Wegintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] a)\gamma:[0,1]\to \IR^3 [/mm] , [mm] \gamma :=\vektor{t \\ t^2 \\ t}
[/mm]
Bestimme für [mm] x\to\wurzel{2+2x_1x_3+2x_2} [/mm] das Wegintegral.
b) Bestimme für das Vektorfeld das Wegintegral [mm] \integral_{\gamma}^{}{u(x) dx}
[/mm]
[mm] u:\IR^3\to \IR^3, x\to \vektor{2x_1+x_2^2 \\ x_1^2x_2x_3 \\ x_1+x_3} [/mm] |
Hier habe ich einfach [mm] \gamma(t) [/mm] in die Funktion f(x) eingesetzt und erhalte weil beide Wurzeln das selbe ergeben
[mm] \integral_{0}^{1}{(2+4t^2 dt}
[/mm]
Stammfunktion bilden: [mm] [2t+\bruch{4}{3}t^3]_0^1=\bruch{10}{3}
[/mm]
Stimmt das?
zu b) Könnt ihr mir nochmal erklären wie man das Wegintegral eines Vektorfeldes bildet? Meine Idee wäre nur wieder:
[mm] \wurzel{(2x_1+x_2^2)+( x_1^2x_2x_3)+(x_1+x_3)}*....
[/mm]
ja, und dann müsste ja die Ableitungen kommen, nur nach was leite ich ab? muss ich das Wegintegral für [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] einzeln berechnen und dann addieren oder wie macht man das?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:26 So 10.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> [mm]a)\gamma:[0,1]\to \IR^3[/mm] , [mm]\gamma :=\vektor{t \\ t^2 \\ t}[/mm]
>
> Bestimme für [mm]x\to\wurzel{2+2x_1x_3+2x_2}[/mm] das Wegintegral.
>
>
> b) Bestimme für das Vektorfeld das Wegintegral
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{u(x) dx}[/mm]
>
> [mm]u:\IR^3\to \IR^3, x\to \vektor{2x_1+x_2^2 \\ x_1^2x_2x_3 \\ x_1+x_3}[/mm]
>
> Hier habe ich einfach [mm]\gamma(t)[/mm] in die Funktion f(x)
> eingesetzt und erhalte weil beide Wurzeln das selbe
> ergeben
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{(2+4t^2 dt}[/mm]
>
> Stammfunktion bilden:
> [mm][2t+\bruch{4}{3}t^3]_0^1=\bruch{10}{3}[/mm]
>
> Stimmt das?
Nein. Ich erhalte das Integral [mm]\integral_{0}^{1}{\sqrt {2+4t^2} dt}[/mm].
Korrektur: Stimmt doch! Ich hatte die zweite Wurzel gar nicht berücksichtigt.
Tut mir leid,
Wolfgang
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Ja, aber bei den beiden Wurzeln kommt doch das selbe raus und zwei Wurzeln multipliziert , da fällt doch die Wurzel weg oder?
[mm] \wurzel{2+4t^2}*\wurzel{2+4t^2}=2+4t^2
[/mm]
Weil [mm] \gamma(t) [/mm] und [mm] \gamma'(t) [/mm] das gleiche unter der Wurzel stehen haben..
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 So 10.06.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mathegirl,
das sehe ich auch so. Helbig hat den Einfluss der Parametrisierung vergessen.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 10:39 So 10.06.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mathegirl und Helbig,
für das Kurvenintegral komme ich auf das gleiche Ergebnis wie Mathegirl.
Die Parametrisierung für t ist in Ordnung und liefert den Ausdruck
[mm] \wurzel{2 + 4t^2} [/mm]
allerdings braucht man noch die euklidische Norm der Ableitung der Kurve. Bei
[mm] \gamma = \vektor{t \\
t^2 \\
t} [/mm] bekommt man
[mm] \dot{\gamma(t)} = \vektor{ 1 \\
2t \\
1 } [/mm]
und für die euklidische Norm dann
[mm] || \dot{\gamma(t)} || = \wurzel{1 + 4 t^2 + 1} [/mm]
So verschwindet durch die Multiplikation das Wurzelzeichen und man kommt auf den Ausdruck, den Mathegirl angegeben hat.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 So 10.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Zu b):
https://matheraum.de/read?t=895625
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 So 10.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]a)\gamma:[0,1]\to \IR^3[/mm] , [mm]\gamma :=\vektor{t \\ t^2 \\ t}[/mm]
>
> Bestimme für [mm]x\to\wurzel{2+2x_1x_3+2x_2}[/mm] das Wegintegral.
