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| Aufgabe | Ist [mm] \gamma:[a,b]\to\IC- [/mm] (damit ist die geschlitzte Ebene gemeint, also ohne die negative reelle Achse mit der Null) ein Weg in der geschlitzten Ebene mit [mm] \gamma(a)=1 [/mm] und [mm] \gamma(b)=z, [/mm] so gilt
[mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{\zeta} d\zeta}=logz [/mm] |
Hallo!
Hier hab ich eine "denkbar einfache" Aufgabe und glaube, dass ich mir - wie fast immer - nur einfach das zu schwer mache...
Ich hab nicht wirklich ne Idee, wie ich alle meine Einfälle in eine "Beweisstruktur" packen könnte, um das Obige zu zeigen.
Hier mal meine Überlegungen, vielleicht kann mir ja jemand helfen, meine Gedanken zu sortieren, denn ich glaube, das kann man eigtl recht einfach zeigen, nur stell ich mich einfach dumm an und mach es mir zu schwer...:
- Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt doch F´=f. Also sollte doch hier auch gelten (log z)'=1/z - denn so ist ja auch der log in der Vorlesung definiert worden.
- 1/z ist holomorph aber in 0 nicht stetig, da die Null und sogar die ganze negative reelle Achse nicht dabei ist, kann aber nie ein geschlossener Kreis um 0 entstehen, sodass das Integral nie [mm] 2i\pi [/mm] wird.
- wenn ich den Startpunkt [mm] \gamma(a)=1 [/mm] verwende und einfach die Definition von Integralen benutze, dann könnte man sagen:
[mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{\zeta} d\zeta}=F(\gamma(b))-F(\gamma(a))=F(z)-F(1)
[/mm]
Da aber als Stammfunktion log z fungieren soll, muss gelten F(z)-F(1)=logz
Und das erfüllt nur der log, denn log(1)=0, also F(z)=log(z) denn F´(z)=1/z.
- oder mach ich einfach nur den Differenzenquotient?: [mm] F(z_2)-F(z_1)/z_2-z_1 [/mm] ?
- dann hab ich noch nen ganz abstrusen Einfall gehabt, da ja [mm] \IC- [/mm] ein Sterngebiet ist:
Ich konstruiere einen geschlossenen Weg in [mm] \IC- [/mm] mit dem End- und Startpunkt 1. Der Weg kann aber nie durch diese negative Halbachse hindurchgehen, also ist der Wert des Integrals immer 0. Also muss gelten:
log1-logz=0. Aber z=1 also: log1=0 was wieder der Definition von log entspricht.
Tja, das waren so meine Einfälle...
Wäre echt super lieb, wenn mir da jemand bissl Licht ins Dunkel bringen könnte!!
Vielen Dank im Voraus,
FilleDeDanann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Mo 30.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Das wesentliche hast Du doch:
die Funktion z-->1/z hat in $ [mm] \IC- [/mm] $ die Stammfunktion logz (wobei hier der Hauptteil des Log. gemeint ist)
Dann ist (ich denke ihr hattet das) Dein Wegintegral in $ [mm] \IC- [/mm] $ wegunabhängig, also gilt
$ [mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{\zeta} d\zeta} [/mm] $
= log(gamma(b)) - log(gamma(a)) = logz -log 1 = logz.
FRED
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Hallo!
Leider haben wir die Wegunabhängigkeit nicht (auch wenn ich die nach 5 Bücher durchwälzen nach Ideen auch schon kenne). In der VL wurden bisher nur behandelt
- def von log
- def von Wegintegralen
- Lemma von Goursat
- Cauchyscher Integralsatz über Sterngebiete
- Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben
Unser Prof meinte wir sollen den CIS für Sterngebiete nochmal anschauen und uns an die Stammfunktionen "erinnern" - meiner Erfahrung nach haben diese Tipps aber nur selten was gebracht, eher nur verwirrt.
Wie könnte ich unter diesen marginalen Voraussetzungen nun das Obige beweisen?
Lg FilleDeDanann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Mo 30.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Gib mal Eure Version des Cauchyschen Integralsatzes für Sterngebiete wider.
Eine weiter Möglichkeit: berechne das Integral "zu Fuß", also mit der Def. des Weg integrals: für gamma schreibe ich g.
