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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Wegintegral
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Wegintegral: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:12 So 10.06.2012
Autor: Mathegirl

Aufgabe
[mm] a)\gamma:[0,1]\to \IR^3 [/mm] , [mm] \gamma :=\vektor{t \\ t^2 \\ t} [/mm]

Bestimme für [mm] x\to\wurzel{2+2x_1x_3+2x_2} [/mm] das Wegintegral.


b) Bestimme für das Vektorfeld das Wegintegral [mm] \integral_{\gamma}^{}{u(x) dx} [/mm]

[mm] u:\IR^3\to \IR^3, x\to \vektor{2x_1+x_2^2 \\ x_1^2x_2x_3 \\ x_1+x_3} [/mm]

Hier habe ich einfach [mm] \gamma(t) [/mm] in die Funktion f(x) eingesetzt und erhalte weil beide Wurzeln das selbe ergeben

[mm] \integral_{0}^{1}{(2+4t^2 dt} [/mm]

Stammfunktion bilden: [mm] [2t+\bruch{4}{3}t^3]_0^1=\bruch{10}{3} [/mm]

Stimmt das?


zu b) Könnt ihr mir nochmal erklären wie man das Wegintegral eines Vektorfeldes bildet? Meine Idee wäre nur wieder:

[mm] \wurzel{(2x_1+x_2^2)+( x_1^2x_2x_3)+(x_1+x_3)}*.... [/mm]

ja, und dann müsste ja die Ableitungen kommen, nur nach was leite ich ab? muss ich das Wegintegral für [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] einzeln berechnen und dann addieren oder wie macht man das?


MfG
Mathegirl

        
Bezug
Wegintegral: Stimmt nicht. Korrigiert.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:26 So 10.06.2012
Autor: Helbig


> [mm]a)\gamma:[0,1]\to \IR^3[/mm] , [mm]\gamma :=\vektor{t \\ t^2 \\ t}[/mm]
>  
> Bestimme für [mm]x\to\wurzel{2+2x_1x_3+2x_2}[/mm] das Wegintegral.
>  
>
> b) Bestimme für das Vektorfeld das Wegintegral
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{u(x) dx}[/mm]
>  
> [mm]u:\IR^3\to \IR^3, x\to \vektor{2x_1+x_2^2 \\ x_1^2x_2x_3 \\ x_1+x_3}[/mm]
>  
> Hier habe ich einfach [mm]\gamma(t)[/mm] in die Funktion f(x)
> eingesetzt und erhalte weil beide Wurzeln das selbe
> ergeben
>  
> [mm]\integral_{0}^{1}{(2+4t^2 dt}[/mm]
>  
> Stammfunktion bilden:
> [mm][2t+\bruch{4}{3}t^3]_0^1=\bruch{10}{3}[/mm]
>  
> Stimmt das?

Nein. Ich erhalte das Integral [mm]\integral_{0}^{1}{\sqrt {2+4t^2} dt}[/mm].

Korrektur: Stimmt doch!  Ich hatte die zweite Wurzel gar nicht berücksichtigt.

Tut mir leid,
Wolfgang


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Wegintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:35 So 10.06.2012
Autor: Mathegirl

Ja, aber bei den beiden Wurzeln kommt doch das selbe raus und zwei Wurzeln multipliziert , da fällt doch die Wurzel weg oder?

[mm] \wurzel{2+4t^2}*\wurzel{2+4t^2}=2+4t^2 [/mm]

Weil [mm] \gamma(t) [/mm] und [mm] \gamma'(t) [/mm] das gleiche unter der Wurzel stehen haben..

MfG
Mathegirl

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Wegintegral: Genau
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:43 So 10.06.2012
Autor: Infinit

Hallo Mathegirl,
das sehe ich auch so. Helbig hat den Einfluss der Parametrisierung vergessen.
Viele Grüße,
Infinit


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Wegintegral: Ableitung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 10:39 So 10.06.2012
Autor: Infinit

Hallo Mathegirl und Helbig,
für das Kurvenintegral komme ich auf das gleiche Ergebnis wie Mathegirl.
Die Parametrisierung für t ist in Ordnung und liefert den Ausdruck
[mm] \wurzel{2 + 4t^2} [/mm]
allerdings braucht man noch die euklidische Norm der Ableitung der Kurve. Bei
[mm] \gamma = \vektor{t \\ t^2 \\ t} [/mm] bekommt man
[mm] \dot{\gamma(t)} = \vektor{ 1 \\ 2t \\ 1 } [/mm]
und für die euklidische Norm dann
[mm] || \dot{\gamma(t)} || = \wurzel{1 + 4 t^2 + 1} [/mm]
So verschwindet durch die Multiplikation das Wurzelzeichen und man kommt auf den Ausdruck, den Mathegirl angegeben hat.
Viele Grüße,
Infinit


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Wegintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:31 So 10.06.2012
Autor: fred97

Zu b):

https://matheraum.de/read?t=895625

FRED

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Wegintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:48 So 10.06.2012
Autor: fred97


> [mm]a)\gamma:[0,1]\to \IR^3[/mm] , [mm]\gamma :=\vektor{t \\ t^2 \\ t}[/mm]
>  
> Bestimme für [mm]x\to\wurzel{2+2x_1x_3+2x_2}[/mm] das Wegintegral.


