Was kann man über f sagen ? < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Mi 27.04.2005 | | Autor: | DeusRa |
Habe diese beiden Aufgaben, und nur nen kleinen Ansatz.
Könnte mir jemand weiterhelfen ?
Es sei [mm]f:\IC \to \IC[/mm] holomorph und [mm] f = g+ih [/mm] mit [mm] g,h:\IC \to \IR.[/mm].
a) Sei [mm]F:=g²+ih²[/mm] holomorph auf [mm] \IC. [/mm] Was kann man über [mm]f[/mm] aussagen ?
b) Zeigen Sie: Falls es eine differenzierbare Funktion [mm] \mu: \IR \ro \IR [/mm] gibt mit [mm] g=\mu \circ h[/mm], so ist [mm]f[/mm] konstant.
Zu a)
Ich weiß, dass man es per Cauchy-Riemann machen soll, bzw. mit der Kettenregel.
Beh.: f ist konstant.
Zu b)
Mit Kettenregel auf [mm] g=\mu \circ h[/mm].
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Do 28.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo DeusRa!
Man muss in der Tat so vorgehen, wie von dir angedacht und erhält bei der a):
[mm] $2g\frac{\partial g}{\partial x} [/mm] = 2h [mm] \frac{\partial h}{\partial y} [/mm] = 2h [mm] \frac{\partial g}{\partial x}$,
[/mm]
also:
[mm] $\frac{\partial g}{\partial x}(g-h)=0$.
[/mm]
Ebenso erhält man
[mm] $\frac{\partial g}{\partial y}(g-h)=0$.
[/mm]
Nehmen wir einmal an, es gäbe einen Punkt $(x,y)$ mit
[mm] $\frac{\partial g}{\partial x}(x,y) \ne [/mm] 0$.
Dann gäbe es auch gleich eine ganze Umgebung $U$ von $(x,y)$ mit dieser Eigenschaft, und auf $U$ müsste dann $g=h$ gelten.
Versuche dies einmal zum Widerspruch zu führen (ist nicht schwierig; du kommst dann darauf, dass für solche Punkte dann doch [mm] $\frac{\partial g}{\partial x}(x,y) [/mm] =0$ gelten müsste, mit Hilfe der CR-Differentialgleichungen, ich denke das ist dann klar).
Ebenso zeigst du natürlich [mm] $\frac{\partial g}{\partial y} \equiv [/mm] 0$.
Die b) geht natürlich ähnlich.
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
|
