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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Fr 07.01.2011 | | Autor: | LuisA44 |
| Aufgabe | | Der Aufzug eines vierstöckigen Gebäudes (mit den Etagen 0 bis 4) befördert drei Personen von 0 aufwärts. Wetten Sie dafür oder dagegen, dass mind. zwei im gleichen Stock aussteigen? |
Hallo Forum,
also probiere gerade diese Aufgabe und habe dazu eine Frage:
Reicht es hier einfach den Erwartungswert auszurechnen?
Dann wäre
EX: [mm] \bruch{1}{4}(1+2+3)=\bruch{3}{2}
[/mm]
Also wette dagegen, denn nach dem Erwartungswert steigen höchstens 2 pro Stock aus.
Wäre über eine Antwort sehr dankbar
Grüße
LuisA44
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> Der Aufzug eines vierstöckigen Gebäudes (mit den Etagen 0
> bis 4) befördert drei Personen von 0 aufwärts. Wetten Sie
> dafür oder dagegen, dass mind. zwei im gleichen Stock
> aussteigen?
> Hallo Forum,
> also probiere gerade diese Aufgabe und habe dazu eine
> Frage:
>
> Reicht es hier einfach den Erwartungswert auszurechnen?
> Dann wäre
> EX: [mm]\bruch{1}{4}(1+2+3)=\bruch{3}{2}[/mm]
>
Was ist das für eine Zufallsvariable, also wie ist sie definiert?
Du könntest es mit den W-keiten ausrechnen, d.h. in jedem Stockwerk berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass 2 oder 3 aussteigen und alles addieren.
Ab dem zweiten Stock gibt es halt verschiedene Möglichkeiten, je nachdem was vorher passiert ist.
> Also wette dagegen, denn nach dem Erwartungswert steigen
> höchstens 2 pro Stock aus.
>
>
> Wäre über eine Antwort sehr dankbar
> Grüße
> LuisA44
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Fr 07.01.2011 | | Autor: | LuisA44 |
hallo weightgainer,
erstmal danke für deine Antwort.
> Was ist das für eine Zufallsvariable, also wie ist sie
> definiert?
Die Zufallsvariable ist doch [mm] X\ge [/mm] 2 oder? Und X gibt die Anzahl der Personen an, die in Stock soundso aussteigen.
> Du könntest es mit den W-keiten ausrechnen, d.h. in jedem
> Stockwerk berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass 2 oder
> 3 aussteigen und alles addieren.
Ok das habe ich probiert (und hoffe es richtig gemacht zu haben)
Im ersten Stock ist [mm] P(X\ge 2)=\bruch{1}{2}, [/mm] weil entweder 0, 1, 2 oder 3 aussteigen können und 2 und 3 sind [mm] \ge [/mm] 2 also [mm] \bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}=\bruch{1}{2}
[/mm]
Im zweiten Stock:
1.Möglichkeit: Im ersten Stock ist einer ausgestiegen und im zweiten steigen zwei aus.
2.Möglichkeit: Im ersten Stock ist keiner ausgestiegen, also können entweder 2 oder 3 noch aussteigen.
Also: [mm] 3*(\bruch{1}{4})^2
[/mm]
Im 3. Stock gibt es 4 Möglichkeiten, also [mm] 4*(\bruch{1}{4})^3
[/mm]
Im 4.Stock gibt es 4 Möglichkeiten, also [mm] 4*(\bruch{1}{4})^4
[/mm]
Also wenn dann alles zusammen addiert wird folgt
[mm] P(X\ge 2)=2*\bruch{1}{4}+3*(\bruch{1}{4})^2+4*(\bruch{1}{4})^3+4*(\bruch{1}{4})^4=\bruch{49}{64}
[/mm]
Ist das so richtig? Hast du das so gemeint?
Wenn es richtig ist, dann wette ich dafür.
Liebe Grüße
LuisA44
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> hallo weightgainer,
> erstmal danke für deine Antwort.
>
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> > Was ist das für eine Zufallsvariable, also wie ist sie
> > definiert?
