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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Fr 08.05.2009 | | Autor: | one |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für a , b [mm] \in \IC, [/mm] |a| < 1 < |b|, m , n [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] \integral_{\delta B_{1}(0)}{\bruch{1}{(x-a)^m*(x-b)^n} dx} [/mm] |
Mit Hilfe des Entwicklungssatzes von Cauchy-Taylor habe ich folgendes erhalten:
[mm] f(a)^{(m-1)}*\bruch{2\pi*i}{(m-1)!} [/mm] mit [mm] f=\bruch{1}{(z-b)^n}
[/mm]
Kann das stimmen?
Falls ja, wie kann ich dann den Ausdruck [mm] f(a)^{(m-1)} [/mm] noch vereinfachen? Ich denke mit Induktion, aber da bin ich nicht weit gekommen...!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Fr 08.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bestimmen Sie für a , b [mm]\in \IC,[/mm] |a| < 1 < |b|, m , n [mm]\in \IN:[/mm]
>
> [mm]\integral_{\delta B_{1}(0)}{\bruch{1}{(x-a)^m*(x-b)^n} dx}[/mm]
>
> Mit Hilfe des Entwicklungssatzes von Cauchy-Taylor habe ich
> folgendes erhalten:
>
> [mm]f(a)^{(m-1)}*\bruch{2\pi*i}{(m-1)!}[/mm] mit
> [mm]f=\bruch{1}{(z-b)^n}[/mm]
>
> Kann das stimmen?
>
> Falls ja, wie kann ich dann den Ausdruck [mm]f(a)^{(m-1)}[/mm] noch
> vereinfachen? Ich denke mit Induktion, aber da bin ich
> nicht weit gekommen...!
Nun, hast du mal die ersten paar Ableitungen berechnet? Bekommst du eine Idee, wie der allgemeine Ausdruck fuer [mm] $f^{(k)}$ [/mm] lauten koennte? Beweise diesen dann per Induktion, und dann setz $a$ ein.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Fr 08.05.2009 | | Autor: | one |
Hallo,
Ja die ersten drei Ableitungen hatte ich vorher auch bereits ausgerechnet, aber leider keine Gesetzmässigkeit finden können. Die Ableitungen werden nämlich ziemlich schnell recht kompliziert.
Aber kann es denn sein, dass der Ausdruck
[mm] f(a)^{(m-1)}*\bruch{2\pi*i}{(m-1)!} [/mm] mit [mm] f=\bruch{1}{(z-b)^n}
[/mm]
bereits falsch war...? Oder sollte dieser stimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:09 Sa 09.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ja die ersten drei Ableitungen hatte ich vorher auch
> bereits ausgerechnet, aber leider keine Gesetzmässigkeit
> finden können. Die Ableitungen werden nämlich ziemlich
> schnell recht kompliziert.
Nun:
$f = (z - [mm] b)^{-n}$
[/mm]
$f' = (-n) (z - [mm] b)^{-n-1} [/mm] = [mm] (-1)^1 [/mm] n (z - [mm] b)^{-(n+1)}$
[/mm]
$f'' = (-n) (-n - 1) (z - [mm] b)^{-n-2} [/mm] = [mm] (-1)^2 [/mm] n (n + 1) (z - [mm] b)^{-(n+2)}$
[/mm]
Also Vorschlag: [mm] $f^{(k)} [/mm] = [mm] (-1)^k [/mm] n (n + 1) [mm] \cdots [/mm] (n + k - 1) (z - [mm] b)^{-(n+k)}$.
[/mm]
Das $n (n + 1) [mm] \cdots [/mm] (n + k - 1)$ kannst du uebrigens als [mm] $\binom{n + k - 1}{k} \cdot [/mm] k!$ schreiben, wenn du es kuerzer haben moechtest.
> Aber kann es denn sein, dass der Ausdruck
>
> [mm]f(a)^{(m-1)}*\bruch{2\pi*i}{(m-1)!}[/mm] mit
> [mm]f=\bruch{1}{(z-b)^n}[/mm]
>
> bereits falsch war...? Oder sollte dieser stimmen?
Ich habe es nicht nachgerechnet, aber es sieht doch gar nicht so schlecht aus. Insbesondere wenn du noch die obige Formel einsetzt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 So 10.05.2009 | | Autor: | one |
aja super,
ich habe mich anscheinend bei den Ableitungen verrechnet, darum hats nicht geklappt.
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