Welches ?????

Sei [mm] g(x)=\wurzel{2+2x_1x_3+2x_2} [/mm]


Sollst Du das

[mm] \integral_{\gamma}^{}{g(x) ds} [/mm]

berechnen ? Oder so eines

[mm] \integral_{\gamma}^{}{g(x) dx_j} [/mm]

FRED

>  
>
> b) Bestimme für das Vektorfeld das Wegintegral
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{u(x) dx}[/mm]
>  
> [mm]u:\IR^3\to \IR^3, x\to \vektor{2x_1+x_2^2 \\ x_1^2x_2x_3 \\ x_1+x_3}[/mm]
>  
> Hier habe ich einfach [mm]\gamma(t)[/mm] in die Funktion f(x)
> eingesetzt und erhalte weil beide Wurzeln das selbe
> ergeben
>  
> [mm]\integral_{0}^{1}{(2+4t^2 dt}[/mm]
>  
> Stammfunktion bilden:
> [mm][2t+\bruch{4}{3}t^3]_0^1=\bruch{10}{3}[/mm]
>  
> Stimmt das?
>  
>
> zu b) Könnt ihr mir nochmal erklären wie man das
> Wegintegral eines Vektorfeldes bildet? Meine Idee wäre nur
> wieder:
>  
> [mm]\wurzel{(2x_1+x_2^2)+( x_1^2x_2x_3)+(x_1+x_3)}*....[/mm]
>  
> ja, und dann müsste ja die Ableitungen kommen, nur nach
> was leite ich ab? muss ich das Wegintegral für [mm]x_1, x_2, x_3[/mm]
> einzeln berechnen und dann addieren oder wie macht man
> das?
>  
>
> MfG
>  Mathegirl


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Wegintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:52 So 10.06.2012
Autor: Mathegirl

Du hast recht fred, ich sollte [mm] \integral_{\gamma}^{}{f(x) ds} [/mm] berechnen...da hab ich total falsch gelesen!

Ich setze also [mm] \gamma(t) [/mm] in die Funktion ein und dann?


MfG
Mathegirl

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Wegintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 So 10.06.2012
Autor: fred97

Bist Du in der Lage mal nachzuschauen , wie obiges Integral definiert ist ?

FRED

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Wegintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:07 So 10.06.2012
Autor: Mathegirl

Ja, das ist das Skalarprodukt oder? also in dem Fall das Skalarprodukt aus

[mm] \wurzel{2+4t^2}\wurzel{2+4t^2} [/mm]

Nur etwas peinlich, dass ich nicht so recht wieß wie ich bei dem Beispiel mache. Skalarprodukt wäre ja [mm] a*b=a_1*b_1+a_2b_2 [/mm]

Kann ich einfach die Ausdrücke unter der Wurzel multiplizieren? Mich stört hier einfach die Wurzel, ich kann die einzelnen Ausdrücke daraunter ja nicht einzeln "verarbeiten"


MfG
Mathegirl

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Wegintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 So 10.06.2012
Autor: fred97


> Ja, das ist das Skalarprodukt oder?

Nein


> also in dem Fall das
> Skalarprodukt aus
>  
> [mm]\wurzel{2+4t^2}\wurzel{2+4t^2}[/mm]

Das ist ein stinknormales Produkt !!!!

>  
> Nur etwas peinlich, dass ich nicht so recht wieß wie ich
> bei dem Beispiel mache. Skalarprodukt wäre ja
> [mm]a*b=a_1*b_1+a_2b_2[/mm]
>  
> Kann ich einfach die Ausdrücke unter der Wurzel
> multiplizieren? Mich stört hier einfach die Wurzel, ich
> kann die einzelnen Ausdrücke daraunter ja nicht einzeln
> "verarbeiten"

Ich glaube es mal wieder nicht ! [mm] \wurzel{a}\wurzel{a}=a [/mm]

Das lernt man doch schon im Kindergarten !

FRED

>  
>
> MfG
>  Mathegirl


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Wegintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:13 So 10.06.2012
Autor: Mathegirl

ja aber dann war doch mein Ergebnis richtig mit [mm] 2+4t^2 [/mm] was ich oben berechnet habe!


MfG
Mathegirl

Bezug
                                                        
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Wegintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:18 So 10.06.2012
Autor: fred97


> ja aber dann war doch mein Ergebnis richtig mit [mm]2+4t^2[/mm] was
> ich oben berechnet habe!

