Wartesystem als Markov Kette.. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Aufgabe lautet:
Betrachten Sie eine Bedienstation an der nacheinander Kunden ankommen und bedient werden. Zu Anfang jeder Zeiteinheit (ZE) kommt mit Wahrscheinlichkeit p genau ein Kunde an und mit Wahrscheinlichkeit 1-p keiner. Befindet sich kein weiterer Kunde im System, so wird sofort mit der Bedienung des Kunden begonnen, ansonsten reiht er sich in eine Warteschlange ein. Es können maximal 100 Kunden im Wartesystem platz nehmen (inklusive des Kunden in Bedienung). Kunden die an einem vollem System ankommen werden abgewiesen und gehen
verloren.
Die Bedienstation kann drei verschiedene Zustände annehmen:
Zustand 0: Die Station ist ausgeschaltet und bedient keine Kunden.
Zustand 1: Die Station arbeitet mit niedriger Leistung. Die Bedienzeit eines Kunden -
sofern vorhanden - ist geometrisch verteilt mit Parameter q.
Zustand 2: Die Station arbeitet mit hoher Leistung und bedient - wieder sofern vorhanden - genau einen Kunden pro ZE.
Die Entscheidung darüber, in welchem Zustand die Station betrieben wird, wird am Anfang jeder ZE getroffen (kurz nach dem potentiellen Eintreffen eines Kunden) und hängt mit den Kosten zusammen, welche für den Betrieb der Station anfallen:
Wartekosten: Pro Kunde im System und ZE fallen Kosten in Höhe von [mm] c_w [/mm] an.
Betriebskosten: Pro ZE fallen kosten in Höhe von [mm] c_1 [/mm] an, wenn sich das System in Zustand 1, und Kosten in Höhe von [mm] c_2, [/mm] wenn sich das System Zustand 2 befndet.
Einschaltkosten: Für das Einschalten des Systems in den Zustand 1 (vom ausgeschal-
teten System ausgehend) entstehen Kosten in Höhe von K1. Für das Hochschalten des System von Zustand 1 in den Zustand 2 Kosten in Höhe von K2. Schaltet man ein ausgeschaltetes System gleich in den Zustand 2, so sind Kosten von K1 + K2 zu bezahlen.
Der Betreiber der Station hat sich nun drei Strategien überlegt, mit denen er sie betreiben könnte:
Strategie 1: Das System wird immer in Zustand 1 betrieben
Strategie 2: Das System wird immer in Zustand 2 betrieben
Strategie 3: Ist das System ausgeschaltet, so bleibt es aus wenn kein Kunde im System ist. Bei einem oder mehreren Kunden im System wird es sofort eingeschaltet, und zwar bei einem bis 8 Kunden in den Zustand 1 und bei 9 oder mehr Kunden in den Zustand 2. Befndet sich das System im Zustand 1, so wird es nicht mehr ausgeschaltet sondern verbleibt bei 0 bis 8 Kunden im System im Zustand 1, bei 9 oder mehr Kunden wird es in den Zustand 2 hochgeschaltet. Ist das System in Zustand 2, so bleibt es in diesem Zustand wenn sich 4 oder mehr Kunden im System befnden, anderenfalls wird es in den Zustand 1 heruntergeschaltet.
Aufgaben:
a) Beschreiben Sie die zeitliche Entwicklung der Anzahl der Kunden im System für alle drei Strategien durch Markov-Ketten. Geben Sie die Zustandsräume und die Übergangsmatrizen (verständlich beschrieben und formatiert) aus.
b) Berechnen Sie die erwarteten Kosten pro Zeiteinheit des Systems für alle drei Strategien aufgrund der Werte: [mm] c_w [/mm] = 1; [mm] c_1= [/mm] 1; [mm] c_2 [/mm] = 4; K1 = 5; K2 = 15.
c) Berechnen Sie die erwarteten diskontierten Gesamtkosten für alle drei Strategien aufgrund der obigen Werte.
Hinweis: Bei richtiger Modellierung der Markov-Ketten besitzen diese jeweils nur eine rekurrente Klasse.
p=q=0.5, Diskontierungsfaktor a=0.9
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Hallo zusammen,
Ich hoffe, dass ich auf dieser Art und Weise Hinweise und Tipps bekommen werde, wie diese Aufgabe zu knacken ist. Momentan habe ich leider kein Plan, wie dies zu modellieren ist. Für Hinweise und Vorschläge würde ich sehr dankbar sein. Diese Aufgabe muss ich als Java Programm implementieren, das bedeutet aber nicht, dass hier eine Simulation verlangt wird. Es ist verlangt eine analytische Lösung unterstützt durch ein Java Programm. Danke im Voraus !
Da ich momentan gar keine Idee habe, würde ich für Tipps und Hinweise sehr dankbar sein.
Gruß,
Marko
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=389592
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 24.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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