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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Fr 09.11.2012 | | Autor: | xantavis |
| Aufgabe | | aus 49 Zahlen sind 6 richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man: 6;5; und 3 Zahlen von den 49 richtig ankreuzt? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mit dem Kugel-Urne-Prinzip konnte ich bisher jede Aufgabe bewältigen. Diese scheinbar einfache Aufgabe hat mich jetzt aber etwas durcheinander gebracht:
Der Lösungsweg für die Wahrscheinlichkeit von 6 richtigen Ankreuzungen:
[mm] \bruch{6}{49}*\bruch{5}{48}*\bruch{4}{47}*\bruch{3}{46}*\bruch{2}{45}*\bruch{1}{44}
[/mm]
Oben und Unten mit 720 geteilt, da die Reihenfolge nichts ausmacht:
[mm] \bruch{1}{13.983.816} [/mm]
Der Lösungsweg für die Wahrscheinlichkeit von 3 richtigen Ankreuzungen ist auf selbe Art und Weise zu lösen:
[mm] \bruch{6}{49}*\bruch{5}{48}*\bruch{4}{47}*\bruch{43}{46}*\bruch{42}{45}*\bruch{41}{44}
[/mm]
Oben und Unten mit 720 geteilt, da die Reihenfolge nichts ausmacht und mit 7 gekürzt:
[mm] \bruch{1793}{1.997.688} [/mm]
In den Lösungen steht, dass das stimmt. Jetzt kommt man aber zum Ausrechnen der Wahrscheinlichkeiten von 5 bez.4 richtigen Ankreuzungen. In den Lösungen wird zu 5 richtigen Ankreuzungen folgendes erklärt:
Da bei einem flaschen Ankreuzen die falsch-angekreuzte Zahl an 1.,2.,3.,4.,5. oder 6. Stelle liegt, muss man hier ganz einfach nur den Zähler mit 6 Multiplizieren, um herrauszufinden, wie groß die Wahrscheinlichkeit von 5 richtigen Ankreuzungen ist.
Versuche ich jetzt diese Aufgabe wie die anderen zu lösen, dann komme ich aber auf ein ganz anderes Ergebnis:
[mm] \bruch{6}{49}*\bruch{5}{48}*\bruch{4}{47}*\bruch{3}{46}*\bruch{2}{45}*\bruch{43}{44}
[/mm]
Oben und Unten mit 720 geteilt, da die Reihenfolge nichts ausmacht:
[mm] \bruch{43}{13.983.816} [/mm]
1. [mm] \bruch{43}{13.983.816} \not= \bruch{6}{13.983.816}
[/mm]
2. 43 scheint mir zu unglaubwürdig. Doch habe ich hier doch alles nach den Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung ausgerechnet. Woran hakt es also?
Es gibt jetzt also 2 verschiedene Rechenwege, die zu verschiedenen Ergebnissen führen. Wie weiß ich jetzt, wann ich welchen Rechenweg benutzen sollte? Wie sieht es z.B. jetzt aus, wenn ich die Wahrscheinlichkeit von 4 richtigen Ankreuzern ausrechnen will?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 Sa 10.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> aus 49 Zahlen sind 6 richtig. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass man: 6;5; und 3 Zahlen von den 49
> richtig ankreuzt?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Mit dem Kugel-Urne-Prinzip konnte ich bisher jede Aufgabe
> bewältigen. Diese scheinbar einfache Aufgabe hat mich
> jetzt aber etwas durcheinander gebracht:
>
> Der Lösungsweg für die Wahrscheinlichkeit von 6 richtigen
> Ankreuzungen:
>
> [mm]\bruch{6}{49}*\bruch{5}{48}*\bruch{4}{47}*\bruch{3}{46}*\bruch{2}{45}*\bruch{1}{44}[/mm]
> Oben und Unten mit 720 geteilt, da die Reihenfolge nichts
> ausmacht:
> [mm]\bruch{1}{13.983.816}[/mm]
Also das ist furchtbar aufgeschrieben! Da kann man deinen Gedankengang überhaupt nicht nachvollziehen! Für 6 richtige gilt:
[mm] $\frac{\pmat{6\\6}}{\pmat{49\\6}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{13.983.816}$
[/mm]
> Der Lösungsweg für die Wahrscheinlichkeit von 3 richtigen
> Ankreuzungen ist auf selbe Art und Weise zu lösen:
>
> [mm]\bruch{6}{49}*\bruch{5}{48}*\bruch{4}{47}*\bruch{43}{46}*\bruch{42}{45}*\bruch{41}{44}[/mm]
> Oben und Unten mit 720 geteilt, da die Reihenfolge nichts
> ausmacht und mit 7 gekürzt:
> [mm]\bruch{1793}{1.997.688}[/mm]
Verstehe ich nicht. Für fünf richtige gilt: [mm] $\frac{\pmat{6\\5}*\pmat{43\\1}}{\pmat{49\\6}} [/mm] = [mm] \frac{6*43}{13.983.816}$
[/mm]
> In den Lösungen steht, dass das stimmt. Jetzt kommt man
> aber zum Ausrechnen der Wahrscheinlichkeiten von 5 bez.4
> richtigen Ankreuzungen. In den Lösungen wird zu 5
> richtigen Ankreuzungen folgendes erklärt:
>
> Da bei einem flaschen Ankreuzen die falsch-angekreuzte Zahl
> an 1.,2.,3.,4.,5. oder 6. Stelle liegt, muss man hier ganz
> einfach nur den Zähler mit 6 Multiplizieren, um
> herrauszufinden, wie groß die Wahrscheinlichkeit von 5
> richtigen Ankreuzungen ist.
