Wann LIMES schreibweise nutzen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Hab ne Verständnisfrage, undzwar geht es darum wann ich die LIMES Schreibweise benutzen soll:
Beispiel Aufgabe:
[mm] f(x)=5x^3+x^2-2, [/mm] suche f'(-1)
Methode 1)
[mm] f(x)=5x^3+x^2-2
[/mm]
[mm] f'(x)=15x^2+2x
[/mm]
[mm] f'(-1)=15*(-1)^2+2*-1
[/mm]
f'(-1)=13
oder
Methode 2)
[mm] f(x)=5x^3+x^2-2
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\ -1}f'(x)
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\ -1}15x^2+2x
[/mm]
=13
Also soll ich bei so ner Aufgabe Methode 1 oder 2 benutzen ?
Vielen dank!
lG
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Hallo elektroalgebra!
> Also soll ich bei so ner Aufgabe Methode 1 oder 2 benutzen ?
Das kommt darauf an, ob ihr die allgemeinen Ableitungsregeln schon bewiesen und eingeführt habt (und diese damit auch nutzen dürft).
Wobei: streng genommen, ist Deine Methode 2 gar keine vernünftige Methode.
> Beispiel Aufgabe:
> [mm]f(x)=5x^3+x^2-2,[/mm] suche f'(-1)
>
> Methode 1)
> [mm]f(x)=5x^3+x^2-2[/mm]
> [mm]f'(x)=15x^2+2x[/mm]
> [mm]f'(-1)=15*(-1)^2+2*-1[/mm]
> f'(-1)=13
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> oder
> Methode 2)
> [mm]f(x)=5x^3+x^2-2[/mm]
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\ -1}f'(x)[/mm]
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\ -1}15x^2+2x[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das ist leider ziemlicher Quatsch, der hier steht.
Ich vermute mal, dass Du hier auf den Differentialquotienten anspielst.
Dann muss das lauten:
$f'(-1) \ = \ \limes_{x\rightarrow -1}\bruch{f(x)-f(-1)}{x-(-1)} \ = \ \limes_{x\rightarrow -1}\bruch{5x^3+x^2-2-\left[5*(-1)^3+(-1)^2-2\right]}{x+1}} \ = \ \limes_{x\rightarrow -1}\bruch{5x^3+x^2-2-(-6)}{x+1} \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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> Das kommt darauf an, ob ihr die allgemeinen
> Ableitungsregeln schon bewiesen und eingeführt habt (und
> diese damit auch nutzen dürft).
Ja die kennen wir.
> Dann muss das lauten:
>
> [mm]f'(-1) \ = \ \limes_{x\rightarrow -1}\bruch{f(x)-f(-1)}{x-(-1)} \ = \ \limes_{x\rightarrow -1}\bruch{5x^3+x^2-2-\left[5*(-1)^3+(-1)^2-2\right]}{x+1}} \ = \ \limes_{x\rightarrow -1}\bruch{5x^3+x^2-2-(-6)}{x+1} \ = \ ...[/mm]
Also soll ich bei solchen Aufgaben immer mit der 0-methode (anhand der Definition der Ableitung) rechnen ?
lG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Mo 17.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> > [mm]f'(-1) \ = \ \limes_{x\rightarrow -1}\bruch{f(x)-f(-1)}{x-(-1)} \ = \ \limes_{x\rightarrow -1}\bruch{5x^3+x^2-2-\left[5*(-1)^3+(-1)^2-2\right]}{x+1}} \ = \ \limes_{x\rightarrow -1}\bruch{5x^3+x^2-2-(-6)}{x+1} \ = \ ...[/mm]
>
> Also soll ich bei solchen Aufgaben immer mit der 0-methode
> (anhand der Definition der Ableitung) rechnen ?
> lG
Was meinst du mit der 0-Methode? Meinst du vielleicht die
h-Methode? Das ist äquivalent und wird in Abhängigkeit jeder
Aufgabenstellung genutzt.
Sei $U$ ein offenes Intervall. Dann heißt die Abbildung [mm] f:U\to\IR
[/mm]
in [mm] $x_0\in [/mm] U$ differenzierbar, falls folgender Grenzwert existiert:
[mm] \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.
[/mm]
Dann schreiben wir auch: [mm] f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.
[/mm]
Kommen wir nun zu deinem h. Wir substituieren folgendes:
[mm] h:=x-x_0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=h+x_0.