Hab ich was anderes gesagt ?

FRED

>  
>
> MfG
>  Mathegirl


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Bezug
Wegintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:28 So 10.06.2012
Autor: Mathegirl

Nee, ich hab es allerdings als falsch interpretiert!

Kannst du mir vielleicht beim Aufgabenteil noch behilflich sein?

Das Wegintegral [mm] \integral_{\gamma}^{}{u(x)*dx} [/mm] für ein Vektorfeld soll bestimmt werden.

[mm] u:\IR^3 \to \IR^3, x\to \vektor{2x_1+x_2^2 \\ x_1^2x_2x_3\\ x_1+x_3} [/mm]

Also wieder das Produkt aus der Funktion mit der Ableitung der Funktion bzw  [mm] u(t)*\parallel u'(t)\parallel [/mm]

Mich stört hier aber für die Ableitung die [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm]  muss ich hier 3 Kurvenintegrale berechnen, jeweils für die [mm] x_i [/mm] und dann zusammenrechnen?


MfG
Mathegirl

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Wegintegral: Skalar
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:53 So 10.06.2012
Autor: Infinit

Hallo Mathegirl,
in diesem Falle werden die beiden Terme wie bei einem Skalarprodukt miteinander verknüpft.
Mit den drei Vektorkomponenten u(x,y,z), v(x,y,z) und w(x,y,z) und mit dem parametrisierten Weg [mm] \vec{x(t)} [/mm], also
[mm] \vec{x(t)} = \vektor{x(t) \\ y(t) \\ z(t)}[/mm]
bekommt man ein Integral
[mm] \int_C \vec{K} \, d \vec{x} = \int_{t_0}^{t_1} (u \dot{x} + v \dot{y} + w \dot{z}) \, dt [/mm]
Auf gehts,
Infinit


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Bezug
Wegintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 So 10.06.2012
Autor: Mathegirl

das hab ich nicht ganz verstanden..

ich brauche ja hier das Skalarprodukt aus u(x) und u'(x)..das muss ich mit allen [mm] x_i [/mm] machen...also:

mal für [mm] u(x)=2x_1+x_2^2 [/mm] mit [mm] u'(x)=2+2x_2 [/mm]

[mm] 4x_1+2x_2^3 [/mm]  und so weiter mit den anderen??


MfG
Mathegirl

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Bezug
Wegintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Mo 11.06.2012
Autor: Mathegirl

Ist meine Idee so in Ordnung?
Nur wonach leite ich dann das unter der Wurzel ab? Muss ich nicht die Wurzel mit der Ableitung multiplizieren? Ich habe es leider echt nicht verstanden.

MfG
Mathegirl

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Wegintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Mo 11.06.2012
Autor: fred97

Das hab ich Dir am Sonntag geschrieben:

Liest Du eigentlich, was man Dir schreibt ?

Vor einer Stunde, von mir:

https://matheraum.de/read?t=895625


FRED

Bezug
                                                                                                        
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Wegintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:52 Mo 11.06.2012
Autor: Mathegirl

Das hatte ich nicht ganz verstanden was nun das w sein soll...

wenn w(x) meine erste komponente ist, also [mm] w(x)=2x+x_2^2 [/mm]

nur, wonach leite ich dann bei w'(x) ab? nach [mm] x_1 [/mm] oder nach [mm] x_2? [/mm] Oder was ist mein w?


MfG
Mathegirl

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Wegintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:29 Di 12.06.2012
Autor: fred97


> Das hatte ich nicht ganz verstanden was nun das w sein
> soll...

Gibts das ? Kannst Du lesen ?
Wenn ja, so lies nochmal.

FRED

>  
> wenn w(x) meine erste komponente ist, also [mm]w(x)=2x+x_2^2[/mm]
>  
> nur, wonach leite ich dann bei w'(x) ab? nach [mm]x_1[/mm] oder nach
> [mm]x_2?[/mm] Oder was ist mein w?
>  
>
> MfG
>  Mathegirl


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Wegintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 Di 12.06.2012
Autor: leduart

Hallo
du muss wirklich genauer lesen: fred hat geschrieben, was w ist! vielleicht ersetzt du [mm] \IR^n [/mm] das n durch 3 und es ist dir dann klar? und welche deutschen Worte würdest du mit w abkürzen?
Gruss leduart

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Wegintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:20 Mi 13.06.2012
Autor: Mathegirl

Wenn ich wüsste wie es geht, dann würde ich nicht fragen! meine Idde dazu war nur..

[mm] =\wurzel{(2x_1+x_2^2)^2+(x_1^2x_2x_3)^2+(x_1+x_3)^2}\wurzel{(2+2x_2)^2+(2x_1)^2+2} [/mm]


MfG
Mathegirl

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Wegintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:33 Mi 13.06.2012
Autor: fred97


> Wenn ich wüsste wie es geht,


Du wüsstest längst wie es geht, wenn Du lesen würdest, was man Dir schreibt.