>
> Versuche ich jetzt diese Aufgabe wie die anderen zu lösen,
> dann komme ich aber auf ein ganz anderes Ergebnis:
>
> [mm]\bruch{6}{49}*\bruch{5}{48}*\bruch{4}{47}*\bruch{3}{46}*\bruch{2}{45}*\bruch{43}{44}[/mm]
> Oben und Unten mit 720 geteilt, da die Reihenfolge nichts
> ausmacht:
> [mm]\bruch{43}{13.983.816}[/mm]
>
> 1. [mm]\bruch{43}{13.983.816} \not= \bruch{6}{13.983.816}[/mm]
>
> 2. 43 scheint mir zu unglaubwürdig. Doch habe ich hier
> doch alles nach den Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
> ausgerechnet. Woran hakt es also?
>
>
> Es gibt jetzt also 2 verschiedene Rechenwege, die zu
> verschiedenen Ergebnissen führen. Wie weiß ich jetzt,
> wann ich welchen Rechenweg benutzen sollte? Wie sieht es
> z.B. jetzt aus, wenn ich die Wahrscheinlichkeit von 4
> richtigen Ankreuzern ausrechnen will?
>
Analog für vier richtige: [mm] $\frac{\pmat{6\\4}*\pmat{43\\2}}{\pmat{49\\6}}$
[/mm]
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:29 Mi 14.11.2012 | | Autor: | xantavis |
Es tut mir leid, aber ich kenne diese Schreibweise nicht mit den untereinander aufgestellten Nummern in Klammern. Kannst du mir das genauer erklären.
Außerdem ist aus deiner Antwort herraus anzunehmen, dass die Lösung zu 5 richtigen Antworten 43/13.983.816 ist. Aber logischierweise kann man sich das nicht vorstellen. Es gibt nur 6 verschiedene Möglichkeiten, wie man 6 Zettel ankreuzen kann:
F-R-R-R-R-R
R-F-R-R-R-R
R-R-F-R-R-R
R-R-R-F-R-R
R-R-R-R-F-R
R-R-R-R-R-F
Rechnerisch kommt man aber auf 43. Wieso? Und was ist jetzt die richtige Antwort?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Mi 14.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo xantavis,
> Es tut mir leid, aber ich kenne diese Schreibweise nicht
> mit den untereinander aufgestellten Nummern in Klammern.
> Kannst du mir das genauer erklären.
Wenn du diese Schreibweise nicht kennst, machen wir es ohne sie.
> Außerdem ist aus deiner Antwort herraus anzunehmen, dass
> die Lösung zu 5 richtigen Antworten 43/13.983.816 ist.
Im Zähler muss es 6*43 statt 43 heißen, wie teo völlig korrekt geschrieben hat.
> Aber logischierweise kann man sich das nicht vorstellen. Es
> gibt nur 6 verschiedene Möglichkeiten, wie man 6 Zettel
> ankreuzen kann:
> F-R-R-R-R-R
> R-F-R-R-R-R
> R-R-F-R-R-R
> R-R-R-F-R-R
> R-R-R-R-F-R
> R-R-R-R-R-F
>
> Rechnerisch kommt man aber auf 43. Wieso? Und was ist jetzt
> die richtige Antwort?
Versuchen wir mal deinen Ansatz:
Du siehst als mögliche Ausgänge des Zufallsexperiments nicht die genauen 6 angekreuzten Zahlen an, sondern Angaben wie
R-F-F-F-R-F,
die angeben, ob die erste, zweite, ... , sechste angekreuzte Zahl richtig oder falsch ist.
Dann gibt es in der Tat genau 6 Ausgänge, die 5 richtigen Zahlen entsprechen.
Es gibt bei diesem Ansatz insgesamt
$2*2*2*2*2*2=64$
mögliche Ausgänge: Zwei Möglichkeiten, ob die erste angekreuzte Zahl richtig ist, dann jeweils zwei Möglichkeiten, ob die zweite angekreuzte Zahl richtig ist, ... , dann jeweils zwei Möglichkeiten, ob die sechste angekreuzte Zahl richtig ist.
Trotzdem lautet die Wahrscheinlichkeit für 5 Richtige nicht [mm] $\bruch5{64}$. [/mm] (Sonst würde ich sofort Lotto spielen...  ). Wo liegt der Haken? Die Formel
[mm] $\text{Wahrscheinlichkeit}=\bruch{\text{Anzahl der günstigen Ausgänge}}{\text{Anzahl der möglichen Ausgänge}}$
[/mm]
gilt nur, wenn alle Ausgänge gleich wahrscheinlich sind.