Welches ?????
Sei [mm] g(x)=\wurzel{2+2x_1x_3+2x_2}
[/mm]
Sollst Du das
[mm] \integral_{\gamma}^{}{g(x) ds}
[/mm]
berechnen ? Oder so eines
[mm] \integral_{\gamma}^{}{g(x) dx_j}
[/mm]
FRED
>
>
> b) Bestimme für das Vektorfeld das Wegintegral
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{u(x) dx}[/mm]
>
> [mm]u:\IR^3\to \IR^3, x\to \vektor{2x_1+x_2^2 \\ x_1^2x_2x_3 \\ x_1+x_3}[/mm]
>
> Hier habe ich einfach [mm]\gamma(t)[/mm] in die Funktion f(x)
> eingesetzt und erhalte weil beide Wurzeln das selbe
> ergeben
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{(2+4t^2 dt}[/mm]
>
> Stammfunktion bilden:
> [mm][2t+\bruch{4}{3}t^3]_0^1=\bruch{10}{3}[/mm]
>
> Stimmt das?
>
>
> zu b) Könnt ihr mir nochmal erklären wie man das
> Wegintegral eines Vektorfeldes bildet? Meine Idee wäre nur
> wieder:
>
> [mm]\wurzel{(2x_1+x_2^2)+( x_1^2x_2x_3)+(x_1+x_3)}*....[/mm]
>
> ja, und dann müsste ja die Ableitungen kommen, nur nach
> was leite ich ab? muss ich das Wegintegral für [mm]x_1, x_2, x_3[/mm]
> einzeln berechnen und dann addieren oder wie macht man
> das?
>
>
> MfG
> Mathegirl
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Du hast recht fred, ich sollte [mm] \integral_{\gamma}^{}{f(x) ds} [/mm] berechnen...da hab ich total falsch gelesen!
Ich setze also [mm] \gamma(t) [/mm] in die Funktion ein und dann?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 So 10.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Bist Du in der Lage mal nachzuschauen , wie obiges Integral definiert ist ?
FRED
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Ja, das ist das Skalarprodukt oder? also in dem Fall das Skalarprodukt aus
[mm] \wurzel{2+4t^2}\wurzel{2+4t^2}
[/mm]
Nur etwas peinlich, dass ich nicht so recht wieß wie ich bei dem Beispiel mache. Skalarprodukt wäre ja [mm] a*b=a_1*b_1+a_2b_2
[/mm]
Kann ich einfach die Ausdrücke unter der Wurzel multiplizieren? Mich stört hier einfach die Wurzel, ich kann die einzelnen Ausdrücke daraunter ja nicht einzeln "verarbeiten"
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 So 10.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja, das ist das Skalarprodukt oder?
Nein
> also in dem Fall das
> Skalarprodukt aus
>
> [mm]\wurzel{2+4t^2}\wurzel{2+4t^2}[/mm]
Das ist ein stinknormales Produkt !!!!
>
> Nur etwas peinlich, dass ich nicht so recht wieß wie ich
> bei dem Beispiel mache. Skalarprodukt wäre ja
> [mm]a*b=a_1*b_1+a_2b_2[/mm]
>
> Kann ich einfach die Ausdrücke unter der Wurzel
> multiplizieren? Mich stört hier einfach die Wurzel, ich
> kann die einzelnen Ausdrücke daraunter ja nicht einzeln
> "verarbeiten"
Ich glaube es mal wieder nicht ! [mm] \wurzel{a}\wurzel{a}=a
[/mm]
Das lernt man doch schon im Kindergarten !
