Wahrscheinlichkeitsverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Dani_NM |
| Aufgabe | | Bei einem Glücksrad erscheint die Ziffer 1 nach achtmaligem Drehen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens einmal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheint die Ziffer 1 bei einmaligem Drehen? |
Hab die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Also ehrlich gesagt; ich steh hier leider ohne irgendeine Ahnung da. Dachte zuerst an Bernoulli aber was mich verwirrt: es heißt Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 %?! Also kann es ja auch mehr sein? Kann mir jemand einen Tip für den Ansatz geben?
Vielen Dank.
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Hallo Dani!
Man stelle sich vor jemand habe hier eine 3-mindest-Aufgabe gerechnet nach dem Prinzip:"Wie oft muss man das Rad mindestens drehen, damit mindestens 1* die Ziffer 1 mit mindestens 90%-iger Wskt erscheint"
Der jenige hat dann Gerechnet:
P(min. 1x)=1-P(keine 1)
[mm] $P(keine1)^{n}<0,1$ [/mm] $|ln(.)
[mm] $n\*ln(P(keine [/mm] 1))<ln(0,1)$ $|:ln(P(keine 1))$
[mm] $n>\frac{ln(0,1)}{ln(P(keine 1)}$
[/mm]
Dabei ist er dann auf n>7 gekommen...
in der Angabe steht jedoch nicht das man mindestens 8x drehen muss, somit muss bereits beim 8-maligen Drehen die Bedingung erfüllt sein.
Setzen wir also ein:
[mm] $9>\frac{ln(0,1)}{ln(P(keine1))}$ $|\*ln(P(keine [/mm] 1)$
$9ln(P(keine1)<ln(0,1)$ $|:9$
$ln(P(keine [mm] 1)<\frac{ln(0,1)}{9}$ $|e^{(.)}$
[/mm]
[mm] $P(keine1)
$P(keine1)<0,7743$
$P(min 1*1)=1-P(keine 1)>1-0,7743$
$P(min 1*1)>0,2257$
tut mir leid dass ich das "mindest" gelesen habe obwohl es nicht dastand!
Ich hoffe Dir hiermit geholfen zu haben!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Dani_NM |
Ich will nicht beleidigend sein aber ehrlich gesagt hab ich kein Wort verstanden. Diese Schreibweise die du benutzt hab ich noch nie gesehen :o(
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Liebe Dani,
leider weiß ich nicht, welche Schreibweise Du nicht verstanden hast.
Ich hoffe dass Du 3-mindest-Aufgaben im Allgemeinen kennst.
Was als Angabe da stand sieht haar genau wie das Ergebnis solch einer Aufgabe aus. Ich habe einfach zurückgerechnet und nach der gesuchten WSKT aufgelößt.
hinter den Strich "|" habe ich jeweils geschrieben, welche Äquivalenzmformung ich durchgeführt habe, d.h.was ich mit den beiden Seiten der Gleichung angestellt habe um in die nächste Zeile zu gelangen.
P(min. 1x) bedeutete dabei genauso wie P(min. 1*1) die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein mal die Eins auftritt; P(keine1) heißt die Wahrscheinlichkeit, dass keine 1 auftritt. $n$ war Anzahl der Spiele, die gespielt werden müssen dass die WSKT, dass keine 1 Auftritt kleiner als 10% wird.
Ich habe dann den Ansatz der 3-mindest-Aufgabe hingeschrieben, wenn man die echt rechnet hätte da natürlich nicht $P(keine [mm] 1)^{n}$ [/mm] gestanden sondern eben die richtige WSKT, z.B. [mm] $5\%^n$, [/mm] wenn eben die WSKT beim einmaligen Drehen keine 1 zu bekommen 5% wäre.
Der erste Rechenschritt: man muss das "n" aus dem Exponenten bringen, deshalb habe ich auf beide Seiten den natürlichen Logarithmus angewendet (wer es toll findet kann auch den 10-Logarithmus lg oder den 2-erLogarithmus lb oder jeden anderen verwenden). Dadurch konnte ich in der nächsten Zeile den Exponenten, also das n vorziehen (Rechengesetze für Logarithmen).
Der 2. Rechenschritt: um nach n aufzulösen, also so dass auf der einen Seite nur noch n steht muss man noch durch den Logarithmus der Wahrscheinlichkeit, keine 1 beim einmaligen Drehen zu erhalten, teilen.
