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Hallo,
laut meinen Lehrmaterialien ist die Exponentialfunktion folgendermaßen definiert:
exp x = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}
[/mm]
Wenn ich aber bei Wikipedia unter Exponentialfunktion nachschaue, finde ich folgende Definition vor:
x [mm] \mapsto e^x
[/mm]
Meinem Verständnis nach ist
[mm] e^x [/mm] = [mm] (\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!})^x
[/mm]
Ist dann [mm] (\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!})^x [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}?
[/mm]
Wenn ja, wie ist das möglich?
Danke,
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:51 Mo 30.04.2007 | | Autor: | komduck |
Hallo,
ja das stimmt:
$ exp(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!} [/mm] $
ist die Definition der Exponetialfunktion.
für die können wir beweisen:
$exp(x+y) = exp(x) * exp(y)$
wir definieren:
$e = exp(1)$
Weiter können wir festellen, daß exp eine Umkehrfunktion hat, weil
sie überall streng monoton wachsend ist.
diese nennen wir $ln(x)$.
also haben wir
$ ln(exp(x)) [mm] \mbox{ für } [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] $
$ exp(ln(x)) [mm] \mbox{ für } [/mm] x [mm] \in \IR^{+}$
[/mm]
Wir können durch Rekursion definieren:
[mm] a^n =\begin{cases} a^{n-1} , & \mbox{für } n > 0 \\ 1, & \mbox{für } n = 0 \end{cases}
[/mm]
aus
$ exp(x+y) = exp(x) * exp(y) $
folgt
$ exp(n * x) = [mm] (exp(x))^n [/mm] $
also
$ exp(n) = exp(n * $1$) = [mm] (exp(1))^n [/mm] = [mm] e^n [/mm] $ für $ n [mm] \in \IN [/mm] $
Das rechtfertigt zu definieren:
$ [mm] a^x [/mm] = exp(ln(a)*x) $
Nun haben wir:
[mm]e^x = exp(ln(e)*x) = exp(1*x) = exp(x)[/mm] für $x [mm] \in \IR [/mm] $
komduck
Ich meinen Tippfehler korrigiert. Die rote 1 war vorher ein x.
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> aus
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> [mm]exp(x+y) = exp(x) * exp(y)[/mm]
>
> folgt
>
> [mm]exp(n * x) = (exp(x))^n[/mm]
Achso? Und wie geht das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Martin!
[mm] $\exp(n*x) [/mm] \ = \ [mm] \exp\left(\underbrace{x+x+x+...+x}_{\text{n - mal}}\right) [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\exp(x)*\exp(x)*\exp(x)*...*\exp(x)}_{\text{n - mal}} [/mm] \ = \ [mm] \left[\exp(x)\right]^n$
[/mm]
Gruß
Loddar
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> also haben wir
>
> [mm]ln(exp(x)) \mbox{ für } x \in \IR[/mm]
> [mm]exp(ln(x)) \mbox{ für } x \in \IR^{+}[/mm]
Und wieso haben wir
[mm]exp(ln(x)) \mbox{ für } x \in \IR^{+}[/mm]
..also, wieso *nur* fuer [mm] \IR^{+} [/mm] und nicht fuer [mm] \IR [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
Die Logarithmusfunktion $f(x) \ = \ [mm] \ln(x)$ [/mm] ist doch nur für positive x-Werte definiert!
Gruß
Loddar
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> [mm]exp(n) = exp(n * x) = (exp(1))^n = e^n[/mm] für [mm]n \in \IN[/mm]
exp(n * x) = [mm] (exp(1))^n [/mm] ? Wieso das? Ich denke:
exp(n * x) = [mm] (exp(x))^n
[/mm]
Ist x = 1, oder was wird hier grad gemacht? Kann die Herangehensweise nicht ganz verstehen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
es war 1 und nicht x gemeint.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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> Das rechtfertigt zu definieren:
>
> [mm]a^x = exp(ln(a)*x)[/mm]
Wir haben doch vorhin definiert:
[mm] a_n [/mm] = 1 fuer alle n
Dann ist doch
exp(ln(a)*x) = exp(0*x) [mm] \not= a^x
[/mm]
oder wie ist das wieder gemeint?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Mo 30.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich finde den Blödsinn [mm] a^n=1 [/mm] in keinem der posts! auch nicht [mm] a_n=1 [/mm] weil ja [mm] a_n [/mm] nicht vorkommt.
wenn du a=3 und n=2 setzt solltest du auch sehen ,dass [mm] 3^2 [/mm] nicht 1 ist.
Gruss leduart.
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Hallo, bin bei dieser Herleitung noch nicht ganz durchgedrungen:
> [mm]exp(n) = exp(n * x) = (exp(1))^n = e^n[/mm] für [mm]n \in \IN[/mm]
Hier verstehe ich nicht:
[mm]exp(n) = exp(n * x)[/mm]
und
[mm]exp(n * x) = (exp(1))^n[/mm]
Wie gross ist den n? Und ist hier x = 1 oder wie kommst du darauf?
>
> Das rechtfertigt zu definieren:
>
> [mm]a^x = exp(ln(a)*x)[/mm]
Wie kommt man darauf? Was hat es mit dieser konstanten a-Folge auf sich?
Danke und Gruss,
Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Mi 02.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo sancho
> Hallo, bin bei dieser Herleitung noch nicht ganz
> durchgedrungen:
>
> > [mm]exp(n) = exp(n * x) = (exp(1))^n = e^n[/mm] für [mm]n \in \IN[/mm]
>
> Hier verstehe ich nicht:
>
> [mm]exp(n) = exp(n * x)[/mm]
da stand schon nach deiner ersten Frage, dass das x ein Versehen war und eigentlich 1 sein sollte:
also : [mm]exp(n) = exp(n * 1)= (exp(1))^n[/mm]
> Wie gross ist den n? Und ist hier x = 1 oder wie kommst du
> darauf?
das gilt für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
> >
> > Das rechtfertigt zu definieren:
> >
> > [mm]a^x = exp(ln(a)*x)[/mm]
>
> Wie kommt man darauf? Was hat es mit dieser konstanten
> a-Folge auf sich?
es gibt keine konstante a- Folge, irgendwo stand [mm] a^n=a^{n-1}*a [/mm] und [mm] a^0=1 [/mm]
warum hund das geschrieben hat weiss ich nicht, vielleicht meint er es für a=e, also denk ich, du kannst das vergessen.
da ln der Name der Umkehrfkt von e-fkt ist ist klar [mm] e^{lna}=a [/mm] und [mm] ln(e^a)=a [/mm] das haben Umkehrfkt so für sich.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Mi 02.05.2007 | | Autor: | komduck |
Ich habe die Stelle oben wo ich x statt 1 geschrieben habe korrigiert.
Eigentlich wird es noch klarer wenn man ln(a) einsetzt:
$ exp(n * ln(a)) = [mm] (exp(ln(a)))^n [/mm] = [mm] a^n [/mm] $ für $ n [mm] \in \IN [/mm] $
Das bedeutet die neue Definition für x [mm] \in \IR [/mm] stimmt mit der
alten für x [mm] \in \IN [/mm] überein.
komduck
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