Wegabhängigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \integral_{\gamma}{axydx+x^2dy}, a\in\IR
[/mm]
für diese drei Kurven:
a) Der Streckenzug durch die Punkte (0,0), (1,0) und (1,1)
b) der Streckenzug durch die Punkte (0,0), (0,1) und (1,1)
c) das Stück der Parabel [mm] y=x^2 [/mm] von (0,0) bis (1,1)
Für welches a ist das Kurvenintegral wegunabhängig? |
a)
[mm] \gamma(t)=\begin{cases} (t,0), & \mbox{für } t\in[0,1] \\ (1,t), & \mbox{für } t\in[0,1] \end{cases}
[/mm]
[mm] \gamma'(t)=\begin{cases} (1,0), & \mbox{für } t\in[0,1] \\ (0,1), & \mbox{für } t\in[0,1] \end{cases}
[/mm]
[mm] \integral_{\gamma}{axydx+x^2dy}= \integral_{0}^{1}{a*t*0+t^2*0 dt}+\integral_{0}^{1}{a*1*t*0+1^2 dt}=\integral_{0}^{1}{1 dt}=[/mm] [t][mm] _{0}^{1}=1
[/mm]
b)
[mm] \gamma(t)=\begin{cases} (0,t), & \mbox{für } t\in[0,1] \\ (t,1), & \mbox{für } t\in[0,1] \end{cases}
[/mm]
[mm] \gamma'(t)=\begin{cases} (0,1), & \mbox{für } t\in[0,1] \\ (1,0), & \mbox{für } t\in[0,1] \end{cases}
[/mm]
[mm] \integral_{\gamma}{axydx+x^2dy}= \integral_{0}^{1}{a*0*t*0+0^2*1 dt}+\integral_{0}^{1}{a*t*1*1+t^2*0 dt}=\integral_{0}^{1}{at dt}=a[t^2]=a
[/mm]
c)
[mm] \gamma(t)=\vektor{t \\ t^2}
[/mm]
[mm] \gamma'(t)=\vektor{1 \\2t}
[/mm]
für [mm] t\in[0,1]
[/mm]
[mm] \integral_{\gamma}{axydx+x^2dy}=\integral_{0}^{1}{a*t*t^2+t^2*2tdt}=a\integral_{0}^{1}{3t^3dt}=a[\bruch{3}{4}t^4]_{0}^{1}=\bruch{3a}{4}
[/mm]
stimmen die lösungen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Sa 24.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie
>
> [mm]\integral_{\gamma}{axydx+x^2dy}, a\in\IR[/mm]
>
> für diese drei Kurven:
>
> a) Der Streckenzug durch die Punkte (0,0), (1,0) und (1,1)
>
> b) der Streckenzug durch die Punkte (0,0), (0,1) und (1,1)
>
> c) das Stück der Parabel [mm]y=x^2[/mm] von (0,0) bis (1,1)
>
> Für welches a ist das Kurvenintegral wegunabhängig?
> a)
>
> [mm]\gamma(t)=\begin{cases} (t,0), & \mbox{für } t\in[0,1] \\ (1,t), & \mbox{für } t\in[0,1] \end{cases}[/mm]
>
> [mm]\gamma'(t)=\begin{cases} (1,0), & \mbox{für } t\in[0,1] \\ (0,1), & \mbox{für } t\in[0,1] \end{cases}[/mm]
>
> [mm]\integral_{\gamma}{axydx+x^2dy}= \integral_{0}^{1}{a*t*0+t^2*0 dt}+\integral_{0}^{1}{a*1*t*0+1^2 dt}=\integral_{0}^{1}{1 dt}=[/mm]
> [t][mm]_{0}^{1}=1[/mm]
O.K.
>
> b)
>
>
> [mm]\gamma(t)=\begin{cases} (0,t), & \mbox{für } t\in[0,1] \\ (t,1), & \mbox{für } t\in[0,1] \end{cases}[/mm]
>
> [mm]\gamma'(t)=\begin{cases} (0,1), & \mbox{für } t\in[0,1] \\ (1,0), & \mbox{für } t\in[0,1] \end{cases}[/mm]
>
> [mm]\integral_{\gamma}{axydx+x^2dy}= \integral_{0}^{1}{a*0*t*0+0^2*1 dt}+\integral_{0}^{1}{a*t*1*1+t^2*0 dt}=\integral_{0}^{1}{at dt}=a[t^2]=a[/mm]
Das stimmt nicht.
Am Ende sollte es lauten: [mm] a[t^2/2]^1_0=a/2
[/mm]
>
> c)
>
> [mm]\gamma(t)=\vektor{t \\ t^2}[/mm]
>
> [mm]\gamma'(t)=\vektor{1 \\2t}[/mm]
>
> für [mm]t\in[0,1][/mm]
>
> [mm]\integral_{\gamma}{axydx+x^2dy}=\integral_{0}^{1}{a*t*t^2+t^2*2tdt}=a\integral_{0}^{1}{3t^3dt}=a[\bruch{3}{4}t^4]_{0}^{1}=\bruch{3a}{4}[/mm]
Auch das ist falsch.
[mm] at^3+2t^3 \ne 3at^3 [/mm] !!!!
FRED
>
> stimmen die lösungen?
>
>
|
|
|
| |
|
Wie löse ich den zweiten Aufgabenteil? Für welches a ist das Kurvenintegral wegunabhängig?
[mm] f=\vektor{axy \\ x^2}
[/mm]
[mm] f_1=axy
[/mm]
[mm] f_2=x^2
[/mm]
Es muss gelten:
[mm] \bruch{\partial f_1}{\partial y}=\bruch{\partial f_2}{\partial x}
[/mm]
ax=2x
a=2
stimmt die lösung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Sa 24.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wie löse ich den zweiten Aufgabenteil? Für welches a ist
> das Kurvenintegral wegunabhängig?
>
> [mm]f=\vektor{axy \\ x^2}[/mm]
>
> [mm]f_1=axy[/mm]
>
> [mm]f_2=x^2[/mm]
>
> Es muss gelten:
>
> [mm]\bruch{\partial f_1}{\partial y}=\bruch{\partial f_2}{\partial x}[/mm]
>
> ax=2x
>
> a=2
>
> stimmt die lösung?
Ja
Fred
|
|
|
|