Nun kommt der Trick an der Sache: in der Angabe steht ja bereits das Ergebnis, nämlich dass man um mit 90%-iger Wskt eine 1 zu erhalten bzw. mit weniger als 10%-iger Wskt keine 1 zu erhalten 8-mal drehen muss, was man natürlich auch so ausdrücken kann, dass man mehr als 7 mal drehen muss. Das habe ich dann eingesetzt.
Anschließend habe ich nach der WSKT, beim einmaligen Drehen keine 1 zu erhalten aufgelößt, d.h. mit dem Logarithmus der WSKT auf beiden Seiten multipliziert, beide Seiten durch 7 geteilt, e hoch beide Seiten genommen dass der Logarithmus wegfällt (wenn man nicht den natürlichen Logarithmus nimmt sondern den 10-er Logarithmus lg muss man 10 hoch beide Seiten rechnen...). Schließlich habe ich einfach ausgerechnet (Taschenrechner) wie groß denn nun jene WSKT ist (bzw. wie groß mindestens...
Da das Gegenereignis gefragt war formte ich noch entsprechend um, so dass das Ergebnis da stand:
Die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Drehen mind. 1 Eins zu erhalten (also das min. kann man sich beim einmaligen Drehen schenken!) muss kleiner als 0,18 sein.
Das "kleiner als" kommt daher dass ja in der Angabe von "mind." die Rede war.
Ich hoffe dass Du es jetzt besser verstehst, wenn nicht frage doch bitte etwas konkreter nach!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Nachtwächter,
wie kann es sein, dass du eine obere Schranke für die gesuchte Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ angeben kannst???
Nehmen wir mal an, wir hätten es mit einem gezinkten Glücksrad zu tun, welches immer bei Eins stehenbleibt. Die Voraussetzung wäre dann immer noch erfüllt ("die Ziffer 1 erscheint nach achtmaligem Drehen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens einmal").
Trotzdem wäre die Erfolgswahrscheinlichkeit $p=1>0,18$.
Dein Fehler liegt hier:
> [mm]n>\frac{ln(0,1)}{ln(P(keine 1)}[/mm]
Bis hierhin einverstanden!
> Dabei ist er dann auf n>7 gekommen... setzen wir das doch
> mal ein:
> [mm]7<\frac{ln(0,1)}{ln(P(keine1))}[/mm] [mm]|\*ln(P(keine 1)[/mm]
Stopp! Aus [mm] $n>\frac{ln(0,1)}{ln(P(keine 1)}$ [/mm] und $n>7$ (warum übrigens nicht [mm] $n\ge [/mm] 8$?) folgt doch nicht [mm] $7<\frac{ln(0,1)}{ln(P(keine1))}$.
[/mm]
Aus $n>6$ und $n>7$ folgt ja auch nicht $7<6$, oder? 
MFG,
Yuma
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> Hallo Nachtwächter,
>
> wie kann es sein, dass du eine obere Schranke für die
> gesuchte Erfolgswahrscheinlichkeit [mm]p[/mm] angeben kannst???
>
> Nehmen wir mal an, wir hätten es mit einem gezinkten
> Glücksrad zu tun, welches immer bei Eins stehenbleibt. Die
> Voraussetzung wäre dann immer noch erfüllt ("die Ziffer 1
> erscheint nach achtmaligem Drehen mit einer
> Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens
> einmal").
>
> Trotzdem wäre die Erfolgswahrscheinlichkeit [mm]p=1>0,18[/mm].
>
> Dein Fehler liegt hier:
>
> > [mm]n>\frac{ln(0,1)}{ln(P(keine 1)}[/mm]
>
> Bis hierhin einverstanden!
Der Fehler liegt wohl darin, dass ich von einer 3-mindest-Aufgabe ausgegangen bin, jedoch nur 2-mindest in der Angabe stehen. Ich bin davon ausgegangen, dass man mindestens 8x drehen muss...