>
> Die Zufallsvariable ist doch [mm]X\ge[/mm] 2 oder? Und X gibt die
> Anzahl der Personen an, die in Stock soundso aussteigen.
Der erste Satz ist sicher falsch. Der zweite Satz ist besser, aber zeigt auch direkt das Problem, denn wir brauchen so etwas wie: "X bezeichnet die Anzahl der Personen, die im 1-ten Stock aussteigen" und das ist eine andere als du dann im 2., 3. und 4. Stock brauchst.
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>
> > Du könntest es mit den W-keiten ausrechnen, d.h. in jedem
> > Stockwerk berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass 2 oder
> > 3 aussteigen und alles addieren.
>
> Ok das habe ich probiert (und hoffe es richtig gemacht zu
> haben)
>
> Im ersten Stock ist [mm]P(X\ge 2)=\bruch{1}{2},[/mm] weil entweder
> 0, 1, 2 oder 3 aussteigen können und 2 und 3 sind [mm]\ge[/mm] 2
> also [mm]\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}=\bruch{1}{2}[/mm]
Das ist etwas zu einfach gedacht. Du gehst ja davon aus, dass jeder der 3 Leute zu [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] in einem Stockwerk aussteigt. Dann ist es doch nicht realistisch, dass es gleich wahrscheinlich ist, dass alle drei im 1. Stock aussteigen oder keiner!
Wenn man mal versucht, da ein (mit der Aufgabenstellung vermengtes) Modell draus zu basteln, dann könnte das so aussehen:
In einer Urne sind 4 Kugeln, eine rote und 3 weiße. Diese Urne steht im Aufzug drin. Im ersten Stock zieht jetzt jeder der 3 Leute eine Kugel und legt sie wieder zurück. Zieht jemand die rote, steigt die Person aus, sonst bleibt sie drin.
[mm] X_1: [/mm] Anzahl der gezogenen roten Kugeln (= Anzahl der aussteigenden Leute im 1. Stock)
[mm] $P(X_1=0) [/mm] = [mm] 1*\left(\frac{1}{4}\right)^{0}*\left(\frac{3}{4}\right)^{3}$
[/mm]
Denn es gibt nur eine Möglichkeit, dass keiner eine rote Kugel zieht und das passiert jeweils mit einer W-keit von [mm] \frac{3}{4}.
[/mm]
[mm] $P(X_1=1) [/mm] = [mm] 3*\left(\frac{1}{4}\right)^{1}*\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$
[/mm]
Jede der drei Personen kann nun die eine rote Kugel ziehen.
usw.
Sobald der erste Stock vorbei ist, kommen nur noch 3, d.h. aus der Urne muss eine weiße Kugel entnommen werden.
Deswegen ändert sich in jedem Stock auch die W-keit dafür, dass jemand aussteigt und der Rest ist Unsinn.
Was stimmt, ist jeweils die Anzahl der Möglichkeiten, die es gibt, nämlich 3, 4 und 4 für die nächsten 3 Stockwerke.
Nur sind diese Möglichkeiten nicht alle gleich wahrscheinlich.
>
> Im zweiten Stock:
> 1.Möglichkeit: Im ersten Stock ist einer ausgestiegen und
> im zweiten steigen zwei aus.
> 2.Möglichkeit: Im ersten Stock ist keiner ausgestiegen,
> also können entweder 2 oder 3 noch aussteigen.
> Also: [mm]3*(\bruch{1}{4})^2[/mm]
>
> Im 3. Stock gibt es 4 Möglichkeiten, also
> [mm]4*(\bruch{1}{4})^3[/mm]
>
> Im 4.Stock gibt es 4 Möglichkeiten, also
> [mm]4*(\bruch{1}{4})^4[/mm]
>
> Also wenn dann alles zusammen addiert wird folgt
>
> [mm]P(X\ge 2)=2*\bruch{1}{4}+3*(\bruch{1}{4})^2+4*(\bruch{1}{4})^3+4*(\bruch{1}{4})^4=\bruch{49}{64}[/mm]
>
> Ist das so richtig? Hast du das so gemeint?
> Wenn es richtig ist, dann wette ich dafür.
