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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:55 So 02.08.2009 | | Autor: | Nickles |
| Aufgabe | Bestimmen sie Wege [mm] \vec {\gamma} [/mm] für folgende Kurven [mm] \Gamma [/mm]:
Im [mm] \mathrm R^2,# [/mm] vom Ursprung (0,0) auf einer Geraden zum Punkt (R,0) mit [mm] R > 0 [/mm] , dann auf einem Kreisbogen um (0,0) mit Radius R zum Punkt [mm] (R\cos \varphi , R\sin \varphi) [/mm] mit [mm] \varphi \in \left [ 0,2 \pi \left [ [/mm] |
Ich hatte einfach gedacht das es wohl [mm] t* \binom R 0 + R * \binom {\cos \varphi} {\sin \varphi} [/mm] ist.
Leider scheint das aber nicht richtig zu sein, sonder [mm] t* \binom R 0 [/mm] für [mm] 0 \le t \le 1 [/mm] sowie [mm] R* \binom { \cos ((t-1) \varphi } { \sin ((t-1) \varphi } [/mm] für [mm] 1 < t \le 2 [/mm]
Wo liegt mein Denkfehler?
Schönen Abend noch
Ich habe die Frage auf keiner anderen Internetseite in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Mo 03.08.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo Nickles,
> Bestimmen sie Wege [mm]\vec {\gamma}[/mm] für folgende Kurven
> [mm]\Gamma [/mm]:
> Im [mm]\mathrm R^2,#[/mm] vom Ursprung (0,0) auf einer
> Geraden zum Punkt (R,0) mit [mm]R > 0[/mm] , dann auf einem
> Kreisbogen um (0,0) mit Radius R zum Punkt [mm](R\cos \varphi , R\sin \varphi)[/mm]
> mit [mm]\varphi \in \left [ 0,2 \pi \left [[/mm]
> Ich hatte einfach
> gedacht das es wohl [mm]t* \binom R 0 + R * \binom {\cos \varphi} {\sin \varphi}[/mm]
> ist.
Der zweite Summand ist hier konstant (unabhängig von $t$). Dieser Weg beschreibt eine Gerade vom Punkt [mm] $R\begin{pmatrix}\cos(\varphi) \\ \sin(\varphi)\end{pmatrix}$ [/mm] in Richtung [mm] $\begin{pmatrix} R\\ 0\end{pmatrix}$
[/mm]
> Leider scheint das aber nicht richtig zu sein, sonder [mm]t* \binom R 0[/mm]
> für [mm]0 \le t \le 1[/mm] sowie [mm]R* \binom { \cos ((t-1) \varphi } { \sin ((t-1) \varphi }[/mm]
> für [mm]1 < t \le 2[/mm]
>
> Wo liegt mein Denkfehler?
Der Term [mm] $t\begin{pmatrix} R\\ 0\end{pmatrix}$ [/mm] beschreibt den Weg vom Ursprung ($t=0$) bis zum Punkt [mm] $\begin{pmatrix} R\\ 0\end{pmatrix}$ [/mm] ($t=1$). Das hast du dir bei deinem Lösungsversuch sicher auch überlegt.
Bestimmt bist du auch davon ausgegangen, dass [mm] $R\begin{pmatrix} \cos(\varphi) \\ \sin(\varphi)\end{pmatrix}$ [/mm] eine Parametrisierung für einen Kreis mit Radius $R$ ist... Das Problem ist aber, dass dein Weg [mm] $\vec{\gamma}$ [/mm] nur von $t$ abhängig ist (bzw. sein soll) und nicht von [mm] $\varphi$.
[/mm]
[mm] $\varphi$ [/mm] ist hier eine Konstante, also musst du das $t$ da geschickt reinstecken.
Sagen wir, für [mm] $0\le t\le [/mm] 1$ soll der gerade Teil des Weges "abgefahren" werden und für $1< [mm] t\le [/mm] 2$ der Teil auf dem Kreis.
Den ersten Teil hast du schon.