>
> > Dabei ist er dann auf n>7 gekommen... setzen wir das doch
> > mal ein:
> > [mm]7<\frac{ln(0,1)}{ln(P(keine1))}[/mm] [mm]|\*ln(P(keine 1)[/mm]
>
> Stopp! Aus [mm]n>\frac{ln(0,1)}{ln(P(keine 1)}[/mm] und [mm]n>7[/mm] (warum
> übrigens nicht [mm]n\ge 8[/mm]?)
Nun, da die Anzahl der Drehungen $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] ist, sind beide Bedingungen Äquivalent: mehr als 7 heißt (da 8 ja die nächste mögliche Zahl ist) das selbe wie mindestens 8.
> folgt doch nicht
> [mm]7<\frac{ln(0,1)}{ln(P(keine1))}[/mm].
nun, gesetzt den Fall "mindestens 8x drehen..." schon.
> Aus [mm]n>6[/mm] und [mm]n>7[/mm] folgt ja auch nicht [mm]7<6[/mm], oder?
Allerdings nicht, aus n>6 und n>7 folgt n>7
>
> MFG,
> Yuma
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Lieber Yuma,
es ist eigentlich egal ob man 8 oder 9 einsetzt, es ändert sich lediglich das Relationszeichen: in den natürlichen Zahlen folgt 9 auf 8. Deshalb ist kleiner oder gleich 8 äquivalent zu kleiner als 9... die Abschätzung wird somit nicht schlechter sondern bleibt gleich gut! (im Gegensatz dazu wenn man 10 oder gar 1000 einsetzt! Warum ich also lieber "<" oder ">" schreibe?
Naja, die Zeichen stehen auf der Tastatur, die anderen muss ich erst mit TeX schreiben...  und dann kommen noch die Kollegen die es ganz genau nehmen und ihren Kindern beibringen, dass [mm] "$\le" [/mm] kein anständiges Zeichen wäre sondern man ein komplettes "=" unter das ">" oder "<" machen muss...
Wichtig ist aber: aus besagter Äquivalenz folgt dass es vollkommen irrellevant ist ob man nun kleiner gleich 8 oder kleiner 9 schreibt!
Ein Beispiel: Peter erzählt im Bonbonglas seien weniger als 5 Bonbons, Alexander behauptet im Bonbonglas befänden sich weniger oder genau 4 Bonbons.
Wieviele Bonbons müssen sich bei beiden mindestens und höchstens im Glas befinden damit sie recht haben?
An diesem Beispiel wird es glaub ich deutlich: es befinden sich jedes mal mindestens 0 und höchstens 4 Bonbons im Glas!
in der Grundmenge [mm] \mathbb{Q} [/mm] oder gar [mm] \mathbb{R} [/mm] sähe es anders aus...
Vielen Dank nochmal für Deinen Korrekturhinweis!
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Nachtwächter,
wir reden aneinander vorbei!
Natürlich weiß ich auch, dass $n>7$ und [mm] $n\ge [/mm] 8$ äquivalent sind, wenn [mm] $n\in\IN$. [/mm] Das ist nicht der Punkt!
Der Punkt ist, dass ein völlig anderes Ergebnis herauskommt, wenn du mit $8$ rechnest. Du hast dir meine Lösung unten wahrscheinlich nie angeschaut: Ich erhalte $p>0,25$ - diese Abschätzung ist besser als deine, weil du mit $9$ gerechnet hast.
In diesem Sinne ist es also nicht äquivalent..
Deshalb sagte ich scherzhaft, dass du auch $1000$ einsetzen kannst - das wäre genauso korrekt, würde aber eine ganz miserable Abschätzung liefern (vielleicht $p>0,001$ oder sowas).
EDIT: Ich merke gerade, der letzte Satz verwirrt mehr, als er nützt!
Ich meine damit nur folgendes - du argumentierst ja so:
$ [mm] 9>n>\frac{ln(0,1)}{ln(P(keine 1)} \Rightarrow 9>\frac{ln(0,1)}{ln(P(keine 1)} [/mm] $
Und das geht natürlich auch mit $1000$.
Ich hoffe, ich konnte jetzt deutlicher machen, worum es mir geht!
MFG,
Yuma
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OK,Yuma ich verstehe was Du meinst...
Deine Lösung hatte ich übrigens gelesen, ich dachte allerdings die 0,25 kämen vom anderen Rechenweg b(8;p;0)...