>
>
> Liebe Grüße
> LuisA44
lg weightgainer
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Das sind 35 positive Ereignisse (mindestens 2 steigen im selben Stock aus) von 4*4*4 = 64 Möglichen
Es ist also wahrscheinlicher, dass zwei Leute im selben Stock aussteigen, als dass dieses nicht geschieht. Man sollte also wetten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
5 fehlen noch! :)
Siehe unten.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Man kann ein Ergebnis des Experimentes z.B. als Tripel schreiben. Dann bedeutet (2,3,3), dass Person 1 im 2. Stock, Person 2 im 3. Stock und Person 3 auch im 3. Stock aussteigt. Da man nun alle Ergebnisse als gleichwahrscheinlich voraussetzen kann ((2,3,3) kann genau so gut eintreten wie (1,1,1), da wir es nicht besser wissen), muss man die Anzahl der günstigen Tripel durch die Anzahl aller Tripel teilen. Insgesamt gibt es natürlich [mm] 4^3=64 [/mm] solcher Tripel. Will man nun die Tripel bestimmen, in denen mindestens 2 Zahlen gleich sind, kann man einfach die Anzahl der Tripel bestimmen, in denen alle Zahlen unterschiedlich sind. Davon gibt es 4*3*2 (für den 1. Eintrag hat man 4 Stockwerke zur Auswahl, für den 2. 3 und für den 3. 1 Stockwerk).
Also gibt es 24 Tripel, in denen alle Einträge paarweise verschieden sind [mm] \Rightarrow [/mm] bei 64-24=40 Tripeln gibt es mindestens 2 gleiche Einträge.
Habe mir mal alle ausgeben lassen:
1 1 1
1 1 2
1 1 3
1 1 4
1 2 1
1 2 2
1 3 1
1 3 3
1 4 1
1 4 4
2 1 1
2 1 2
2 2 1
2 2 2
2 2 3
2 2 4
2 3 2
2 3 3
2 4 2
2 4 4
3 1 1
3 1 3
3 2 2
3 2 3
3 3 1
3 3 2
3 3 3
3 3 4
3 4 3
3 4 4
4 1 1
4 1 4
4 2 2
4 2 4
4 3 3
4 3 4
4 4 1
4 4 2
4 4 3
4 4 4
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 So 09.01.2011 | | Autor: | LuisA44 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi
danke Leute für die ausführlichen Antworten. Mir ist die Aufgabe jetzt klar geworden. Am Anfang weiß ich einfach nie so wirklich wo oben und unten ist :-}
Liebe Grüße
LuisA44
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Die Aufgabe ist viel einfacher, als du denkst.
Es gibt sehr viele Mgl., bei denen 2 oder mehr Personen im selben Stockwerk aussteigen, aber nur eine, bei denen das nicht passiert. Wir stellen uns vor, wir könnten die Personen der Reihe nach befragen, wo sie aussteigen.
Dazu gibt es folgenden einfachen Baum:
---1--(egal)--3/4--(woanders)--2/4--(woanders)
In den Klammern steht das Stockwerk, zwischen den Strichen die Wahrscheinlichkeit dafür. Die erste Person sagt irgendein Stockwerk 1-4, egal was sie sagt, es passt immer.
Nun soll die zweite ein anderes nennen, damit sie nicht im selben Stockwerk wie die 1. Person aussteigt. Die W. dafür ist 3/4. Die dritte Person muss nun wieder ein anderes nennen, zwei verschiedene sind schon vergeben, bleiben also nur noch 2 von 4, die W. ist 2/4 = 1/2.
Die Gesamtw., dass alle Personen in verschiedenen Stockwerken aussteigen, ist somit 1*3/4*1/2 = 3/8.
Dann ist die W., dass dies nicht passiert, also mindestens 2 im selben Stockwerk aussteigen, 1 - 3/8 = 5/8.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 So 09.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das ist ja im Grunde das, was ich auch hatte. Nur noch aus einem anderen Blickwinkel betrachtet, was ich aber auch immer wichtig finde. Wenn man auf mehrere Sichtweisend as gleiche erhält, dann kann man sich immer um so mehr sicher sien, dass man keinen fehler gemacht hat. ;)
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