[/mm]
Damit erhalten wir:
[mm] \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{h\to 0}\frac{f(h+x_0)-f(x_0)}{h}.
[/mm]
Jetzt klarer?
Gruß
DieAcht
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> Was meinst du mit der 0-Methode?
> Dann schreiben wir auch: [mm]f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.[/mm]
Ja das meine ich mit der 0-Methode! Die nehm ich immer bei anderen Aufgaben anstatt der h-Methode! Beide sind ja richtig.
ABER meine frage.., für diese Aufgabenstellung die ich oben gezeigt habe:
> Beispiel Aufgabe:
> [mm] f(x)=5x^3+x^2-2, [/mm] suche f'(-1)
> Methode 1)
> [mm] f(x)=5x^3+x^2-2
[/mm]
> [mm] f'(x)=15x^2+2x
[/mm]
> [mm] f'(-1)=15*(-1)^2+2*-1
[/mm]
> f'(-1)=13
Ob ich diese Methode nehmen soll ODER die 0-Methode ? Da das nicht explizit in der Aufgabenstellung gefragt ist.
lG
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Hallo,
> > Was meinst du mit der 0-Methode?
> > Dann schreiben wir auch: [mm]f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.[/mm]
>
> Ja das meine ich mit der 0-Methode! Die nehm ich immer bei
> anderen Aufgaben anstatt der h-Methode! Beide sind ja
> richtig.
>
> ABER meine frage.., für diese Aufgabenstellung die ich
> oben gezeigt habe:
> > Beispiel Aufgabe:
> > [mm]f(x)=5x^3+x^2-2,[/mm] suche f'(-1)
> > Methode 1)
> > [mm]f(x)=5x^3+x^2-2[/mm]
> > [mm]f'(x)=15x^2+2x[/mm]
> > [mm]f'(-1)=15*(-1)^2+2*-1[/mm]
> > f'(-1)=13
>
> Ob ich diese Methode nehmen soll ODER die 0-Methode ? Da
> das nicht explizit in der Aufgabenstellung gefragt ist.
Das kommt auf die Aufgabe drauf an. Du wirst keine seriöse Aufgabenstellung finden, wo steht: "Suche f'(1)!"
Es wird da stehen: "Bestimmen Sie die Ableitung von f(x) an der Stelle x=-1!" oder sowas wie: "Berechnen Sie die Ableitung bon f(x) an der Stelle x=-1 mittels der Definition der Ableitung!"
Du musst also schon schauen, wie das ganze formuliert ist.
>
> lG
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> Das kommt auf die Aufgabe drauf an. Du wirst keine seriöse
> Aufgabenstellung finden, wo steht: "Suche f'(1)!"
Aber bei dieser Aufgabe steht wirklich :Bestimme folgende Ableitung: f(x)=blabla, gesucht f'(-1)
Nicht mehr nicht weniger.
> Es wird da stehen: "Bestimmen Sie die Ableitung von f(x) an
> der Stelle x=-1!" oder sowas wie: "Berechnen Sie die
> Ableitung bon f(x) an der Stelle x=-1 mittels der
> Definition der Ableitung!"
Ja solche Aufgaben habe ich auch. Da ist es auch klar wie gerechent werden muss!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Mo 17.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Aber bei dieser Aufgabe steht wirklich :Bestimme folgende
> Ableitung: f(x)=blabla, gesucht f'(-1)
> Nicht mehr nicht weniger.
Deinen bisherigen Aufgaben entnehme ich mal, dass du kein
Mathematikstudent bist. Aus diesem Grund glaube ich, dass
du einfach die Ableitung bilden sollst und dann einfach
einsetzen. Deine erste Methode ist also richtig. Ansonsten
solltest du nochmal nachfragen oder uns die komplette Auf-
gabenstellung hinschreiben. Ich kann mir nicht vorstellen,
dass es in einer ganzen Aufgabe nur darum geht. 
Gruß
DieAcht
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Die Aufgabenstellung ist so wie ich sie hier geschrieben habe, es sind 2 verschiedene Funktionen abzuleiten. Mehr steht in der Aufgabenstellung nicht!
Und nein studiere keine Mathemaitk, bin Ingenieurstudent. Was aber nichts an der Lösung dieser Aufgabe beiträgt, da ich wie gesagt auch die andere Methode beherrsche, inder wir die Ableitung mittels der Defintion der Ableitung ableiten sollen!
