Was ist Kr(0,0) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie
a) den Flächenschwerpunkt des Halbkreises [mm] K_r(0, [/mm] 0), x1 [mm] \ge [/mm] 0 |
Hallo zusammen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Wenn ich nach dem Flächenschwerpunkt eines Halbkreises schaue finde ich immer meist Formeln wie [mm] Y_s [/mm] = [mm] \frac{2}{3}*\frac{r*s}{b}, [/mm] wobei s die Sehnenlänge ist und b die Bogenlänge, aber passt das hier? Ich habe gerade so meine Startschwierigkeiten.
Vielen Dank, schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo theghostdog!
Mein Tabellenbuch gibt mir den Schwerpunkt des Halbkreises (= Abstand zur Sehne = Durchmesser) an mit:
[mm] $$y_s [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4*r}{3*\pi}$$
[/mm]
Rechnerisch solltest Du das erhalten mittels Integration und der Formel:
[mm] $$y_s [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{1}{2}*\integral_{x_1}^{x_2}{y^2 \ dx}}{\integral_{x_1}^{x_2}{y \ dx}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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> Hallo theghostdog!
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> Mein Tabellenbuch gibt mir den Schwerpunkt des Halbkreises
> (= Abstand zur Sehne = Durchmesser) an mit:
> [mm]y_s \ = \ \bruch{4*r}{3*\pi}[/mm]
Dies müsste ein Spezialfall der von theghostdog angegebenen
Formel sein.
>
> Rechnerisch solltest Du das erhalten mittels Integration
> und der Formel:
> [mm]y_s \ = \ \bruch{\bruch{1}{2}*\integral_{x_1}^{x_2}{y^2 \ dx}}{\integral_{x_1}^{x_2}{y \ dx}}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
diese Formel ist falsch - ich sehe nicht, wie hier der Kreis
überhaupt in die Rechnung eingeht !
> Gruß
> Loddar
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Al-Chwarizmi!
Die $y_$'s auf der rechten Seite stehen doch für die allgemeine funktionsvorschrift $y \ = \ f(x)$ .
Gruß
Loddar
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> Hallo Al-Chwarizmi!
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> Die [mm]y_[/mm]'s auf der rechten Seite stehen doch für die
> allgemeine funktionsvorschrift [mm]y \ = \ f(x)[/mm] .
>
> Gruß
> Loddar
Dann habe ich die Formel - die mir in dieser Weise
nicht geläufig ist, einfach nicht verstanden.
Entschuldige bitte !
LG Al
(für den vorliegenden Halbkreis müsste man
natürlich x und y vertauschen)
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> Berechnen Sie
> a) den Flächenschwerpunkt des Halbkreises $\ [mm] K_r(0,\,0)\,,\ x1\ge0$
[/mm]
>
> Wenn ich nach dem
> Flächenschwerpunkt eines Halbkreises schaue finde ich
> immer meist Formeln wie [mm]Y_s[/mm] = [mm]\frac{2}{3}*\frac{r*s}{b},[/mm]
> wobei s die Sehnenlänge ist und b die Bogenlänge, aber
> passt das hier? Ich habe gerade so meine
> Startschwierigkeiten.
Diese Formel ist offenbar die für den Schwerpunkt eines
beliebigen Kreisabschnittes (Gebiet zwischen Kreislinie
und einer Sehne). Du kannst sie spezialisieren für den
Fall, dass die Sehne ein Durchmesser und das Segment
demzufolge zu einem Halbkreis wird. Dabei kommt die
Formel heraus, die Loddar angegeben hat.
Beachte aber noch, dass der Schwerpunkt S deines
Halbkreises nicht auf der y-Achse, sondern auf der
x-Achse (bzw. x1-Achse) liegt. Wegen der Symmetrie
ist [mm] y_S=0.
[/mm]
Für die Berechnung der x-Koordinate des Schwerpunkts
brauchst du das Doppelintegral
$\ [mm] x_S\ [/mm] =\ [mm] \integral_{Halb\,krei}\integral_{sflaeche}x\ dx\,dy$
[/mm]
LG Al-Chw.
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Sorry wenn ich hier ein wenig Verwirrung ausgelöst habe, aber ich wollte eigentlich wissen, wie ich aus [mm] K_r(0,0) [/mm] den Kreis ableiten kann. Ist (0,0) der Mittelpunkt? Wie ist dann der Radius?
Gruß
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> Sorry wenn ich hier ein wenig Verwirrung ausgelöst habe,
> aber ich wollte eigentlich wissen, wie ich aus [mm]K_r(0,0)[/mm] den
> Kreis ableiten kann. Ist (0,0) der Mittelpunkt? Wie ist
> dann der Radius?
>
> Gruß
Ich habe die Angabe [mm] K_r(0,0) [/mm] mit [mm] x_1\ge0
[/mm]
so verstanden, dass es sich dabei um die Hälfte des
Kreises mit Mittelpunkt M(0/0) und Radius r (nicht
konkret angegeben) handelt, dessen Punkte nicht-
negative [mm] x_1 [/mm] - Koordinaten haben. In einer Skizze
der üblichen Art also der rechte Halbkreis.
LG Al-Chw.
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