Warum sollen wir uns eigentlich um die 0,02 streiten? Bleibt doch die Frage auf welcher Berechnung die Annahme gemacht wurde die in der Angabe steht... die haben sicherlich runden müssen um ein ganzzahliges n zu bekommen... wahrscheinlich um mehr als der Wert um den wir uns streiten...
Deine Abschätzung ist schärfer, meine ist sicherer, zu akzeptieren von Schülern wären wohl beide...
Ich würde vorschlagen das Kriegsbeil zu begraben (und nehme Dir natürlich die Hinweise und Kritik nicht übel), hat ja Spaß gemacht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Nachtwächter,
> OK,Yuma ich verstehe was Du meinst...
Freut mich!
> Deine Lösung hatte ich übrigens gelesen, ich dachte
> allerdings die 0,25 kämen vom anderen Rechenweg
> b(8;p;0)...
Nein, die Formel ist letztenendes dieselbe!
> Warum sollen wir uns eigentlich um die 0,02 streiten?
Aber wir streiten uns doch gar nicht...
> Bleibt doch die Frage auf welcher Berechnung die Annahme
> gemacht wurde die in der Angabe steht... die haben
> sicherlich runden müssen um ein ganzzahliges n zu
> bekommen... wahrscheinlich um mehr als der Wert um den wir
> uns streiten...
Es ist ja ohnehin nur eine hypothetische bzw. theoretische Aufgabe, die ich -nebenbei bemerkt- auch nicht sonderlich spannend finde!
> Deine Abschätzung ist schärfer, meine ist sicherer, zu
> akzeptieren von Schülern wären wohl beide...
Selbstverständlich, ich denke nur, mein Weg ist einfacher nachzuvollziehen (zumindest hat Dani mir das bestätigt).
> Ich würde vorschlagen das Kriegsbeil zu begraben (und nehme
> Dir natürlich die Hinweise und Kritik nicht übel), hat ja
> Spaß gemacht...
Eben, das müssen wir bald mal wiederholen!
MFG,
Yuma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Dani,
hast schon recht - ist wirklich 'ne blöde Aufgabe!
Wie ich schon in obiger Mitteilung schrieb, ist sie mit den gegebenen Informationen nicht eindeutig lösbar - man kann lediglich eine Mindestwahrscheinlichkeit angeben.
Aber mal der Reihe nach:
Du hast schon recht, es handelt sich hier um eine Bernoulli-Kette. Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit bei $8$ Versuchen mindestens einen Erfolg zu haben [mm] $\ge 90\%$ [/mm] ist.
Das Gegenereignis von "mindestens ein Erfolg bei $8$ Versuchen" ist "kein Erfolg bei $8$ Versuchen", d.h. die Wahrscheinlichkeit für letzteres wäre [mm] $\le 10\%$.
[/mm]
Welche Wahrscheinlichkeit ist das genau? Wir wollen ja den Parameter $p$, die sogenannte Erfolgswahrscheinlichkeit (du kennst sie aus der Formel [mm] $\vektor{n \\ k}p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}$) [/mm] berechnen. Die Wahrscheinlichkeit bei $8$ Versuchen keinen Erfolg zu haben wäre also [mm] $\vektor{8 \\ 0}p^{0}\cdot (1-p)^{8}$ [/mm] oder einfach [mm] $(1-p)^{8}$. [/mm] Wir haben also [mm] $(1-p)^{8}\le [/mm] 0,1$.
Dies kannst du nach $p$ auflösen:
[mm] $(1-p)^{8}\le 0,1\gdw \ln{((1-p)^{8})}\le \ln{(0,1)}\gdw 8\cdot\ln{(1-p)}\le \ln{(0,1)}$
[/mm]
[mm] $\gdw \ln{(1-p)}\le \bruch{\ln{(0,1)}}{8}\gdw \exp{(\ln{(1-p)})}\le \exp{\left(\bruch{\ln{(0,1)}}{8}\right)}$
[/mm]
[mm] $\gdw 1-p\le \exp{\left(\bruch{\ln{(0,1)}}{8}\right)}\gdw p\ge 1-\exp{\left(\bruch{\ln{(0,1)}}{8}\right)}$
[/mm]
Du erhältst dann $p>0,25$.
Keine wirklich befriedigende Lösung, aber etwas anderes fällt mir leider auch nicht ein!
MFG,
Yuma
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