Du integrierst die Funktion g'/g über das Interval [a,b]. Die Funktion g'(t)/g(t) hat die Stammfunktion log(g(t)). Berechne das Integral mit dem 1. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
FRED
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Hier der Satz:
Sei G ein Sterngebiet, sei [mm] z_0 \in [/mm] G.
Sei f [mm] \in [/mm] C(O) [mm] \cap O(G\{z_0}).
[/mm]
Dann besitzt f (in G) eine Stammfunktion.
(Jede in einem Sterngebiet holomorphe Fkt. besitzt eine Stammfunktion.)
Das ganze haben wir dann noch in einem Korollar konkretisiert:
Sei G ein Sterngebiet und sei f eine in G holomprphe Funktion (wobei holomorph bis auf einen Punkt aber stetig in diesem Punkt fortsetzbar reicht). Dann gilt für jeden geschlossenen Weg [mm] \gamma [/mm] in G:
[mm] \integral_{\gamma}^{}{f(z)dz}=0.
[/mm]
Zu Fuß meintest du, dass ich rechne:
[mm] \integral_{\gamma}{}{(1/(\gamma (z)))*\gamma'(z) dz} [/mm] ?
Wie sollte ich das denn Berechnen? Was ist denn da die Stammfunktion?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Mo 30.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Hattet Ihr denn nicht,dass aus der Existenz einer Stammfunktion die Wegunabhängigkeit folgt ?
Wie habt Ihr das Korollar bewiesen ?
FRED
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Das folgt unmittelbar aus dem Satz. Das brauchte man nicht mehr beweisen. Wahrscheinlich hängt das mit dem Goursat-Lemma zusammen. Jedenfalls haben wir die Wegunabhängigkeit noch nicht, da ich mal bei einem Beispiel in der VL mich gemeldet hab und gefragt hab, ob man da nicht die Wegunabhängigkeit brauche, und mein Prof sehr energisch meinte, dass wir das noch garnicht haben und nicht brauchen. (ich bin eigtl sehr fit in Funktionentheorie, aber diese Aufgabe hier is wohl ZU einfach...).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Mo 30.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Mit der Def. des Wegint. meinte ich:
$ [mm] \integral_{}{(1/(\gamma (t)))\cdot{}\gamma'(t) dt} [/mm] $
wobei über [a,b] integriert wird. Eine Stammfunktion ist log(gamma(t))
FRED
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Ja sorry, hatte mich verschrieben, natürlich von 1 bis z ist zu integrieren...
Ich denke aber, dass es grade meine Aufgabe ist, zu zeigen, dass log hier die gesuchte Stammfunktion ist... Also F(g(t)) quasi und das wird dann aber nur von log erfüllt wie ich oben in meinen Überlegungen meinte...
Ich hab aber echt keine Ahnung wie ich das beweisen sollte... das is alles eher trivial für mich *unterfordert bin* *grins* 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Di 01.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ja sorry, hatte mich verschrieben, natürlich von 1 bis z
> ist zu integrieren...
> Ich denke aber, dass es grade meine Aufgabe ist, zu
> zeigen, dass log hier die gesuchte Stammfunktion ist...
> Also F(g(t)) quasi und das wird dann aber nur von log
> erfüllt wie ich oben in meinen Überlegungen meinte...
>
> Ich hab aber echt keine Ahnung wie ich das beweisen
> sollte... das is alles eher trivial für mich *unterfordert
> bin* *grins*
Es steckt auch nicht mehr dahinter außer folgenden zwei Tatsachen:
1. [mm] $\IC^-$ [/mm] ist ein Sterngebiet. Alle Punkt auf der positiven reellen Achse sind Sternzentren. Der Integrand [mm] $f(\zeta) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\zeta}$ [/mm] ist in ganz [mm] $\IC^-$ [/mm] holomorph. Damit ist das Kurvenintegral entlang jedes geschlossenen Weges in [mm] $\IC^-$ [/mm] und außerdem jedes Kurvenintegral
[mm] \integral_\gamma \bruch{1}{\zeta} d\zeta [/mm]
wegunabhängig. Also existiert die Stammfunktion.
2. Der Wert des Kurvenintegrals ergibt sich durch das (gewöhnliche) Integral
[mm] \integral_a^b \bruch{\gamma'(t)}{\gamma(t)} dt = \integral_a^b (\log(\gamma(t))' dt = \log(\gamma(b)) - \log(\gamma(a)) [/mm]
Beide Aussagen zusammen ergeben die Behauptung.
Viele Grüße
Rainer
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