Für den Kreis-Teil soll gelten:
1. [mm] $\lim_{t\to 1}\vec{\gamma}(t)=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}$ [/mm] (der Weg soll ja keine Lücke haben, d.h. der zweite Abschnitt soll genau da beginnen, wo der erste endet) und
2. [mm] $\vex{\gamma}(2)=R\begin{pmatrix}\cos(\varphi)\\ \sin(\varphi)\end{pmatrix}$ [/mm] (das ist der Endpunkt)
Durch Überlegen/Probieren/Erfahrung kommt man schließlich auf:
[mm] $\vec{\gamma}(t)=\begin{cases}t\begin{pmatrix}R\\ 0\end{pmatrix} & 0\le t\le 1 \\ R\begin{pmatrix}\cos\Big((t-1)\varphi\Big)\\ \sin\Big((t-1)\varphi\Big)\end{pmatrix} & 1< t\le 2\end{cases}$
[/mm]
Ich hoffe, das war einigermaßen verständlich...
> Schönen Abend noch
Ebenso. Und lieben Gruß,
Fulla
> Ich habe die Frage auf keiner anderen Internetseite in
> keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:08 Mo 03.08.2009 | | Autor: | Nickles |
Ahhh Super , Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:07 Mo 03.08.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
sorry, ich hab da einen Fehler gemacht. Es muss heißen:
Für den Kreis-Teil soll gelten:
1. [mm] $\red{ \lim_{t\to 1}\vec{\gamma}(t)=\begin{pmatrix}R\\ 0\end{pmatrix} =R\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}}$ [/mm] (der Weg soll ja keine Lücke haben, d.h. der zweite Abschnitt soll genau da beginnen, wo der erste endet) und
2. $ [mm] \vex{\gamma}(2)=R\begin{pmatrix}\cos(\varphi)\\ \sin(\varphi)\end{pmatrix} [/mm] $ (das ist der Endpunkt)
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mo 03.08.2009 | | Autor: | Nickles |
hmm habe nun die Aufgabe : Im [mm] \mathrm R^2 [/mm] auf einem Kreis um [mm] \vec m =(m_1,m_2)^t [/mm] mit Radius R > 0, von [mm] \vec a = (m_1 + R , m_2)^t \text{nach} \vec a [/mm] im mathematisch positiven Sinn.
Dachte wieder [mm] \vec {\gamma} = \vec m + \begin{pmatrix} \cos ((t-1) \varphi) \\ \sin ((t-1) \varphi ) \end{pmatrix} [/mm].
Aber hier ist es nun [mm] \vec {\gamma} = \vec m + \begin{pmatrix} \cos ( \varphi) \\ \sin ( \varphi ) \end{pmatrix} [/mm].
Ist diese Kurve denn nicht abhängig von t?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Mo 03.08.2009 | | Autor: | elmer |
Hi!
Ja, weil es ist ein im Mittelpunkt verschobener Kreis. Du mußt wissen das die parametrisierung eines Kreises mit Radius r um Null gegeben ist als
[mm] $w(t)=\vektor{rcos(t) \\ rsin(t)}$ [/mm] mit [mm] $t:[0,2\pi]$
[/mm]
Du hast jetzt einen Kreis um m=(m1,m2) dann ist die parametrisierung gegeben als [mm] $w(t)=\vektor{m1+rcos(t) \\ m2+rsin(t)}$ [/mm] , und bei ganzem Kreis wieder [mm] $t:[0,2\pi]$
[/mm]
Ciao
elmer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Mo 03.08.2009 | | Autor: | Nickles |
Das mit dem Vektor habe ich verstanden, aber warum ist das ganze nicht wieder von p abhängig wie in meiner aufgabe zuvor?
Also so
[mm] \rightarrow \vec {\gamma} = \vec m + \begin{pmatrix} \cos \color{red} ((t-1) \varphi) \\ \sin \color{red} ((t-1) \varphi ) \end{pmatrix} [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Mo 03.08.2009 | | Autor: | elmer |
Ich hoffe ich kann dir helfen auf die schnelle. Hab die artikel vorher gerade mal angesehen. Soweit sieht das auch gut aus. Du hast nur von vorn herein für den aufgabenteil a einen schwierigere Weg genommen.
