Wegintegral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Fr 16.01.2009 | | Autor: | ziuzia |
| Aufgabe | Sei [mm] \gamma: [/mm] [0, [mm] 2\pi] \to [/mm] C, [mm] \gamma [/mm] (t) = 2(cos 2t)eit. Skizzieren Sie die Spur von [mm] \gamma [/mm] und berechnen Sie
[mm] \integral_{\gamma}^{}{1/(z^4-1) dz}
[/mm]
Hinweis: Partialbruchzerlegung. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe die Funktion zerlegt, nach dem Prinzip der Partialbruchzerlegung:
[mm] 1/(z^4-1)=1/2*(z^2-1)+1/(z^2+1)=1/4(1/(z-1)-1/(z+1)+1/(z-i)-1/(z+i))
[/mm]
und dann weiß ich nicht weiter.
Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich das Integral ausrechnen kann.
|
|
| |
|
Hallo ziuzia,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei [mm]\gamma:[/mm] [0, [mm]2\pi] \to[/mm] C, [mm]\gamma[/mm] (t) = 2(cos 2t)eit.
> Skizzieren Sie die Spur von [mm]\gamma[/mm] und berechnen Sie
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{1/(z^4-1) dz}[/mm]
>
> Hinweis: Partialbruchzerlegung.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Ich habe die Funktion zerlegt, nach dem Prinzip der
> Partialbruchzerlegung:
>
> [mm]1/(z^4-1)=1/2*(z^2-1)+1/(z^2+1)=1/4(1/(z-1)-1/(z+1)+1/(z-i)-1/(z+i))[/mm]
Die PBZ stimmt nicht.
[mm]\bruch{1}{z^{4}-1}=\bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{z^{2}-1}\red{-}\bruch{1}{z^{2}+1}\right)[/mm]
>
> und dann weiß ich nicht weiter.
>
> Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich das Integral
> ausrechnen kann.
Das Integral wird ausgerechnet in dem Du
[mm]z=\gamma\left(t\right)[/mm]
setzt.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Sa 17.01.2009 | | Autor: | ziuzia |
Also ich habe das [mm] z=\gamma [/mm] eingesetzt:
[mm] 1/2(\integral_{0}^{2*pi} {\bruch{1} {(4cos(2t)^2*e^(2it) -1 }dt} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{2*pi}{\bruch {1} {(4cos(2t)^2*e^(2it) +1} dt})
[/mm]
Aber wieder weiß ich nicht wie ich das Integral bestimmen kann .
Ich habe überlegt ob ich die Zerlegung der e-Fkt (e^(2it)=cos(it) +i sin(it) )
verwenden kann, aber so richtig weiß ich auch nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Sa 17.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo ziuzia!
> Also ich habe das [mm]z=\gamma[/mm] eingesetzt:
Es wird einfacher, wenn du wieder in 4 Summanden zerlegst; du musst nur die Vorfaktoren des dritten und des vierten Summanden korrigieren.
> [mm]1/2(\integral_{0}^{2*\pi} {\bruch{1} {(4\cos(2t)^2*e^{2it} -1 }dt}[/mm]
> + [mm]\integral_{0}^{2*\pi}{\bruch {1} {(4\cos(2t)^2*e^{2it} +1} dt})[/mm]
Nein das stimmt nicht. Du hast den Faktor $y'(t)$ vergessen. Wenn die Kurve [mm] $\gamma:[a,b]\to\IC [/mm] $ ist, so ist das Kurvenintegral definiert als
[mm]\int_\gamma f(z) dz := \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \gamma'(t) dt [/mm]
> Ich habe überlegt ob ich die Zerlegung der e-Fkt
> (e^(2it)=cos(it) +i sin(it) )
> verwenden kann, aber so richtig weiß ich auch nicht.
Hmm eventuell ist es umgekehrt einfacher, also Sinus und Cosinus durch [mm] $e^{it}$ [/mm] auszudrücken.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