Und bei deiner Betrachtung von Ausgängen ist z.B.
$F-F-F-F-F-F$ (d.h. alle Zahlen falsch)
deutlich wahrscheinlicher als
$R-R-R-R-R-R$ (d.h. 6 Richtige).
Dein Ansatz ist nicht falsch, doch leider kann man damit nicht gut rechnen, da nicht alle Ausgänge gleich wahrscheinlich sind.
Daher ein anderer Ansatz:
Wir betrachten als Ausgänge genaue Zahlenkombinationen der Art
45-7-24-14-16-38,
(erste richtige Zahl 45, zweite richtige Zahl 7, ... , sechste richtige Zahl 38).
Alle diese Ausgänge nehmen wir als gleich wahrscheinlich an. Somit ist die Formel
[mm] $\text{Wahrscheinlichkeit}=\bruch{\text{Anzahl der günstigen Ausgänge}}{\text{Anzahl der möglichen Ausgänge}}$
[/mm]
anwendbar.
Die Anzahl der möglichen Ausgänge ist $49*48*47*46*45*44$.
Die Anzahl der günstigen Ausgänge, also die Anzahl der Zahlenkombinationen, die genau 5 der 6 angekreuzten Zahlen enthalten, können wir wie folgt erhalten:
Jede Zahlenkombination, die genau 5 der 6 angekreuzten Zahlen enthält, erhält man auf folgende Weise: Man wählt eine Zahlenkombination von 5 der 6 angekreuzten Zahlen ($6*5*4*3*2$ Möglichkeiten), eine nicht angekreuzte Zahl (43 Möglichkeiten) und an welche der 6 möglichen Stellen man die nicht angekreuzte Zahl platziert (6 Möglichkeiten).
Macht
$(6*5*4*3*2)*43*6$
günstige Ausgänge.
Alternativer Ansatz:
Wir betrachten als Ausgänge Zahlenkombinationen der Art
7-14-16-24-38-45
(eine der sechs richtigen Zahlen ist eine 7, eine der sechs richtigen Zahlen ist eine 14, ... , eine der sechs richtigen Zahlen ist eine 45). Wir erfassen also nicht mehr, die wievielte richtige Zahl wie lautet, sondern nur noch, welche Zahlen unter den richtigen sind.
Alle diese Ausgänge können wir wieder als gleich wahrscheinlich annehmen. Somit ist die Formel
[mm] $\text{Wahrscheinlichkeit}=\bruch{\text{Anzahl der günstigen Ausgänge}}{\text{Anzahl der möglichen Ausgänge}}$
[/mm]
anwendbar.
Wenn wir zur Bestimmung der Anzahl der möglichen Ausgänge nun wieder $49*48*47*46*45*44$ rechnen, haben wir jeden möglichen Ausgang mehrfach gezählt. Wir haben nämlich z.B.
7-14-16-24-38-45
in vielen Varianten, wie z.B.
45-7-24-14-16-38
gezählt, obwohl diese Varianten nun den gleichen Ausgang beschreiben. So ist dieser Ausgang in genau $6*5*4*3*2*1$ Varianten darstellbar: Wir haben 6 Möglichkeiten die 7 zu platzieren, dann noch jeweils 5 Möglichkeiten die 14 zu platzieren, dann noch jeweils 4 Möglichkeiten die 16 zu platzieren, ... , schließlich noch 1 Möglichkeit die 45 zu platzieren.
So hat jeder Ausgang $6*5*4*3*2*1$ viele Darstellungsvarianten. Es gilt
[mm] $\underbrace{\text{Anzahl der Darstellungsvarianten aller Ausgänge}}_{=49*48*47*46*45*44}=(\text{Anzahl der möglichen Ausgänge})*\underbrace{(\text{Anzahl der Darstellungsvarianten eines Ausgangs})}_{=6*5*4*3*2*1}$.
[/mm]
Also lautet die Anzahl der möglichen Ausgänge
[mm] $\bruch{49*48*47*46*45*44}{6*5*4*3*2*1}$.
[/mm]
Bestimmen wir nun die Anzahl der Ausgänge mit 5 der 6 angekreuzten Zahlen:
Um so einen Ausgang zu erhalten, muss man 5 der 6 angekreuzten Zahlen auswählen und eine der 43 nicht angekreuzten Zahlen auswählen.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 5 von 6 angekreuzten Zahlen auszuwählen? Eine ähnliche Überlegung wie zur Bestimmung der Anzahl aller möglichen Ausgänge zeigt, dass diese Zahl [mm] $\bruch{6*5*4*3*2}{5*4*3*2*1}$ [/mm] lautet.
Somit gibt es [mm] $\bruch{6*5*4*3*2}{5*4*3*2*1}*43$ [/mm] Ausgänge mit 5 der 6 angekreuzten Zahlen.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Mi 14.11.2012 | | Autor: | xantavis |
Vielen Dank für deine Ausführliche Antwort! Ich werde es mir morgen oder übermorgen mal anschauen. Wenn etwas trotzdem nicht klar ist, dann frage ich hier nochmal.
Auch danke an dich teo.
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