiden Zügen grün gezogen wird, ist dann [mm] \bruch{1}{3}*\bruch{1}{3}=\bruch{1}{9}
[/mm]
Das heißt also, wenn ich eine Versuchsreihe unternehme, wie oft ich in zwei Zügen zweimal grün hintereinander ziehe, dann wird das auf lange Sicht nur in jedem neunten Versuch zutreffen, manchmal zwar zwei- oder mehrmals hintereinander, dann wieder lange Zeit nicht, aber im Durchschnitt wird es stimmen.
Bei fünf Zügen sinkt die Wahrscheinlichkeit schon auf [mm] \bruch{1}{3}*\bruch{1}{3}*\bruch{1}{3}*\bruch{1}{3}*\bruch{1}{3}=\bruch{1}{243} [/mm] und bei zehn Zügen eben auf die angegebenen [mm] \bruch{1}{59049}=0,000017\equiv [/mm] 0,0017%
Das riecht nach Betrug.
Wenn aber z.B. 8 grüne, 1 blaue, 1 rote Kugel in der Urne sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, in einem beliebigen Zug grün zu ziehen, schon [mm] \bruch{8}{10}, [/mm] weil ja 8 von 10 Kugeln grün sind. Für zehn Züge ist die Wahrscheinlichkeit dann [mm] \left(\bruch{8}{10}\right)^{10}=0,107374...
[/mm]
Natürlich kann man meine letzte Zusatzfrage aus der ersten Antwort exakt rechnen, aber man muss nicht lange probieren, um herauszufinden, dass die 6a vielleicht ganz anders vorgegangen ist, um die Urne zu füllen: bei 28 grünen, einer roten und einer blauen Kugel beträgt die Wahrscheinlichkeit, zehnmal hintereinander grün zu ziehen, schon mehr als 50%.
Vielleicht gab es ja die rote und die blaue Kugel im Fundus der Lehrerin, und die ganze Klasse hat pro Person noch eine grüne Kugel eingebracht?
Wie gesagt, die Aufgabe ist ein bisschen gemein, weil man sie nicht rechnen kann, ohne Dinge anzunehmen und auch auszuprobieren. Darin ist sie sehr realitätsnah, aber für die Mittelstufe ungewöhnlich.
Kommen Sie, lieber Vater, oder auch myri selbst aber gern mit weiteren Fragen, ob zu dieser Aufgabe oder zu anderen - wir sind hier gar nicht so abweisend, wie ich offenbar zuerst geklungen habe. Das war nicht so gemeint, sonst hätte ich auch schon beim ersten Mal nicht so viel geschrieben.
Nichts für ungut also,
und herzliche Grüße aus dem nördlichen Sauerland,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:18 Mo 09.02.2009 | | Autor: | myri3011 |
Hallo reverend,
vielen herzlichen Dank für Ihre Ausführungen. Wir haben versucht , diesen zu folgen, kamen aber auf der Fragestellung des Lehresrs zu keinem vernünftigen Ergebnis. Soeben bakamen wir eine Mail vom Lehrer, nachdem wir Ihn mit unserem neuen Fachwissen konfrontiert haben, worin es heisst, das sich in der Urne je 3 blaue , 3 rote und 3 grüne Kugeln befinden. Dieses war leider auf dem Script meiner Tochter nicht vermerkt und Sie haben jetzt für Gott und die Welt gerechnet, aber aufgrund unzureichender Informationen für die Katz!
Ich möchte mich hiermit in aller Form bei Ihnen entschuldigen und mich bei Ihnen für Ihren Mühen noch einmal bedanken.
Diese Hausaufgabe wird in der Schule sicherlich noch ein kleines verbales (freundliches) Nachspiel haben.
Viele Grrüsse
myri3011 (Papa)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:38 Mo 09.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
kein Problem. Das passiert ja leider häufig bei der Übermittlung von Aufgaben.
Bei 3 roten, 3 blauen und 3 grünen Kugeln liegen die Wahrscheinlichkeiten genauso wie bei 1 roten, 1 blauen und 1 grünen Kugel oder überhaupt bei genau gleicher Verteilung.
Das war nun schon berechnet. Die Wahrscheinlichkeit, zehnmal hintereinander grün zu ziehen, ist verschwindend gering, 1/59049. Auch wenn man es ihnen so nicht beweisen kann, hat die Klasse nahezu sicher gemogelt. Für den Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung allerdings ist das überhaupt keine Aussage. Es gewinnen ja auch Leute im Lotto, was ziemlich unmöglich ist. Eigentlich sogar nahezu sicher unmöglich.
Übrigens ist auch eine unvollständige oder vorerst falsch gerechnete Aufgabe immer auch ein bisschen Lerngewinn. Insofern habe ich keinen Grund, verärgert zu sein, und ich hoffe, Sie auch nicht. Ich würde nicht einen guten Teil meiner Freizeit in dieses Projekt investieren, wenn es mir nicht Spaß machen würde, immer wieder neue Aufgaben zu durchdenken und - so gut ich kann - zu erklären oder Tipps zu geben.
Ein paar Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung (eines der fallenreichsten Gebiete der Mathematik) kamen ja auch schon zur Sprache; das holt noch keine fünf Wochen Krankheit auf, ist aber ein Anfang. 
Herzliche Grüße,
reverend
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