Wahrscheinlichkeitsrechnung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:19 Mo 10.10.2011 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Eine Schule veranstaltet ein Lottospiel. Ein Tipp soll 1,00€ kosten und mindestens die Hälfte der Einnahmen soll einem guten Zweck zur Verfügung gestellt werden.
Nach langer Diskussion bleiben am Ende zwei Vorschläge übrig:
Ein Lottospiel 3 aus 6, bei dem man mit 3 Richtigen oder mit 2 Richtigen etwas gewinnt, und ein Lottospiel 4 aus 8, bei dem etwas ausgezahlt werden soll, wenn 2,3 oder 4 der Gewinnzahlen angekreuzt sind.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es in beiden Fällen, einen Lottoschein auszufüllen?
b) In wie viel Prozent der Fälle müsste an die Teilnehmer etwas ausgezahlt werden? Welcher Betrag wäre dabei angemessen?
c) Wie könnte man durch Simulation herausfinden, an wie viele Gewinner voraussichtlich etwas gezahlt werden muss? |
Hallo,
a) hier habe ich alle Möglichkeiten aufgeschrieben.
Für 3 aus 6 : 20 Möglichkeiten
Für 4 aus 8: 72 Möglichkeiten
Gibt es auch sowas wie eine Formel dafür, sodass man nicht alle Möglichkeiten aufschreiben muss?
b) Ich würde spontan das mit einer Binomialverteilung mit der Taschenrechner berechnen, wobei dann 25,45% (für 3aus6) rauskommt. Aber dann geht man doch davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit gleichbleibend 1/6 ist. Und das ist ja nicht der Fall. Es ist ja auch kein Bernoulli-Experiment.
Wie muss ich hier also vorgehen?
c) Hier weiß ich leider gar nicht wie ich vorgehen muss.
Danke.
LG
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Hallo Mathics,
hier wäre es ganz praktisch zu wissen, wie weit Du in Mathematik bist, und welche Vorkenntnisse wir voraussetzen dürfen, bzw. woran wir anknüpfen können. Ich versuchs mal ohne dieses Wissen - wenn Du also nur Bahnhof verstehst, meld Dich nochmal mit den erbetenen Informationen. 
> Eine Schule veranstaltet ein Lottospiel. Ein Tipp soll
> 1,00€ kosten und mindestens die Hälfte der Einnahmen
> soll einem guten Zweck zur Verfügung gestellt werden.
> Nach langer Diskussion bleiben am Ende zwei Vorschläge
> übrig:
> Ein Lottospiel 3 aus 6, bei dem man mit 3 Richtigen oder
> mit 2 Richtigen etwas gewinnt, und ein Lottospiel 4 aus 8,
> bei dem etwas ausgezahlt werden soll, wenn 2,3 oder 4 der
> Gewinnzahlen angekreuzt sind.
>
> a) Wie viele Möglichkeiten gibt es in beiden Fällen,
> einen Lottoschein auszufüllen?
> b) In wie viel Prozent der Fälle müsste an die
> Teilnehmer etwas ausgezahlt werden? Welcher Betrag wäre
> dabei angemessen?
> c) Wie könnte man durch Simulation herausfinden, an wie
> viele Gewinner voraussichtlich etwas gezahlt werden muss?
> Hallo,
>
> a) hier habe ich alle Möglichkeiten aufgeschrieben.
>
> Für 3 aus 6 : 20 Möglichkeiten ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für 4 aus 8: 72 Möglichkeiten ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Für 4 aus 8 gibt es nur 56 Möglichkeiten.
> Gibt es auch sowas wie eine Formel dafür, sodass man nicht
> alle Möglichkeiten aufschreiben muss?
Ja, klar. Sonst hätte man beim deutschen Lotto (6 aus 49) recht lange zu tun.
Die Lösung ist definiert als der Binomialkoeffizient [mm] \vektor{n\\k} [/mm] für eine Auswahl von k Feldern aus n möglichen.
Dabei verweist der Name Binomialkoeffizient auf eine ganz andere Verwendung: es ist der Koeffizient, der beim Ausmultiplizieren von [mm] (a+b)^n [/mm] gerade vor dem Glied [mm] a^k*b^{n-k} [/mm] steht - und aus Symmetriegründen auch vor dem Glied [mm] a^{n-k}*b^k.
[/mm]
Man kann ihn so ausrechnen: [mm] \vektor{n\\k}=\bruch{n!}{k!*(n-k)!}
[/mm]
Das Ausrufungszeichen liest sich "Fakultät" und steht dafür, dass man alle natürlichen Zahlen von z.B. 1 bis k miteinander multipliziert; das ergibt dann "k Fakultät", k!.
Also z.B. 4!=1*2*3*4=24 und 8!=1*2*3*4*5*6*7*8=40320. Die Zahlen werden schnell groß.
Dann ist [mm] \vektor{8\\4}=\bruch{8!}{4!*(8-4)!}=\bruch{40320}{24*24}=56.
[/mm]
> b) Ich würde spontan das mit einer Binomialverteilung mit
> der Taschenrechner berechnen, wobei dann 25,45% (für
> 3aus6) rauskommt.