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
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ja aber dann war doch mein Ergebnis richtig mit [mm] 2+4t^2 [/mm] was ich oben berechnet habe!
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 So 10.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> ja aber dann war doch mein Ergebnis richtig mit [mm]2+4t^2[/mm] was
> ich oben berechnet habe!
Hab ich was anderes gesagt ?
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
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Nee, ich hab es allerdings als falsch interpretiert!
Kannst du mir vielleicht beim Aufgabenteil noch behilflich sein?
Das Wegintegral [mm] \integral_{\gamma}^{}{u(x)*dx} [/mm] für ein Vektorfeld soll bestimmt werden.
[mm] u:\IR^3 \to \IR^3, x\to \vektor{2x_1+x_2^2 \\ x_1^2x_2x_3\\ x_1+x_3}
[/mm]
Also wieder das Produkt aus der Funktion mit der Ableitung der Funktion bzw [mm] u(t)*\parallel u'(t)\parallel [/mm]
Mich stört hier aber für die Ableitung die [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] muss ich hier 3 Kurvenintegrale berechnen, jeweils für die [mm] x_i [/mm] und dann zusammenrechnen?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 So 10.06.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mathegirl,
in diesem Falle werden die beiden Terme wie bei einem Skalarprodukt miteinander verknüpft.
Mit den drei Vektorkomponenten u(x,y,z), v(x,y,z) und w(x,y,z) und mit dem parametrisierten Weg [mm] \vec{x(t)} [/mm], also
[mm] \vec{x(t)} = \vektor{x(t) \\
y(t) \\
z(t)}[/mm]
bekommt man ein Integral
[mm] \int_C \vec{K} \, d \vec{x} = \int_{t_0}^{t_1} (u \dot{x} + v \dot{y} + w \dot{z}) \, dt [/mm]
Auf gehts,
Infinit
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das hab ich nicht ganz verstanden..
ich brauche ja hier das Skalarprodukt aus u(x) und u'(x)..das muss ich mit allen [mm] x_i [/mm] machen...also:
mal für [mm] u(x)=2x_1+x_2^2 [/mm] mit [mm] u'(x)=2+2x_2
[/mm]
[mm] 4x_1+2x_2^3 [/mm] und so weiter mit den anderen??
MfG
Mathegirl
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Ist meine Idee so in Ordnung?
Nur wonach leite ich dann das unter der Wurzel ab? Muss ich nicht die Wurzel mit der Ableitung multiplizieren? Ich habe es leider echt nicht verstanden.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Mo 11.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Das hab ich Dir am Sonntag geschrieben:
Liest Du eigentlich, was man Dir schreibt ?
Vor einer Stunde, von mir:
https://matheraum.de/read?t=895625
FRED
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Das hatte ich nicht ganz verstanden was nun das w sein soll...
wenn w(x) meine erste komponente ist, also [mm] w(x)=2x+x_2^2
[/mm]
nur, wonach leite ich dann bei w'(x) ab? nach [mm] x_1 [/mm] oder nach [mm] x_2? [/mm] Oder was ist mein w?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:29 Di 12.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das hatte ich nicht ganz verstanden was nun das w sein
> soll...
Gibts das ? Kannst Du lesen ?
Wenn ja, so lies nochmal.
FRED
>
> wenn w(x) meine erste komponente ist, also [mm]w(x)=2x+x_2^2[/mm]
>
> nur, wonach leite ich dann bei w'(x) ab? nach [mm]x_1[/mm] oder nach
> [mm]x_2?[/mm] Oder was ist mein w?
>
>
> MfG
> Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Di 12.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du muss wirklich genauer lesen: fred hat geschrieben, was w ist! vielleicht ersetzt du [mm] \IR^n [/mm] das n durch 3 und es ist dir dann klar? und welche deutschen Worte würdest du mit w abkürzen?
Gruss leduart
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Wenn ich wüsste wie es geht, dann würde ich nicht fragen! meine Idde dazu war nur..
[mm] =\wurzel{(2x_1+x_2^2)^2+(x_1^2x_2x_3)^2+(x_1+x_3)^2}\wurzel{(2+2x_2)^2+(2x_1)^2+2}
[/mm]
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Mi 13.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich wüsste wie es geht,
Du wüsstest längst wie es geht, wenn Du lesen würdest, was man Dir schreibt.