In Teil a hättes Du wieder die direkte verbindung nehmen können
[mm] w(t)=x_0+t(x-x_0), [/mm] das wäre etwas einfacher gewesen als es mit sin und cos zu machen. geht aber auch, und weil du dich auf einer geraden bewegst kam da sowas wie [mm] cos((1-t)\phi) [/mm] oder so. Setze in die Parametrisierung mal das t ein und guck was passiert. (zeichnung)
Das zweite, der Kreis, hier musst du auch mal werte einsetzen. Du willst ja bestimmte Punkte auf dem Kreis treffen. Wenn Du bei der Parametrisierung
[mm] w(\phi)=\vektor{rcos(\phi) \\ rsin(\phi)} [/mm] das [mm] \phi:[0,2\pi] [/mm] nimmst, dann triffst du jeden punkt des kreisrandes. Eine Drehung ist das, bei Teil a der Aufgabe war das nicht so. Wie gesagt hast Du da die gerade mit cos und sin parametrisiert.
Hoffe es hilft dir.
bis denne
elmer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Mo 03.08.2009 | | Autor: | Nickles |
Nunja im 2ten Teil der vorhergehenden Aufgabe war es ja auch ein Kreisbogen auf dem man sich bewegt hat..liegt es daran, das in DIESER Aufgabe nur ein ganz "normaler" Kreis, der nicht von t abhängt verschoben wird, auf diesem also nicht versucht wird ein Punkt zu treffen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Mo 03.08.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
> Nunja im 2ten Teil der vorhergehenden Aufgabe war es ja
> auch ein Kreisbogen auf dem man sich bewegt hat..liegt es
> daran, das in DIESER Aufgabe nur ein ganz "normaler" Kreis,
> der nicht von t abhängt verschoben wird, auf diesem also
> nicht versucht wird ein Punkt zu treffen?
Ja, so in etwa.
Dieser Kreis ist zwar auch verschoben (Mittelpunkt ist nicht [mm] \vec{0}, [/mm] sondern [mm] $\vec{m}$), [/mm] aber hier kannst du gleich die Standartparametrisierung eines Kreises verwenden und musst die Funktion nicht "zerstückeln":
[mm] $\vec{\gamma}(t)=\vec [/mm] m + [mm] R\begin{pmatrix}\cos(t) \\ \sin(t)\end{pmatrix},\quad t\in [0,2\pi [/mm] [$
liefert einen Kreis um [mm] $\vec{m}$ [/mm] mit Radius $R$.
Was du jetzt noch beachten musst, ist, dass der Weg am richtigen Punkt anfängt und in die richtige Richtung läuft.
Wenn man es ein bisschen anders hinschreibt, sieht man das aber ganz leicht:
[mm] $\vec{\gamma}(t)=\begin{pmatrix} m_1+R\cos(t)\\ m_2 + R\sin(t)\end{pmatrix}$
[/mm]
Es soll gelten: [mm] $\vec{\gamma}(0)=\vec{a}=\begin{pmatrix}m_1+R\\ m_2\end{pmatrix}=\vec{\gamma}(2\pi)$ [/mm] (der Kreis fängt bei [mm] $\vec{a}$ [/mm] an und endet auch dort)
Das passt schonmal. (Bei ähnlichen Aufgaben müsstest du hier evtl. etwas anpassen)
Außerdem soll der Kreis im mathematisch positiven Sinn durchlaufen werden: das ergibt sich aus einfachen trigonometrischen Überlegungen. Du kannst auch einen Wert (z.B. für [mm] $t=\pi [/mm] /2$) ausrechnen und in eine Skizze einzeichnen. (Um den Umlaufsinn zu ändern, kannst du $t$ durch $-t$ ersetzen.)
Noch eine Anmerkung:
Es ist egal, ob dein [mm] $\vec{\gamma}$ [/mm] von $t$, [mm] $\varphi$ [/mm] oder auch $x$ abhängt. Bei deiner ersten Aufgabe war das Verwirrende, dass es eine Konstante [mm] $\varphi$ [/mm] gegeben hat.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Mo 03.08.2009 | | Autor: | Nickles |
AHHH Super erklärt, danke!
An beide Autoren natürlich ;) !
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