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Hi,
ich sollte folgende Aufgaben einen freund von mir erklären, doch leider finde ich nur einen Weg, und hoffe es kann mir jemand einen einfacheren Weg sagen.
Folgende Aufgabenstellung:
Bei einem Test gibt es 6 Fragen mit 4 auswahlmöglichkeiten, wie groß ist wahrcheinlichkeit das (durch zufälliges kreuzen) mehr als die hälfte richtig hat
Mein Ansatz (von dem ich überzeugt bin dass er richtig aber zu kompliziert ist ist folgender:)
P(<3 Fragen falsch) = P(0 falsch) + P(1 Fehler) + P(2 Fehler) + P(3 Fehler)
[mm] $=(1/4)^4+6 [/mm] * [mm] (1/4)^5 [/mm] * (3/4) + 15* [mm] (1/4)^4 [/mm] * [mm] (3/4)^2 [/mm] + 20* [mm] (1/4)^3 [/mm] * [mm] (3/4)^3 [/mm] = 0,169$
Mir ist es völlig klar, hoffe aber auf eine einfachere Berechnung. Wie kommt eigentlich der Vorfaktor immer zustande (ich überlege mir einfach immer wieviele wege es gibt, z.B. bei 15= 5 Möglichkeiten dass Fehler an 1. und an andere STelle passiert ist+ 4 + 3 +2 +1).
Hoffe es kennt jemand eine elegantere Art
mfg,
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Mo 19.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Allgemein gilt:
Die Wahrscheinlichkeit für $k$ Fehler ist
$P(X=k) = {6 [mm] \choose [/mm] k} [mm] \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^k \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{6-k}$,
[/mm]
wobei
${6 [mm] \choose [/mm] k} = [mm] \frac{6!}{k! \cdot (6-k)!} [/mm] = [mm] \frac{6 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (6-k+1)}{k \cdot (k-1) \cdot \ldots \cdot 1}$.
[/mm]
Ich denke du siehst deinen Fehler jetzt selber. 
Die Wahrscheinlichkeit mehr als die Hälfte richtig (also weniger als die Hälfte falsch zu haben) beträgt:
[mm] $F_{6; \frac{3}{4}}(2) [/mm] = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$,
wobei [mm] $F_{6; \frac{3}{4}}$ [/mm] die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung zu den Parametern $n=6$ und $p = [mm] \frac{3}{4}$ [/mm] ist.
Manchmal sind die Werte [mm] $F_{n;p}$ [/mm] tabelliert, dann kannst du dir die Rechnung sparen; ansonsten musst du es so machen wie gesagt.
Liebe Grüße
Julius
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