Oha. Hattet Ihr sowas denn schon?
> Aber dann geht man doch davon aus, dass
> die Wahrscheinlichkeit gleichbleibend 1/6 ist. Und das ist
> ja nicht der Fall. Es ist ja auch kein
> Bernoulli-Experiment.
So ist es.
> Wie muss ich hier also vorgehen?
Tja, dafür müsstest eben mal etwas über Dein Vorwissen angeben.
Man kann hier ganz "zu Fuß" rechnen. Hier mal für die "3 aus 6"-Variante:
Es gibt 20 Möglichkeiten, den Schein auszufüllen.
Dann wird eine Auswahl von 3 Zahlen gezogen.
Das ist zugleich gerade die einzige Möglichkeit, die man hätte ausfüllen müssen, um 3 Richtige zu haben.
Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt also gerade [mm] \bruch{1}{20}.
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Richtige ist etwas komplizierter zu Fuß zu bestimmen, da ginge hier das Abzählen fast noch schneller.
Verglichen mit der Gewinnziehung hat man also zwei Zahlen mit dieser gleich, die dritte unterscheidet sich. Jede der drei Zahlen kann sich also von der Gewinnziehung unterscheiden, die beiden andern müssen dann mit dieser übereinstimmen. Wenn zwei Zahlen festliegen, gibt es für die dritte nur noch vier mögliche Werte, wovon drei falsch und einer richtig sind. Daher gibt es hier gerade [mm] 3^3 [/mm] mögliche Scheine mit 2 Richtigen - entweder steht an der 1. Stelle eine von drei "falschen" Zahlen, oder an der 2. oder an der 3., daher 3*3*3 Möglichkeiten.
Stop.
Es gibt ja nur 20 Möglichkeiten, den Schein auszufüllen. Dann können nicht 27 davon zwei Richtige haben, oder?
Hier liegt eine der Fallen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Bei den 27 zählen offenbar Lösungen doppelt, die einem bis hierher nicht aufgefallen sind.
Wenn man diesen Fehler nicht findet, gibt es aber meistens noch eine zweite Richtung der Rechnung. Versuchen wir das.
Es kann nur 1 Schein geben, der mit keiner Zahl übereinstimmt. Da wären eben die drei übriggebliebenen Zahlen angekreuzt.
Und es gibt 1, der drei Richtige hat.
Wenn wir jetzt herausfinden, wieviele Scheine nur eine Zahl richtig haben, können wir die mit zwei richtigen leicht ausrechnen, denn
(0 Richtige)+(1 Richtige)+(2 Richtige)+(3 Richtige)=20.
Also 1 Richtige(r): eine von den drei vorliegenden Richtigen, und die beiden andern Stellen haben zwei der drei nicht gezogenen Zahlen.
Also insgesamt 3*3*2 Möglichkeiten, allerdings haben wir jetzt jede Möglichkeit doppelt gezählt.
Wäre die Gewinnziehung z.B. 1,2,3 lautet, dann haben wir gerade die Scheine mit (1,4,5) und (1,5,4) getrennt erfasst, was natürlich nicht richtig ist.
Die richtige Lösung lautet daher: es gibt [mm] \bruch{3*3*2}{2}=3*\bruch{3\\2}=9 [/mm] Möglichkeiten für 1 Richtige(n).
Also gibt es 20-1-1-9=9 Möglichkeiten für 2 Richtige.
Nebenbei: findest Du den Fehler oben bei der ersten Ermittlung (wo 27 rauskam)?
So, zusammengefasst:
Es gibt 20 verschiedene Scheine.
Davon hat 1 Schein drei Richtige.
9 Scheine haben zwei Richtige.
Wenn jetzt jeder Schein 1€ "gekostet" hat, sollen ja von den eingenommenen 20€ nur 10€ ausgezahlt werden. Die muss man irgendwie "fair" auf die obigen Möglichkeiten verteilen. Der Schein mit den drei Richtigen sollte also eigentlich etwa neunmal so viel gewinnen wie die mit den zwei Richtigen. Ziemlich nah dran ist dies: 55 Cent für jeden mit zwei Richtigen, 5€ für die drei Richtigen. Dann sind 9,95€ an Gewinnen ausgeschüttet.
> c) Hier weiß ich leider gar nicht wie ich vorgehen muss.
Na, simulieren ist doch leicht. Füll 20 verschiedene Scheine aus und zieh einen. Dann zählst Du, wieviele von den andern dann 3 Richtige haben.
Oder Du füllst z.B. nur 13 Scheine aus, die in den Lostopf kommen. Im "Gewinnziehungstopf" müssen dann aber trotzdem alle 20 Scheine sein. Es wird also ein Gewinnschein gezogen - im Lostopf muss aber kein solcher Schein vorhanden sein, aber er könnte.
Dann führst Du eine Gewinnstatistik, am besten über 100 oder mehr Ziehungen. Bei der Variante "4 aus 8" noch ein paarmal mehr...
Grüße
reverend
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