> dann würde ich nicht fragen!
> meine Idde dazu war nur..
>  
> [mm]=\wurzel{(2x_1+x_2^2)^2+(x_1^2x_2x_3)^2+(x_1+x_3)^2}\wurzel{(2+2x_2)^2+(2x_1)^2+2}[/mm]

Das ist Quatsch !

Da ich heute mal wieder meinen großherzigen Tag habe, sage ich Dir nochmal wie es geht:

Es ist definiert (!):

[mm] \integral_{\gamma}^{}{u(x) *dx}:=\integral_{0}^{1}{u(\gamma(t)) *\gamma'(t)dt} [/mm]

Kochrezept extra für Mahegirl:

1. Berechne [mm] \gamma'(t) [/mm]

2. Berechne [mm] u(\gamma(t)) [/mm]

3. Berechne das Skalarprodukt [mm] u(\gamma(t)) *\gamma'(t) [/mm]

4. Berechne das Integral [mm] \integral_{0}^{1}{u(\gamma(t)) *\gamma'(t)dt} [/mm]

Ist das so schwer ? Nein ! Siehst Du, also los gehts, aber bitte so, dass ich nicht wieder einen Herzinfarkt bekomme.

FRED

>  
>
> MfG
>  Mathegirl


Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Wegintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 Mi 13.06.2012
Autor: Mathegirl

Oh nein!!!! Jetzt verstehe ich warum ich die ganze Zeit verzweifelt bin und du auch an meinen Rechnungen...Ich habe die ganze Zeit nicht gesehen, dass es hier um t geht wie auch schon in Aufgabe a)!!! Dann ergibt die Aufgabe auch Sinn!!!

[mm] u(\gamma(t))=\vektor{2t+t^4 \\ t^5 \\ 2t} [/mm]

[mm] \gamma'(t)=\vektor{1 \\ 2t \\ 1} [/mm]

[mm] \vektor{2t+t^4 \\ t^5 \\ 2t}*\vektor{1 \\ 2t \\ 1}= 4t+t^4+2t^6 [/mm]

[mm] \integral_{0}^{1}{ (4t+t^4+2t^6)dt}=[2t^2+\bruch{1}{5}t^5+\bruch{2}{7}t^7]_0^1=\bruch{87}{53} [/mm]

Ist es jetzt ok?


MfG
mathegirl

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Bezug
Wegintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 Mi 13.06.2012
Autor: fred97


> Oh nein!!!! Jetzt verstehe ich warum ich die ganze Zeit
> verzweifelt bin und du auch an meinen Rechnungen...Ich habe
> die ganze Zeit nicht gesehen, dass es hier um t geht wie
> auch schon in Aufgabe a)!!! Dann ergibt die Aufgabe auch
> Sinn!!!

Das hättest Du am Sonntag schon haben können !


>  
> [mm]u(\gamma(t))=\vektor{2t+t^4 \\ t^5 \\ 2t}[/mm]
>  
> [mm]\gamma'(t)=\vektor{1 \\ 2t \\ 1}[/mm]
>  
> [mm]\vektor{2t+t^4 \\ t^5 \\ 2t}*\vektor{1 \\ 2t \\ 1}= 4t+t^4+2t^6[/mm]
>  
> [mm]\integral_{0}^{1}{ (4t+t^4+2t^6)dt}=[2t^2+\bruch{1}{5}t^5+\bruch{2}{7}t^7]_0^1=\bruch{87}{53}[/mm]
>  
> Ist es jetzt ok?

Nicht ganz. Wahrscheinlich hast Du Dich vertippt. Es ist $7*5=35 [mm] \ne [/mm] 53$

FRED

>  
>
> MfG
>  mathegirl


Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Wegintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:12 Mi 13.06.2012
Autor: Mathegirl

ja sorry, war ein Tippfehler! Ich hab das [mm] \gamma [/mm] aus der Aufgabenstellung einfach übersehen...echt dumm von mir...


MfG
Mathegirl

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Wegintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:25 Mi 13.06.2012
Autor: fred97


> ja sorry, war ein Tippfehler! Ich hab das [mm]\gamma[/mm] aus der
> Aufgabenstellung einfach übersehen...echt dumm von mir...

Komisch...

Wie kann man den Weg übersehen, wenn man ein Wegintegral berechnen soll ?

FRED

>  
>
> MfG
>  Mathegirl


Bezug
                                                                        
Bezug
Wegintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:55 So 10.06.2012
Autor: fred97

Liest Du eigentlich, was man Dir schreibt ?

Vor einer Stunde, von mir:

https://matheraum.de/read?t=895625


FRED

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