> dann würde ich nicht fragen!
> meine Idde dazu war nur..
>
> [mm]=\wurzel{(2x_1+x_2^2)^2+(x_1^2x_2x_3)^2+(x_1+x_3)^2}\wurzel{(2+2x_2)^2+(2x_1)^2+2}[/mm]
Das ist Quatsch !
Da ich heute mal wieder meinen großherzigen Tag habe, sage ich Dir nochmal wie es geht:
Es ist definiert (!):
[mm] \integral_{\gamma}^{}{u(x) *dx}:=\integral_{0}^{1}{u(\gamma(t)) *\gamma'(t)dt}
[/mm]
Kochrezept extra für Mahegirl:
1. Berechne [mm] \gamma'(t)
[/mm]
2. Berechne [mm] u(\gamma(t))
[/mm]
3. Berechne das Skalarprodukt [mm] u(\gamma(t)) *\gamma'(t)
[/mm]
4. Berechne das Integral [mm] \integral_{0}^{1}{u(\gamma(t)) *\gamma'(t)dt}
[/mm]
Ist das so schwer ? Nein ! Siehst Du, also los gehts, aber bitte so, dass ich nicht wieder einen Herzinfarkt bekomme.
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
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Oh nein!!!! Jetzt verstehe ich warum ich die ganze Zeit verzweifelt bin und du auch an meinen Rechnungen...Ich habe die ganze Zeit nicht gesehen, dass es hier um t geht wie auch schon in Aufgabe a)!!! Dann ergibt die Aufgabe auch Sinn!!!
[mm] u(\gamma(t))=\vektor{2t+t^4 \\ t^5 \\ 2t}
[/mm]
[mm] \gamma'(t)=\vektor{1 \\ 2t \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{2t+t^4 \\ t^5 \\ 2t}*\vektor{1 \\ 2t \\ 1}= 4t+t^4+2t^6
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{ (4t+t^4+2t^6)dt}=[2t^2+\bruch{1}{5}t^5+\bruch{2}{7}t^7]_0^1=\bruch{87}{53}
[/mm]
Ist es jetzt ok?
MfG
mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Mi 13.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Oh nein!!!! Jetzt verstehe ich warum ich die ganze Zeit
> verzweifelt bin und du auch an meinen Rechnungen...Ich habe
> die ganze Zeit nicht gesehen, dass es hier um t geht wie
> auch schon in Aufgabe a)!!! Dann ergibt die Aufgabe auch
> Sinn!!!
Das hättest Du am Sonntag schon haben können !
>
> [mm]u(\gamma(t))=\vektor{2t+t^4 \\ t^5 \\ 2t}[/mm]
>
> [mm]\gamma'(t)=\vektor{1 \\ 2t \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\vektor{2t+t^4 \\ t^5 \\ 2t}*\vektor{1 \\ 2t \\ 1}= 4t+t^4+2t^6[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{ (4t+t^4+2t^6)dt}=[2t^2+\bruch{1}{5}t^5+\bruch{2}{7}t^7]_0^1=\bruch{87}{53}[/mm]
>
> Ist es jetzt ok?
Nicht ganz. Wahrscheinlich hast Du Dich vertippt. Es ist $7*5=35 [mm] \ne [/mm] 53$
FRED
>
>
> MfG
> mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Mathegirl |
ja sorry, war ein Tippfehler! Ich hab das [mm] \gamma [/mm] aus der Aufgabenstellung einfach übersehen...echt dumm von mir...
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Mi 13.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> ja sorry, war ein Tippfehler! Ich hab das [mm]\gamma[/mm] aus der
> Aufgabenstellung einfach übersehen...echt dumm von mir...
Komisch...
Wie kann man den Weg übersehen, wenn man ein Wegintegral berechnen soll ?
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 So 10.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Liest Du eigentlich, was man Dir schreibt ?
Vor einer Stunde, von mir:
https://matheraum.de/read?t=895625
FRED
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