Was genau ist eine Reihe? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe eine Frage zu Reihen. Ich verstehe noch nicht ganz, was eine Reihe genau ist. Mein Problem ist, dass die Definition in einem Mathematik-Buch von mir nach meinem Verständnis nicht mit der in meinem Matheskript übereinstimmt.
Hier die beiden Definitionen:
Buch:
Man nennt den formalen Ausdruck
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_{k}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+... [/mm] mit [mm] a_{i}\in\IR [/mm] (oder [mm] \IC)
[/mm]
eine unendliche Reihe oder kurz Reihe.
Skript:
Die aus den Folgegliedern [mm] a_{k} [/mm] gebildeten Summen [mm] s_{n}=\summe_{k=0}^{n}a_{k}, [/mm] also [mm] s_{0}=a_{0}, s_{1}=a_{0}+a_{1}, s_{2}=a_{0}+a_{1}+a_{2}, [/mm] ..., heißen Partialsummen. Die Folge der Partialsummen [mm] {s_{n}} [/mm] heißt Reihe.
------
Wenn wir nun z. B. die Folge a = 1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ... haben, was ist dann die dazugehörige Reihe?
Nach der ersten Definition würde ich folgendes unter der Reihe verstehen:
Reihe = 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + ...
Nach der zweiten Definition würde ich folgendes unter der Reihe verstehen:
Reihe = 1, 1.1, 1.11, 1.111, 1.1111, ...
Was ist denn nun aber eine Reihe? Unter ist eine der Definitionen tatsächlich falsch oder verstehe ich eine der beiden nur falsch?
Die Frage wurde in keinem anderen Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Fr 07.05.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
Die korrekte Definition einer Reihe ist eben eine Folger von Partialsummen. Durch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}x_n [/mm] bezeichnet man den GRENZWERT dieser Folge. Blöd gesagt gibt die erste Definition "nur die letzte Partialsumme" an.
> Hallo,
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> ich habe eine Frage zu Reihen. Ich verstehe noch nicht
> ganz, was eine Reihe genau ist. Mein Problem ist, dass die
> Definition in einem Mathematik-Buch von mir nach meinem
> Verständnis nicht mit der in meinem Matheskript
> übereinstimmt.
>
> Hier die beiden Definitionen:
>
> Buch:
> Man nennt den formalen Ausdruck
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+...[/mm] mit
> [mm]a_{i}\in\IR[/mm] (oder [mm]\IC)[/mm]
>
> eine unendliche Reihe oder kurz Reihe.
>
> Skript:
> Die aus den Folgegliedern [mm]a_{k}[/mm] gebildeten Summen
> [mm]s_{n}=\summe_{k=0}^{n}a_{k},[/mm] also [mm]s_{0}=a_{0}, s_{1}=a_{0}+a_{1}, s_{2}=a_{0}+a_{1}+a_{2},[/mm]
> ..., heißen Partialsummen. Die Folge der Partialsummen
> [mm]{s_{n}}[/mm] heißt Reihe.
>
> ------
>
> Wenn wir nun z. B. die Folge a = 1, 0.1, 0.01, 0.001,
> 0.0001, ... haben, was ist dann die dazugehörige Reihe?
>
> Nach der ersten Definition würde ich folgendes unter der
> Reihe verstehen:
> Reihe = 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + ...
Genau. Das ist die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{10^n}. [/mm] Und sie ergibt ist aus dem Grenzwert ...
> Nach der zweiten Definition würde ich folgendes unter der
> Reihe verstehen:
> Reihe = 1, 1.1, 1.11, 1.111, 1.1111, ...
von den Partialsummen [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{n=0}^{k}\bruch{1}{10^n} [/mm] .
> Was ist denn nun aber eine Reihe? Unter ist eine der
> Definitionen tatsächlich falsch oder verstehe ich eine der
> beiden nur falsch?
Beide Definitionen sind eben streng genommen nicht gleich, da die erste nur den Grenzwert angibt. Aber wenn mand das [mm] \infty [/mm] druch ein k ersetzt erhält man die Folge, aus der dieser Grenzwert resultiert. Und da man bei Folgen oft nur an dem Grenzwert interessiert ist, lässt man das mit den Partialsummen oft unter den Tisch fallen.
Grüße,
dormant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 Fr 07.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe eine Frage zu Reihen. Ich verstehe noch nicht
> ganz, was eine Reihe genau ist. Mein Problem ist, dass die
> Definition in einem Mathematik-Buch von mir nach meinem
> Verständnis nicht mit der in meinem Matheskript
> übereinstimmt.
>
> Hier die beiden Definitionen:
>
> Buch:
> Man nennt den formalen Ausdruck
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+...[/mm] mit
> [mm]a_{i}\in\IR[/mm] (oder [mm]\IC)[/mm]
>
> eine unendliche Reihe oder kurz Reihe.
>
> Skript:
> Die aus den Folgegliedern [mm]a_{k}[/mm] gebildeten Summen
> [mm]s_{n}=\summe_{k=0}^{n}a_{k},[/mm] also [mm]s_{0}=a_{0}, s_{1}=a_{0}+a_{1}, s_{2}=a_{0}+a_{1}+a_{2},[/mm]
> ..., heißen Partialsummen. Die Folge der Partialsummen
> [mm]{s_{n}}[/mm] heißt Reihe.
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> Wenn wir nun z. B. die Folge a = 1, 0.1, 0.01, 0.001,
> 0.0001, ... haben, was ist dann die dazugehörige Reihe?
>
> Nach der ersten Definition würde ich folgendes unter der
> Reihe verstehen:
> Reihe = 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + ...
>
> Nach der zweiten Definition würde ich folgendes unter der
> Reihe verstehen:
> Reihe = 1, 1.1, 1.11, 1.111, 1.1111, ...
>
> Was ist denn nun aber eine Reihe? Unter ist eine der
> Definitionen tatsächlich falsch oder verstehe ich eine der
> beiden nur falsch?
Die erste Definition ist Schwachsinn !! Aus welchem Buch stammt die denn ?
FRED
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> Die Frage wurde in keinem anderen Forum gestellt.
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> Die erste Definition ist Schwachsinn !! Aus welchem Buch stammt die denn ?
Teschl, G./Teschl, S. (2008): Mathematik für Informatiker, Diskrete Mathematik und Lineare Algebra, Band 1, 3. Auflage, Berlin/Heidelberg 2008
EDIT: Sorry, verklickt, sollte keine Frage werden.
In Mitteilung umgewandelt. Dieter
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