Wann diagonalisierbar? < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenvektoren folgender Matrix:
[mm] $A=\pmat{ a & 0 & b \\ 0 & b & 0 \\ b & 0 & a }$
[/mm]
Für welche $(a, b) [mm] \in \IR^2 [/mm] ist die Matrix diagonalisierbar? |
Hallo,
wie löse ich obige Aufgabe?
Diagonalisierbar ist die Matrix, wenn geometrische und algebraische Vielfachheiten gleich sind.
Es sollte doch eine andere Möglichkeit geben als einfach diverse Werte auszutesten. Könnt ihr mir bitte auf die Sprünge helfen?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Do 24.11.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
bestimme einfach mal das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und Eigenvektoren in Abhängigkeit von a und b, also ohne konkret Werte einzusetzen. An den Ergebnissen kann man dann ablesen, für welche a,b die geometrischen und algebraischen Vielfachheiten übereinstimmen, und für welche nicht.
LG Lippel
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Danke für deine Antwort.
Das charakt. Polynom schaut folgendermaßen aus:
[mm] $P\lambda=(a-\lambda)^2 (b-\lambda)-b^2 (b-\lambda)$
[/mm]
Daraus kann ich doch herauslesen, dass a = [mm] \lambda [/mm] = b sein muss, damit ich eine Nullstelle hab.
Das wäre aber eine doppelte Nullstelle und eine geometrische Vielfachheit von 1.
Ausmultipliziern nützt bei dem Polynom nichts, da ich dann Koeffizienten mit 3er Potenzen drinstehn hab.
Wie schlägst du vor, soll ich die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Do 24.11.2011 | | Autor: | Lippel |
Klammere [mm] $(b-\lambda)$ [/mm] aus. Dann ist der Rest ein Polynom vom Grad 2. Das kannst du dann lösen.
LG
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Danke!
Nun hab ich die Eigenwerte und -vektoren berechnet:
[mm] \lambda_1 [/mm] = a+b
[mm] \vec{v_1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] \lambda_2 [/mm] = a-b
[mm] \vec{v_2}=\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Was sagt das nun über a und b aus? Ich sehs nicht -.-
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Do 24.11.2011 | | Autor: | Lippel |
Für den Fall, dass die drei Eigenwerte verschieden sind, bist du fertig, da dann alle algebraischen und geometrischen Vielfachheiten 1 sind. Was ist aber, wenn zwei der Eigenwerte gleich sind, z.b. wenn a=0 oder b=0 oder 2b=a, oder sogar a=b=0. Du musstest sicher in deinen Rechnungen auch mal durch b teilen oder a oder durch 2b-a. Das darfst du nur, wenn diese Ausdrücke ungleich 0 sind. Diese Fälle musst du also extra betrachen.
LG
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Danke für deine Hilfe!!
Lg
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