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Mo 17.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du die Ableitung einer Funktion f(x) kennst ist das was du Methode 1 nennst das einzig vernünftige. also Ableitung allgemein bilden, dann Wert einsetzen.
Nur bei Aufgaben der Form z.B. weise nach dass die Ableitung der fkt f(x) [mm] =x^2 [/mm] an der Stelle x=-1 -2 ist brauchst du den Gw des Differenzenquotienten.
Wenn da steht bestimme f'(-1) für die fkt [mm] f(x)=x^2 [/mm] dann einfach f*(x)=2x also f*(-1)=-2
Gruß leduart
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Klare Antwort, vielen dank!!
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Hallo,
> Hallo,
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> Hab ne Verständnisfrage, undzwar geht es darum wann ich
> die LIMES Schreibweise benutzen soll:
>
> Beispiel Aufgabe:
> [mm]f(x)=5x^3+x^2-2,[/mm] suche f'(-1)
>
> Methode 1)
> [mm]f(x)=5x^3+x^2-2[/mm]
> [mm]f'(x)=15x^2+2x[/mm]
> [mm]f'(-1)=15*(-1)^2+2*-1[/mm]
> f'(-1)=13
>
> oder
> Methode 2)
> [mm]f(x)=5x^3+x^2-2[/mm]
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\ -1}f'(x)[/mm]
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\ -1}15x^2+2x[/mm]
>
> =13
Ich glaube du willst hier verdeutlichen, dass man bei der Ableitungen dann den Wert x=-1 einsetzen soll.
Die Physiker schreiben dann auch gerne sowas:
[mm] f'(x)\left|_{x=-1}\right
[/mm]
man schreibt also einen großen senkrechten Strich und schreibt tiefgestellt dann die weitere Bedingung.
Ob das bei den Mathematikern auch üblich ist? Keine Ahnung, in der Physik jedoch häufiger mal anzutreffen.
>
> Also soll ich bei so ner Aufgabe Methode 1 oder 2 benutzen
> ?
>
> Vielen dank!
>
> lG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:40 Mo 17.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Hallo,
> >
> > Hab ne Verständnisfrage, undzwar geht es darum wann ich
> > die LIMES Schreibweise benutzen soll:
> >
> > Beispiel Aufgabe:
> > [mm]f(x)=5x^3+x^2-2,[/mm] suche f'(-1)
> >
> > Methode 1)
> > [mm]f(x)=5x^3+x^2-2[/mm]
> > [mm]f'(x)=15x^2+2x[/mm]
> > [mm]f'(-1)=15*(-1)^2+2*-1[/mm]
> > f'(-1)=13
> >
> > oder
> > Methode 2)
> > [mm]f(x)=5x^3+x^2-2[/mm]
> > [mm]=\limes_{x\rightarrow\ -1}f'(x)[/mm]
> >
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\ -1}15x^2+2x[/mm]
> >
> > =13
>
> Ich glaube du willst hier verdeutlichen, dass man bei der
> Ableitungen dann den Wert x=-1 einsetzen soll.
>
> Die Physiker schreiben dann auch gerne sowas:
>
> [mm]f'(x)\left|_{x=-1}\right[/mm]
>
> man schreibt also einen großen senkrechten Strich und
> schreibt tiefgestellt dann die weitere Bedingung.
>
> Ob das bei den Mathematikern auch üblich ist?
Ist üblich
FRED
Keine
> Ahnung, in der Physik jedoch häufiger mal anzutreffen.
> >
> > Also soll ich bei so ner Aufgabe Methode 1 oder 2 benutzen
> > ?
> >
> > Vielen dank!
> >
> > lG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Mo 17.03.2014 | | Autor: | fred97 |
Wenn es nicht um den Differentialquotienten geht:
Ist I [mm] \subseteq \IR [/mm] ein Intervall, f:I [mm] \to \IR [/mm] auf I differenzierbar und [mm] x_0 \in [/mm] I, so gilt:
[mm] f'(x_0)=\limes_{x\rightarrow x_0}f'(x) \gdw [/mm] f' ist in [mm] x_0 [/mm] stetig.
I.A. werden Funktionen keine stetige Ableitung haben.
Beispiel:
I= [mm] \IR,
[/mm]
[mm] f(x):=x^2*sin(1/x) [/mm] , falls x [mm] \ne [/mm] 0 und f(0):=0.
Zeige:
1. f ist auf I differenzierbar.
2. [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f'(x) [/mm] existiert nicht.
FRED
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